ЕГЭ_информатика

Для какого наименьшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x \lt A) \land (y \lt 2A) \lor (3x + y \gt 20001) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наименьшего натурального числа \( A \) выражение

\( \big((x \lt A) \land (y \lt 2A)\big) \lor (3x + y \gt 90) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой даны два отрезка: \( P = [2000; 5500] \) и \( Q = [3500; 8000] \). Укажите наименьшую возможную длину отрезка \( A \), при которой выражение

\( (x\in P) \to \big((x\in Q)\land \neg(x\in A) \to \neg(x\in P)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой даны два отрезка: \( P = [20; 55] \) и \( Q = [35; 80] \). Укажите наименьшую возможную длину отрезка \( A \), при которой выражение

\( (x\in P) \to \big(((x\in Q)\land \neg(x\in A)) \to \neg(x\in P)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [7; 26] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 77, отличных от 1 и самого числа 77; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [3; 60] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 177, отличных от 1 и самого числа 177; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Элементами множеств \( A \), \( P \) и \( Q \) являются натуральные числа. Множество \( P \) — это все натуральные делители числа 360, множество \( Q \) — все натуральные делители числа 540.

Известно, что выражение

\( \big((x\in A)\to(x\in P)\big) \land \big(\neg(x\in Q)\to\neg(x\in A)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \). Определите наибольшее возможное количество элементов множества \( A \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [3; 48] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 10, отличных от 1 и самого числа 10; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [2; 70] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 134, отличных от 1 и самого числа 134; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (4x + 5y \neq 18000) \lor (x \gt A) \lor (y \gt A) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (5x + 4y \neq 200) \lor (x \gt A) \lor (y \gt A) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \mathrm{ДЕЛ}(x, 2048) \to \big(\neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, 1280)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \mathrm{ДЕЛ}(x, 512) \to \big(\neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, 144)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \big(\mathrm{ДЕЛ}(x, 24) \land \mathrm{ДЕЛ}(x, 36)\big) \to \mathrm{ДЕЛ}(x, A) \)

тождественно истинно (принимает значение 1) при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( x \mathbin{\&} y \) поразрядную конъюнкцию (логическое «И») неотрицательных целых чисел \( x \) и \( y \). Например, \( 14 \mathbin{\&} 5 = 4 \).

Найдите наименьшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( (x \mathbin{\&} 1048580 \neq 0) \to \big((x \mathbin{\&} 5 = 0) \to (x \mathbin{\&} A \neq 0)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \). Здесь \( 1048580 = 2^{20} + 2^{2} \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( x \mathbin{\&} y \) поразрядную конъюнкцию (логическое «И») неотрицательных целых чисел \( x \) и \( y \). Например, \( 14 \mathbin{\&} 5 = 4 \).

Найдите наименьшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( (x \mathbin{\&} 20 \neq 0) \to \big((x \mathbin{\&} 5 = 0) \to (x \mathbin{\&} A \neq 0)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Миша заполнял таблицу истинности логической функции F \((x \vee y) \wedge \neg(y \equiv z) \wedge \neg w\), но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Впишите строчные буквы w, x, y, z в ячейки первой строки таблицы.

Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на N непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной H и W, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям.

Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Для каждой звезды дана характеристика: тип цвета, тип светимости и её размер в соответствии с таблицей.

Полученные значения записаны в характеристике слитно: обозначение цвета, светимость (обозначается арабской цифрой от 1 до 9) и размер звезды. Например, G5III — белая звезда, светимость 5, гигант.

Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

\(d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

В файле А хранятся данные о звёздах двух кластеров, где H=7, W=5 для каждого кластера. В каждой строке записана информация об одной звезде: сначала координата x, затем координата y, затем характеристика звезды. Значения даны в условных единицах. Известно, что количество точек не превышает 1000.

В файле Б хранятся данные о звёздах трёх кластеров, где H=3, W=7 для каждого кластера. Известно, что количество точек не превышает \(10\,000\). Структура хранения информации о звёздах в файле Б аналогична файлу А.

Известно, что в файле Б имеются координаты ровно трёх «лишних» точек, являющихся аномалиями, возникшими в результате помех при передаче данных. Эти три точки не относятся ни к одному из кластеров, их учитывать не нужно.

Гарантируется, что во всех кластерах обоих файлов количество точек различно.

Взвешенным радиусом кластера будем называть величину

\(R_w = \dfrac{\sum_{i} l_i \cdot d(s_i,\, C)}{\sum_{i} l_i}\),

где суммирование ведётся по всем звёздам кластера (кроме центра), \(l_i\) — светимость звезды \(s_i\), а \(C\) — центр кластера.

Для файла А определите центр каждого кластера и найдите два числа: \(A_1\) — светимость (цифра из характеристики) звезды, являющейся центром кластера с меньшим числом точек; \(A_2\) — количество звёзд-сверхгигантов (размер I) в кластере с бо́льшим числом точек.

Для файла Б определите центр каждого кластера (без учёта трёх «лишних» точек) и найдите два числа: \(B_1\) — взвешенный радиус кластера с наименьшим числом точек; \(B_2\) — расстояние между центрами кластеров с максимальным и минимальным взвешенным радиусом.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке — \(A_1\) и \(A_2\) через пробел; во второй строке — целую часть произведения \(B_1 \times 10\,000\) и целую часть произведения \(B_2 \times 10\,000\) через пробел.

Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на N непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной H и W, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям.

Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Для каждой звезды дана характеристика: тип цвета, тип светимости и её размер в соответствии с таблицей.

Полученные значения записаны в характеристике слитно: обозначение цвета, светимость (обозначается арабской цифрой от 1 до 9) и размер звезды. Например, G5III — белая звезда, светимость 5, гигант.

Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

\(d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

В файле А хранятся данные о звёздах двух кластеров, где H=7, W=5 для каждого кластера. В каждой строке записана информация об одной звезде: сначала координата x, затем координата y, затем характеристика звезды. Значения даны в условных единицах. Известно, что количество точек не превышает 1000.

В файле Б хранятся данные о звёздах трёх кластеров, где H=3, W=7 для каждого кластера. Известно, что количество точек не превышает \(10\,000\). Структура хранения информации о звёздах в файле Б аналогична файлу А.

Известно, что в файле Б имеются координаты ровно трёх «лишних» точек, являющихся аномалиями, возникшими в результате помех при передаче данных. Эти три точки не относятся ни к одному из кластеров, их учитывать не нужно.

Гарантируется, что во всех кластерах обоих файлов количество точек различно.

Центром масс группы точек называется точка, координаты которой равны средним арифметическим координат всех точек группы.

Цветовой сегрегацией цвета \(c\) в кластере будем называть расстояние от центра кластера до центра масс всех звёзд цвета \(c\) в этом кластере.

Для файла А определите центр каждого кластера и найдите два числа: \(A_1\) — количество звёзд наименее частого цвета в кластере с меньшим числом точек; \(A_2\) — максимальная цветовая сегрегация среди всех цветов в кластере с бо́льшим числом точек.

Для файла Б определите центр каждого кластера (без учёта трёх «лишних» точек) и найдите два числа: \(B_1\) — максимальная цветовая сегрегация среди всех цветов и всех кластеров; \(B_2\) — количество звёзд того цвета и в том кластере, для которого достигнута \(B_1\).

В ответе запишите четыре числа: в первой строке — \(A_1\) и целую часть произведения \(A_2 \times 10\,000\) через пробел; во второй строке — целую часть произведения \(B_1 \times 10\,000\) и \(B_2\) через пробел.

Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на N непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной H и W, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям.

Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Для каждой звезды дана характеристика: тип цвета, тип светимости и её размер в соответствии с таблицей.

Полученные значения записаны в характеристике слитно: обозначение цвета, светимость (обозначается арабской цифрой от 1 до 9) и размер звезды. Например, G5III — белая звезда, светимость 5, гигант.

Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

\(d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

В файле А хранятся данные о звёздах двух кластеров, где H=7, W=5 для каждого кластера. В каждой строке записана информация об одной звезде: сначала координата x, затем координата y, затем характеристика звезды. Значения даны в условных единицах. Известно, что количество точек не превышает 1000.

В файле Б хранятся данные о звёздах трёх кластеров, где H=3, W=7 для каждого кластера. Известно, что количество точек не превышает \(10\,000\). Структура хранения информации о звёздах в файле Б аналогична файлу А.

Известно, что в файле Б имеются координаты ровно трёх «лишних» точек, являющихся аномалиями, возникшими в результате помех при передаче данных. Эти три точки не относятся ни к одному из кластеров, их учитывать не нужно.

Гарантируется, что во всех кластерах обоих файлов количество точек различно.

Радиусом кластера будем называть максимальное расстояние от центра кластера до любой другой звезды этого кластера.

Спектральной однородностью кластера будем называть долю звёзд этого кластера, цвет которых совпадает с цветом звезды-центра кластера.

Для файла А определите центр каждого кластера и найдите два числа: \(A_1\) — радиус кластера с меньшим числом точек; \(A_2\) — количество звёзд того же цвета, что и центр, в кластере с бо́льшим числом точек.

Для файла Б определите центр каждого кластера (без учёта трёх «лишних» точек). Найдите два числа: \(B_1\) — количество точек в кластере с наибольшим радиусом; \(B_2\) — спектральная однородность кластера с наименьшим числом точек.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке — целую часть произведения \(A_1 \times 10\,000\) и \(A_2\) через пробел; во второй строке — \(B_1\) и целую часть произведения \(B_2 \times 10\,000\) через пробел.