Алгоритмы

В мире двоичных чисел решили разобраться, почему некоторые числа не дружат друг с другом, потому после ряда проведённых экспериментов было выявлено, что точно не дружат друг с другом те числа, которые нельзя поставить рядом так, чтобы в их последовательности не было двух и более единиц подряд, а также не было трёх и более нулей подряд.
Помогите понять жителям двоичного мира, сколько пар чисел от 1 до N нельзя точно никак подружить.
Например: есть два числа 4 и 5, в двоичной системе счисления они представлены как 100 и 101. Если их поставить как 101 и 100, получится 101100, что даёт две единицы подряд в строке, значит дружить они не будут, но если поставим наоборот 100 и 101 = 100101, то двух единиц подряд нет, а также нет трёх и более нулей подряд, значит числа могут подружиться.
Формат входных данных
На первой строке подаётся число N (1 <= N <= 10⁵) – количество чисел в двоичном мире от 1 до N (включительно).
Формат выходных данных
Вывести на первой строке количество пар чисел, которые никак нельзя будет подружить друг с другом. Рассматриваются все числа от 1 до N, но все числа уникальны, потому не рассматриваются пары одинаковых чисел и повторяющиеся пары (если нельзя подружить число x с числом y, то пара (x, y) и (y, x) считается одной парой чисел).

В мире двоичных чисел произошёл масштабный сбой, теперь двоичные числа разучились складываться друг с другом. Притом спустя часть времени была выявлена закономерность новых правил сложения, она оказалась следующей:

• 1 + 1 = 0
• 1 + 0 = 1
• 0 + 1 = 0
• 0 + 0 = 1

Таким образом было выявлено, что также порядок слагаемых имеет значение (первое слагаемое число верхнее, второе – нижнее). Так как все эти правила теперь запомнить было очень сложно, то попросили разработать алгоритм, который будет принимать два двоичных числа одинаковой длины и возвращать результат суммы этих двух чисел в столбик.

Формат входных данных
На первой строке подаётся первое слагаемое – двоичное число без значащих нулей длины N (1 <= N <= 10⁵).
На второй строке подаётся второе слагаемое – двоичное число без значащих нулей также длины N.

Формат выходных данных
Вывести на первой строке результат суммы двух двоичных чисел. Если в результате есть незначащие нули, то выводить без них. Если получился 0, то вывести просто 0.

Алгоритм вычисления функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:
F(n) = n, если n < 11,
F(n) = n + F(n­ –1), если n ≥ 11

По заданным числам A и B вычислите значение выражения F(A) – F(B)?

Входные данные
А и B вводятся с клавиатуры (2000 <= A, B <= 5000). Каждое число в отдельной строке.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2023 2007	32248

Злым числом в математике называется неотрицательное целое число с чётным числом единиц в его двоичной записи (например, число 5 — злое, в его двоичной записи две единицы). Они используются в теории чисел при исследовании последовательности Морса–Туэ и применяются в алгоритмах фрактального сжатия изображений. Натуральное число будем называть очень злым, если само оно чётное и количество единиц в его двоичной записи также чётное. Это такие числа, как 6, 10, 12, 18, 20 и так далее. По данному n определите количество очень злых чисел, не превосходящих n.

Формат входных данных
Единственная строка входного файла содержит натуральное число n (1 ≤ n ≤ 10⁹ ).

Формат выходных данных
Выведите одно неотрицательное целое число — количество очень злых натуральных чисел, не превосходящих n.

На столе у большого начальника лежит стопка из N заявлений, пронумерованных сверху вниз от 1 до N. Первое заявление он подписывает и убирает из стопки, второе — выбрасывает в мусорную корзину, третье — кладёт вниз стопки. Далее процесс продолжается аналогично, пока заявления в стопке не закончатся. Определите, будет ли заявление с номером K подписано или выброшено, а также номер шага, на котором это произойдёт. Одним шагом является каждая из трёх операций, описанных выше.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит целое число N, вторая строка — целое число K (1 ≤ N ≤ 10⁹ , 1 ≤ K ≤ N).
Формат выходных данных
В первой строке выведите «Yes», если заявление с номером K будет подписано, и «No», если оно будет выброшено. Во второй строке выведите номер шага, на котором это произойдёт.

Замечание
В первом примере из условия в стопке находятся 4 заявления: (1, 2, 3, 4). Заявление 1 подписывается, заявление 2 выкидывается, заявление 3 перекладывается в конец. После выполнения трёх шагов в стопке будут заявления (4, 3). Поэтому на пятом шаге заявление 3 будет выброшено.
Во втором примере из условия стопка имеет вид (1, 2, 3, 4, 5). После выполнения трёх шагов стопка будет иметь вид (4, 5, 3). За следующие три шага заявление 4 будет подписано, заявление 5 будет выброшено, а заявление 3 — переложено в конец стопки (в которой ничего не будет, кроме заявления 3). Поэтому после шести шагов стопка будет иметь вид (3). На седьмом шаге заявление 3 будет подписано.

Тимофею на день рождения родители подарили металлоискатель. Естественно, наутро мальчик отправился на поиски клада. Он предположил, что когда-то давно кто-то мог обронить золотую монету на древней прямой дороге и для облегчения поиска придумал систему координат. Ось абсцисс OX направлена вдоль дороги, а ось ординат OY направлена вверх.
Устройство работает следующим образом: на его индикаторе выставляется натуральное число r и если ровно на этом расстоянии имеется золотой предмет, то загорается зелёная лампочка.
Сначала юный кладоискатель выставил число r1 в точке x = 0, затем отошёл в точку с абсциссой x = a и выставил число r2, как показано на рисунке. Новичкам везёт, оба раза загорелась зелёная лампочка. Определите координаты потерянной когда-то давно золотой монетки.

Формат входных данных
Программа получает на вход три целых числа a, r1 и r2, записанных в отдельных строках (1 ≤ a, r₁, r₂ ≤ 10⁹ ).
Формат выходных данных
Выведите в двух строках два числа – координаты сокровища (сначала — абсциссу, потом — ординату). Значение ординаты должно быть не положительным (монетка не может висеть в воздухе). Гарантируется, что входные данные таковы, что ответ существует и обе координаты монеты будут целыми числами.

Замечание
Рисунок соответствует примеру из условия.

В деревне Летовецк, где живут мудрые старцы и их ученики, существует древний банк, который хранит богатства в виде ле́токоинов — особых монет, обладающих магической силой. Однако банк установил строгие правила: чтобы снять деньги, нужно использовать только определённые суммы за одну операцию:

• за одну операцию можно снять только 1 ле́токоин,

• за одну операцию можно снять сумму 6^x, где x  - любое натуральное число (можно снять сумму равную 6, 36, 216, и т.д.),

• за одну операцию можно снять сумму 9^x, где x  - любое натуральное число  (можно снять сумму равную 9, 81, 729, ...).

Старец Летовец спросил своих учеников: за какое минимальное количество операций вы сможете снять ровно N ле́токоинов?

Примечание: невозможно повторно вносить снятые деньги в банк!

Формат входных данных
На вход подается целое число N (\(1<=N<=100000\)).

Формат выходных данных
Выведите ответ на задачу.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснения
1	127	4	При снятии 1 + 9 + 36 + 81 получится снять 127 летокоинов за 4 операции.
2	3	3	1+1+1 = 3, всего 3 операции
3	44852	16

 

Эрен хочет открыть подвал своего дома, но, к сожалению, потерял ключ. Альтернативный способ попасть в подвал — ввести на замке разблокирующий его код доступа.

Замок на двери подвала устроен следующим образом:

• на нем есть два кодовых механизма, первый из которых изначально указывает на число \(a\), а второй — на число \(b\);

• первый кодовый механизм сломан, поэтому изменить значение \(a\) нельзя;

• второй кодовый механизм можно вращать только в одном направлении, тем самым увеличивая значение \(b\);

• замок открывается тогда и только тогда, когда существует целое число \(d > 1\), делящее и \(a\), и \(b\) (иными словами, когда у \(a\) и \(b\) есть общий делитель больше единицы).

За одну секунду Эрен может повернуть второй кодовый механизм так, что \(b\) увеличится ровно на \(1\). Определите, за какое минимальное время Эрен сможет открыть подвал.

Формат входных данных
В первой строке дано единственное целое число \(t\) — количество тестовых случаев \((1 \leqslant t \leqslant 1000)\).

В \(i\)-й из следующих \(t\) строк через пробел даны два целых числа \(a_i\) и \(b_i\) — начальные значения, на которые указывают кодовые механизмы в \(i\)-м тесте (\(2 \leqslant a_i, b_i \leqslant 10^9\)).

Формат выходных данных
Для каждого теста выведите в отдельной строке минимальное время, за которое Эрен откроет подвал.

 

Новая татарская игра <<2026>> ведется на прямоугольной клетчатой доске, состоящей из \(m\) строк и \(n\) столбцов. Доска разбита на \(m \times n\) единичных клеток размером \(1 \times 1\). На некоторых клетках стоят квадратные фишки размером \(1 \times 1\), на каждой фишке написана одна из \(26\) английских букв.

С фишками производятся \(q\) операций. Каждая операция состоит в перемещении всех фишек до упора в одном из четырех направлений. Таким образом, последовательность операций задается строкой \(s\) длины \(q\), состоящей из символов, соответствующих направлениям: <<L>> — влево, <<R>> — вправо, <<U>> — вверх и <<D>> — вниз.

Операция выполняется следующим образом: пока на доске есть хотя бы одна фишка, для которой соседняя с ней в заданном направлении клетка является свободной, эта фишка передвигается на эту соседнюю клетку.

Определите, как будет выглядеть доска после выполнения всех операций.

Формат входных данных

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке теста задано целое число \(t\) — количество наборов входных данных в тесте (\(1 \le t \le 200\,000\)). Далее следуют описания наборов входных данных. Каждый набор входных данных описывается следующим образом:

В первой строке набора заданы целые числа \(m\) и \(n\) — размеры доски (\(1 \le m, n \le 10^6\), \(1 \le m\times n \le 10^6\)).

В следующих \(m\) строках задано изначальное расположение фишек на доске.

В \(i\)-й строке (\(1 \le i \le m\)) находится строка \(a_{i1}a_{i2}\ldots a_{in}\) длины \(n\), задающая \(i\)-ю строку доски. Каждый символ \(a_{ij}\) является либо строчной буквой английского алфавита от <<a>> до <<z>>, либо точкой <<.>>. Если \(a_{ij}=\mbox{<<.>>}\), то клетка в \(i\)-й строке и \(j\)-м столбце является пустой, иначе в ней находится фишка, на которой написана буква \(a_{ij}\).

В последней строке заданы \(q\) символов \(s_1s_2\ldots s_q\) без пробелов, задающие последовательность операций (\(1 \le q \le 10^6\)). Каждый символ \(s_i\) является одним из символов <<L>>, <<R>>, <<U>> или <<D>>.

Сумма значений \(m \times n\) по всем наборам входных данных не превышает \(2\cdot 10^6\). Сумма значений \(q\) по всем наборам входных данных не превышает \(2\cdot 10^6\).

Формат выходных данных
Для каждого набора входных данных выведите итоговое расположение фишек на доске после выполнения всех операций в том же формате, что и во входных данных.

Обозначим через \(\sum mnq\) сумму \(mnq\) по всем наборам входных данных.

Обозначим через \(\sum mq\) сумму \(mq\) по всем наборам входных данных.

Назовем расположение фишек лестницей, если \(m=n\), \(a_{ij}={<<\texttt{.}>>}\) для всех \(1 \le i \le j \le n\) и \(a_{ij}\ne{<<\texttt{.}>>}\) для всех \(1 \le j < i \le n\). Иными словами, все фишки находятся на клетках ниже главной диагонали доски, и на каждой клетке ниже главной диагонали есть фишка.

Пояснения к примерам
В первом наборе входных данных из примера доска изначально выглядит так:

Первая операция сдвигает все фишки влево, так как \(s_1={<<\texttt{L}>>}\). После ее выполнения доска будет выглядеть следующим образом:

Вторая операция сдвигает все фишки вправо, так как \(s_2={<<\texttt{R}>>}\). После ее выполнения доска будет выглядеть следующим образом:

Третья и последняя операция сдвигает все фишки наверх, так как \(s_3={<<\texttt{U}>>}\). После ее выполнения доска будет выглядеть следующим образом:

Напишите программу на Python, которая:

1. Считывает уравнение из строки.

2. Преобразует строку в символьное уравнение с помощью SymPy.

3. Решает уравнение.

4. Выводит корни уравнения.

В зале есть ряд из n мест, пронумерованных числами от 1 до n слева направо. Пройти к любому месту можно либо с левого конца ряда, либо с правого. Первоначально некоторые места уже заняты и ещё k человек по одному садятся на свободные места. Каждый человек выбирает себе свободное место, до которого ближе всего идти от одного из концов ряда. Если же есть два свободных места, одинаково удалённых от левого и правого концов ряда, то человек выберет левое место (с меньшим номером).
Определите номера мест, которые будут выбирать люди, в порядке их прихода.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 2 · 10⁵ ) — количество мест в ряду.
Вторая строка содержит целое число k (1 ≤ k ≤ n) — количество приходящих людей.
Третья строка содержит строку s длины n, состоящую из символов «0» и «1» и задающую первоначальную рассадку. Занятые места обозначаются единицами, пустые — нулями. Гарантируется, что в строке s содержится не менее k нулей.
Формат выходных данных
Программа должна вывести k чисел — номера выбранных мест в порядке прихода новых людей.

Замечание
В первом примере первоначально заняты места 1, 2 и 6 (рисунок А).
Если первый пришедший будет двигаться с левой стороны ряда, он пройдёт мимо 1 и 2 места, прежде чем доберётся до свободного места с номером 3. Если же он будет двигаться с правой стороны ряда, то ему понадобится пройти мимо одного места с номером 6, после чего он сможет занять место 5. Именно это место он и выберет (рисунок Б).
Второй пришедший может занять либо место с номером 3, двигаясь с левой стороны и проходя мимо двух занятых мест 1 и 2, либо место с номером 4, двигаясь с правой стороны и проходя мимо двух занятых мест 6 и 5. Поскольку в обоих случаях ему нужно пройти мимо двух занятых мест, он будет двигаться с левой стороны и займёт место с номером 3.
Во втором примере в ряду 6 мест, второе и пятое места изначально уже заняты, заходят ещё 3 человека. Первый заходящий человек будет выбирать между первым и шестым местами, заходя с левого или правого края соответственно. В обоих случаях ему придётся пройти мимо нуля занятых мест, поэтому он решит зайти слева и сесть на 1 место. Второй человек будет выбирать между третьим и шестым местами. В первом случае ему придётся идти мимо двух занятых мест, во втором — мимо нуля, поэтому он выберет зайти справа — 6 место. Третий человек будет выбирать между третьим и четвертым местами. В обоих случаях ему придётся пройти мимо двух занятых мест, поэтому он выберет зайти слева — 3 место.

Фотографа попросили сделать фотосессию группы детей для выпускного альбома в детском саду. В числе прочих, он должен сделать групповой снимок, на котором должны присутствовать все дети одновременно. Фотограф считает, что для красивой фотографии группы требуется очень тщательно расставить детей в кадре. В частности, с его точки зрения, группа должна расположиться как можно компактнее по ширине, то есть количество людей в самом длинном ряду на фотографии должно быть как можно меньше.
Для гармоничного расположения детей фотограф размещает детей не более чем в четыре ряда. Девочек он располагает либо во втором ряду, сидящими на стульчиках, либо стоящими в третьем ряду. Мальчиков он размещает либо в первом ряду, сидящими на корточках, либо в четвёртом ряду, стоящими на стульчиках. Группа состоит из a мальчиков и b девочек. В студии есть стулья в количестве c штук. Какие-то ряды могут быть пустыми. Все стулья использовать не обязательно.
По заданным числам a, b и c требуется определить, какого наименьшего по ширине расположения группы сможет добиться фотограф.
Формат входных данных
Программа получает на вход три целых неотрицательных числа a, b и c, записанных в отдельных строках — количество мальчиков, девочек и стульев соответственно. Все числа не превосходят 10¹⁸ .
Обратите внимание, что значения переменных в этой задаче могут превышать возможные значения 32-битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64-битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#).
Формат выходных данных
Вывести одно целое число — минимальную ширину группы, которую сможет организовать фотограф.

Замечание
Во всех примерах в условии группа состоит из 9 мальчиков и 15 девочек.
В первом примере стульев нет, поэтому все девочки стоят, все мальчики сидят на корточках, общая ширина группы 15.
Во втором примере есть 4 стула. Можно посадить 4 девочек во втором ряду на эти стулья, остальные 11 девочек будут стоять в третьем ряду. Все мальчики будут сидеть на корточках в первом ряду. Общая ширина группы 11.
В третьем примере есть 7 стульев. Тогда есть два способа получить группу ширины 9. Например, можно посадить на все стулья девочек, тогда в первом ряду будет 9 мальчиков, во втором ряду будет 7 девочек, в третьем ряду 8 девочек. Либо можно посадить на стулья 6 девочек и поставить одного мальчика в четвёртый ряд. Тогда получим 8 мальчиков в первом ряду, 6 девочек во втором, 9 девочек в третьем и 1 мальчика в четвёртом. В любом из этих двух случаев ширина группы равна 9.
В четвёртом примере стульев много и есть несколько способов организовать группу ширины 8. Один из способов такой: посадим на корточки 4 мальчика в первом ряду, далее посадим 8 девочек на стулья во втором ряду, оставшиеся 7 девочек встанут в третьем и 5 мальчиков поставим на стульчики в четвёртом.

Аполлинария Прокофьевна и Белла Прокофьевна — две сестры-пенсионерки. Аполлинарии Прокофьевне каждый день необходимо принимать одну таблетку от забывчивости. К сожалению, этот режим она не соблюдает и вспоминает о лекарстве только раз в a дней (то есть приняв лекарство сначала в первый день, в следующий раз она примет его в день номер 1 + a). Белле Прокофьевне каждый день необходимо принимать одну таблетку от жадности. Ко всеобщему огорчению, и её болезнь сильнее лекарства, поэтому каждый день она глотает b таблеток. Внешне эти таблетки выглядят совершенно одинаково и каждая из сестёр считает, что вот этот пузырёк с n пилюлями именно её. На сколько дней им хватит этого количества лекарств?

Формат входных данных
Три строки входных данных содержат три целых числа a, b (1 ≤ a, b ≤ 100) и n (1 ≤ n ≤ 10¹⁸).
Обратите внимание, что значения переменных в этой задаче могут превышать возможные значения 32-битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64-битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#).
Формат выходных данных
Программа должна вывести одно число — ответ на задачу.

Замечание
В первом примере Аполлинария Прокофьевна принимает по одной таблетке раз в два дня (начиная с первого), Белла Прокофьевна принимает по три таблетки каждый день. В пузырьке 12 таблеток.
В первый день Аполлинария принимает одну таблетку, а Белла — три. В пузырьке осталось восемь пилюль.
Во второй день Аполлинария забывает принять таблетку, а Белла опять съедает три. В пузырьке осталось пять пилюль.
В третий день Аполлинария принимает одну таблетку, а Белла — три. В пузырьке осталась последняя пилюля, ещё на один день этого количества сёстрам не хватит.
Во втором примере начального количества таблеток не хватит даже на один день.

В разведывательное управление доставили сейф с секретной информацией, кодовый замок на котором открывается комбинацией из n цифр, каждая цифра может принимать b различных значений от 0 до b − 1. Код неизвестен, однако разведчики передали несколько донесений о том, что сумма цифр кода в некоторых заданных позициях равна какому-то известному числу. Используя информацию из всех полученных донесений, определите, сколько существует возможных кодов, удовлетворяющих этим условиям.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит число b — количество различных значений одной цифры кода, 2 ≤ b ≤ 10. Вторая строка содержит число n — количество цифр в коде, n \(\geq\) 1, bⁿ ≤ 60 000. Третья строка содержит число t – количество имеющихся донесений о сумме каких-то цифр кода, t \(\geq\) 1.
Следующие 2t строк содержат информацию об имеющихся донесениях. Каждое донесение состоит из двух строк. Первая из этих строк («маска цифр») содержит n символов, записанных слитно и равных «0» или «1», где цифра «1» обозначает, что в донесении говорится об этой цифре кода. Например, маска цифр «01011» означает сумму цифр, стоящих в коде на 2-й, 4-й и 5-й позициях. Во второй строке донесения записано число s, равное сумме цифр кода, стоящих на данных позициях. Гарантируется, что каждая маска цифр содержит хотя бы одну единицу и что все маски цифр различаются. Общее число донесений может быть любым, удовлетворяющим этим условиям.

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно целое число — количество различных кодов, которые удовлетворяют всем донесениям.

Замечание
В примере из условия каждая цифра кода может принимать 8 различных значений от 0 до 7, код состоит из 3 цифр. Получены 2 донесения, из первого донесения известно, что сумма первой и второй цифры кода равна 7, из второго донесения известно, что сумма второй и третьей цифры кода равна 12. Существуют 3 кода, удовлетворяющие этим условиям: «075», «166», «257».

Трое друзей — Аня, Боря и Саша — пришли на детскую площадку, чтобы покачаться на качеляхбалансире. Качели представляют собой длинную балку, закреплённую в центре, на которую дети садятся с разных концов.

Массы детей равны A, B и C кг. Чтобы держать баланс на качелях, разница масс на двух концах качелей должна быть не более D кг. Друзьям повезло: рядом с площадкой оказалась груда достаточно тяжёлых камней. Один из детей может взять с собой любой камень, чтобы сделать разность масс на концах качелей допустимой. Помогите друзьям определить минимальную массу камня, благодаря которому они смогут покачаться на качелях.

Формат входных данных
Программа получает на вход три числа A, B, C, записанных в отдельных строках, — массы друзей. В четвёртой строке записано число D — наибольшая допустимая разница масс на концах качелей. Все числа — целые, положительные и не превосходящие 10⁹ .

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно целое число — минимальную необходимую массу камня, которую нужно добавить на одну из сторон качелей, чтобы друзья смогли покачаться на них, сев оптимально. Если камень им не понадобится, программа должна вывести число 0. 

Замечание
В первом примере Аня и Саша сядут на одну сторону, их суммарная масса будет равна 65 кг. На другую сторону сядет Боря, взяв 15-килограммовый камень, тогда масса Бори с камнем составит 55 кг. Разница весов на концах качелей примет значение 10 кг. Во втором примере Аня и Боря сядут на одну сторону (50 кг), Саша — на другую сторону (45 кг). Разница весов будет равна 5 кг, поэтому камень не понадобится.

В далеком королевстве жил могучий маг по имени Максимус, который обладал уникальной способностью управлять волшебными кристаллами. Эти кристаллы были не простыми — на каждом из них написано целое число, колеблющееся от –100 000 до 100 000. Однажды, Максимус решил провести эксперимент и выяснить, сколько волшебных троек кристаллов он сможет найти.

Но не просто троек! В каждой тройке должно быть хотя бы одно число, которое таит в себе загадочную цифру 2. Кроме того, сумма чисел, записанных на этих трех кристаллах должна быть простым числом, потому что простые числа это любимые числа Максимуса. (Тройкой кристаллов Максимус считает три кристалла, которые лежат рядом.)

Итак, наш маг отправился в путешествие по своей коллекции кристаллов. Он проверял каждую тройку лежащих рядом кристаллов, проверяя каждую на наличие заветной цифры 2 и вычисляя их сумму. В конце концов, он хотел узнать, сколько таких волшебных троек ему удалось найти, и какая из них имела максимальную сумму.

Помогите Максимиусу в его приключении! Напишите программу, которая определит количество таких троек и вычислит максимальную сумму среди них. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных троек, затем максимальную сумму элементов таких троек.

Формат входных данных
В первой строке вводится число N (1<=N<=10 000)  - количество кристаллов, которые имеются у Максимуса. В следующих N строках, по одному в строке, вводятся N целых чисел - числа, которые записаны на кристаллах (все числа по модулю не более 100 000).


Формат выходных данных

В ответе запишите два числа в одной строке через пробел: сначала количество найденных троек чисел, затем максимальную сумму элементов таких троек.

Для последовательности целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и целого числа \(x\) обозначим через \(f(a, x)\) количество таких целых \(i\) от \(1\) до \(n\), что \(a_i \le x\).

Для пары последовательностей целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) обозначим через \(g(a, b, c)\) сумму значений \(|f(a, x)-f(b, x)|\) по всем целым \(x\), лежащим в отрезке \([0, c]\). Более формально, \(g(a, b, c) = \sum_{x=0}^c |f(a, x)-f(b, x)|\).

Вам даны два целых числа \(n\) и \(c\), а также две последовательности целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n\), все элементы которых лежат в отрезке \([-1, c]\). Известно, что ни в \(a\), ни в \(b\) нет двух подряд идущих элементов, равных \(-1\).

Скажем, что пара последовательностей целых чисел \(a_1', a_2', \ldots, a_n'\) и \(b_1', b_2', \ldots, b_n'\), все элементы которых лежат в отрезке \([0, c]\), соответствует шаблону \((a, b)\), если выполняются следующие условия:

• Для всех \(i\) (\(1 \le i \le n\)), таких, что \(a_i \ne -1\), выполняется \(a_i'=a_i\).

• Для всех \(i\) (\(1 \le i \le n\)), таких, что \(b_i \ne -1\), выполняется \(b_i'=b_i\).

• Для всех \(i\) (\(1 \le i \le n-1\)) выполняется \(a_i' \le a_{i+1}'\).

• Для всех \(i\) (\(1 \le i \le n-1\)) выполняется \(b_i' \le b_{i+1}'\).

Обозначим через \(h(a, b, c)\) сумму значений \(g(a', b', c)\) по всем парам последовательностей \((a', b')\), соответствующих шаблону \((a, b)\). Вы должны посчитать \(h(a, b, c)\). Также вы должны обработать \(q\) запросов изменения последовательностей \(a\) и \(b\) и посчитать \(h(a, b, c)\) после каждого изменения. Обратите внимание, что ни в \(a\), ни в \(b\) нет двух подряд идущих элементов, равных \(-1\), ни до всех запросов, ни после какого-либо запроса.

Формат входных данных
Первая строка содержит три целых числа \(n\), \(c\) и \(q\) (\(1 \le n \le 100\,000\), \(0 \le c \le 10^9\), \(0 \le q \le 100\,000\)) — длина последовательностей \(a\) и \(b\), ограничение на значения элементов \(a\) и \(b\) и количество запросов, соответственно.

Вторая строка содержит \(n\) целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) (\(-1 \le a_i \le c\)) — последовательность \(a\).

Третья строка содержит \(n\) целых чисел \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) (\(-1 \le b_i \le c\)) — последовательность \(b\).

В следующих \(q\) строках заданы запросы изменения. Каждый запрос задается тройкой целых чисел \(t\), \(p\), \(x\) (\(1 \le t \le 2\), \(1 \le p \le n\), \(-1 \le x \le c\)). Если \(t=1\), то данный запрос меняет \(a_p\) на \(x\). Если \(t=2\), то данный запрос меняет \(b_p\) на \(x\).

Гарантируется, что до всех изменений и после каждого изменения ни в \(a\), ни в \(b\) нет двух подряд идущих элементов, равных \(-1\).

Формат выходных данных
Выведите \((q+1)\) строку. В \((i+1)\)-й строке (\(0 \le i \le q\)) выведите одно целое число — значение \(h(a, b, c)\) по модулю \(10^9+7\) после применения первых \(i\) запросов изменения.

Примечание
Рассмотрим первый тест из примера. В нем \(n=3\), \(c=4\), \(q=3\). До всех запросов \(a=[-1, 1, 3]\), \(b=[1, -1, 2]\). Шаблону \((a, b)\) соответствуют следующие пары последовательностей:

• \(a'=[0, 1, 3], b'=[1, 1, 2]\), \(g(a, b, 4)=2\).

• \(a'=[0, 1, 3], b'=[1, 2, 2]\), \(g(a, b, 4)=3\).

• \(a'=[1, 1, 3], b'=[1, 1, 2]\), \(g(a, b, 4)=1\).

• \(a'=[1, 1, 3], b'=[1, 2, 2]\), \(g(a, b, 4)=2\).

Таким образом, ответ на задачу до всех запросов равен \(h(a, b, 4)=2+3+1+2=8\).

В первом запросе \(t=1\), \(p=1\), \(x=2\). Этот запрос меняет \(a_1\) с \(-1\) на \(2\). Таким образом, после этого запроса \(a=[2, 1, 3]\), \(b=[1, -1, 2]\). В последовательности \(a\) нет \(-1\), поэтому в любой паре последовательностей \((a', b')\), соответствующей шаблону \((a, b)\), последовательность \(a'\) должна совпадать с \(a\). В последовательности \(a\) не выполняется условие \(a_1 \le a_2\), поэтому не существует ни одной пары последовательностей, соответствующей шаблону, а тогда \(h(a, b, 4)=0\) после первого запроса.

В известной школе прошёл урок физкультуры. Как полагается, всех построили в шеренгу и попросили рассчитаться на <<первый–\(k\)-й>>, где \(k > 1\).

Как известно, расчёт на <<первый–\(k\)-й>> происходит следующим образом: первые \(k\) человек имеют номера \(1, 2, 3, \ldots, k\), следующие \(k - 1\) человек имеют номера \(k - 1, k - 2, \ldots, 1\), следующие \(k - 1\) человек имеют номера \(2, 3, \ldots, k\) и т.д. Таким образом, расчёт повторяется через каждые \(2k - 2\) позиции. Примеры расчёта приведены в разделе <<Замечание>>.

Мальчик Вася постоянно всё забывает. Например, он забыл число \(k\), описанное выше. Но он помнит позицию, которую занимал в шеренге, а также какой номер он получил при расчёте. Помогите Васе понять, сколько натуральных чисел \(k\) подходят под данные ограничения.

Обратите внимание, что не существует расчёта для \(k = 1\).

Формат входных данных
Первая строка содержит одно целое число \(n\) (\(2 \leq n \leq 10^9\)) — позиция Васи в ряду в нумерации, начинающейся с \(1\).

Вторая строка содержит одно целое число \(x\) (\(1 \leq x < n\)) — номер, который Вася получил при расчёте.

Формат выходных данных
Выведите единственное целое число — количество различных \(k > 1\), которые подходят под данные ограничения.

Можно доказать, что при данных ограничениях ответ является конечным.

Примечание
В первом примере подходят \(k\) равные \(2, 3, 5, 6\).

Пример расчёта для этих \(k\):

Аня занимается рукоделием. Сегодня она решила связать платок из полупрозрачных ниток. Каждая нитка характеризуется единственным целым числом — коэффициентом прозрачности.

Платок делается по следующей схеме: выбираются горизонтальные нитки с коэффициентами прозрачности \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и вертикальные с коэффициентами прозрачности \(b_1, b_2, \ldots, b_m\). Затем они переплетаются между собой, как показано на картинке снизу, и образуют кусок ткани размера \(n \times m\), состоящий ровно из \(nm\) узлов:

После того, как сплетение затянется и не будет видно зазоров между нитками, каждый узел, образованный горизонтальной ниткой с номером \(i\) и вертикальной ниткой с номером \(j\), превратится в клетку, которую мы будем обозначать как \((i, j)\). Клетка \((i, j)\) будет иметь коэффициент прозрачности \(a_i + b_j\).

\(^{\dagger}\)Подквадратом куска ткани называется множество всех его клеток \((i, j)\), таких что \(x_0 \le i \le x_0 + d\) и \(y_0 \le j \le y_0 + d\) для некоторых целых чисел \(x_0\), \(y_0\) и \(d\) (\(1 \le x_0 \le n - d\), \(1 \le y_0 \le m - d\), \(d \ge 0\)).

Интересностью полученного платка будем называть количество его подквадратов\(^{\dagger}\), в которых нет пары соседних по горизонтали или по вертикали клеток с одинаковыми коэффициентами прозрачности.

Аня ещё не решила, из каких ниток плести платок, поэтому вам будут даны также \(q\) запросов изменения коэффициентов прозрачности ниток на некотором отрезке, после каждого из которых надо вывести интересность полученного платка.

Формат входных данных
Первая строка содержит три целых числа \(n\), \(m\) и \(q\) (\(1 \le n, m \le 300\,000\), \(0 \le q \le 300\,000\)) — количество горизонтальных ниток, количество вертикальных ниток и количество запросов изменения.

Вторая строка содержит \(n\) целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) (\(-10^9 \le a_i \le 10^9\)) — коэффициенты прозрачности для горизонтальных ниток, нитки пронумерованы сверху-вниз.

Третья строка содержит \(m\) целых чисел \(b_1, b_2, \ldots, b_m\) (\(-10^9 \le b_i \le 10^9\)) — коэффициенты прозрачности для вертикальных ниток, нитки пронумерованы слева-направо.

В последующих \(q\) строках указаны запросы изменения. Каждый из запросов описывается четверкой целых чисел \(t\), \(l\), \(r\) и \(x\) (\(1 \le t \le 2\), \(l \le r\), \(-10^9 \le x \le 10^9\)). В зависимости от параметра \(t\) в запросе требуется сделать следующее:

• \(t=1\). Коэффициенты прозрачности для горизонтальных ниток на отрезке \([l, r]\) увеличиваются на \(x\) (иными словами, для всех целых \(l \le i \le r\) значение \(a_i\) увеличивается на \(x\));

• \(t=2\). Коэффициенты прозрачности для вертикальных ниток на отрезке \([l, r]\) увеличиваются на \(x\) (иными словами, для всех целых \(l \le i \le r\) значение \(b_i\) увеличивается на \(x\)).

Формат выходных данных
Выведите \((q+1)\) строку. В \((i + 1)\)-й строке (\(0 \le i \le q\)) выведите одно целое число — интересность платка после применения первых \(i\) запросов.

Примечание
В первом примере коэффициенты прозрачности клеток в получившемся платке равны:

Тогда есть следующие подквадраты, не содержащие двух соседних по вертикали или по горизонтали клеток с одинаковым коэффициентом прозрачности:

• Каждая из \(16\) клеток по отдельности;

• Подквадрат с левым верхним углом в клетке \((3, 1)\) и правим нижним углом в клетке \((4, 2)\);

• Подквадрат с левым верхним углом в клетке \((2, 3)\) и правим нижним углом в клетке \((3, 4)\);

• Подквадрат с левым верхним углом в клетке \((2, 1)\) и правым нижним углом в клетке \((3, 2)\);

• Подквадрат с левым верхним углом в клетке \((3, 3)\) и правим нижним углом в клетке \((4, 4)\).

Во втором примере после первого запроса коэффициенты прозрачности горизонтальных ниток равны \([1, 2, 2]\). После второго запроса коэффициенты прозрачности вертикальных ниток равны \([2, -4, 2]\).

Напомним главное правило написания личных олимпиад: по каждой задаче нужно набрать баллы! Нельзя уйти с контеста с нулем по задаче.

Промоделируем тур олимпиады. Пусть на туре предложено \(n\) задач, \(i\)-я задача состоит из \(k_i\) подзадач, \(j\)-я подзадача \(i\)-й задачи приносит \(c_{i, j}\) баллов. Зависимостей между подзадачами нет, поэтому можно в каждой задаче выбрать любое множество подзадач и его решить. При этом нельзя выбрать пустое множество, ведь тогда по задаче будет \(0\) баллов, а это противоречит главному правилу написания личных олимпиад.

Проверьте, можно ли, придерживаясь главного правила личных олимпиад, набрать на туре ровно \(s\) баллов.

Первая строка содержит два целых числа \(n\), \(s\) (\(1 \le n \le 100\,000\), \(1 \le s \le 100\,000\)) — количество задач в контесте и необходимую сумму баллов, соответственно. Далее следуют описания задач. Описание каждой задачи состоит из двух строк.

Формат входных данных
Первая строка описания \(i\)-й задачи содержит одно целое число \(k_i\) (\(1 \le k_i \le 100\,000\)) — количество подзадач в \(i\)-й задаче.

Вторая строка описания \(i\)-й задачи содержит \(k_i\) целых чисел \(c_{i, 1}, c_{i, 2}, \ldots, c_{i, k_i}\) (\(1 \le c_{i, j} \le 100\,000\)) — баллы за подзадачи.

Гарантируется, что сумма \(k_1+k_2+\ldots+k_n\) по всем задачам не превосходит \(100\,000\).

Гарантируется, что произведение \((k_1+k_2+\ldots+k_n)\cdot s\) не превосходит \(10^7\).

Формат выходных данных
Если решения не существует, выведите <<No>>.

В противном случае в первой строке выведите <<Yes>>. Далее необходимо вывести описание решенных подзадач для каждой задачи.

Описание \(i\)-й задачи начинается с целого числа \(m_i\) (\(1 \le m_i \le k_i\)) — количества решенных подзадач \(i\)-й задачи. Далее следуют \(m_i\) различных целых чисел \(p_{i, 1}, p_{i, 2}, \ldots, p_{i, m_i}\) (\(1 \le p_{i, j} \le k_i\)) — номера решенных подзадач в \(i\)-й задаче.

Если существует несколько подходящих способов набрать \(s\) баллов, выведите любое из них.