Простые числа и разложение на множители

На Марсе строится колония! Каждому жилому модулю присваивается номер от 1 до N. По марсианским законам, модули с простыми номерами получают улучшенную систему жизнеобеспечения.

Глава колонии хочет знать:
1. Сколько модулей получат улучшенную систему?
2. Какие именно это модули?

ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ:
Одно число N (1 ≤ N ≤ 10^7) - количество модулей.

ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ:
Первая строка: количество простых чисел от 2 до N.
Вторая строка: все простые числа от 2 до N через пробел (в порядке возрастания).
Если простых чисел нет, во второй строке ничего не выводить.

Постулат Бертрана утверждает, что для любого \(n \ge 2\) найдётся простое число \(p\), для которого \(n < p < 2n\). Постулат Бертрана был сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном, проверившим её до \(n = 3\,000\,000\), и доказан в 1852 году Чебышёвым.

Петя хочет повторить подвиг Бертрана и убедиться в справедливости его постулата для разных значений \(n\). Однако, поскольку он не сомневается в корректности доказательства Чебышёва, он немного изменил цель: для данного \(n\), Петя хочет найти максимальный по длине отрезок составных чисел, который лежит строго между \(n\) и \(2n\).

Требуется найти такие \(l\) и \(r\), чтобы \(n < l \le r < 2n\), все числа от \(l\) до \(r\), включительно, были составными и \(r - l\) было максимально. Если подходящих отрезков несколько, необходимо вывести тот, у которого \(l\) минимально.

Формат входных данных
На вход подаётся одно целое чиcло \(n\) (\(3 \le n \le 10^7\)).

Формат выходных данных
Выведите искомые \(l\) и \(r\).

На уроке информатики Фоме задали задачу о проверке гипотезы Гольдбаха.
Условие задачи выглядело так:
Гипотеза Гольдбаха (не доказанная до сих пор) утверждает, что любое четное число (кроме 2) можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Фома легко решил данную задачу методом поиска "первого решения".
Дома, Фома заметил, что во время отладки, он получал решения, в которых одно из чисел было не очень большим.
Так, для числа 1000000, он получил разложение 1000000=17+999983. Фома решил проверить, в чем сложность гипотезы Гольдбаха.
Для этого Фома придумал задачу:
Определим функцию g(n) = количеству разложений числа n в сумму двух простых чисел. (разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми).
На отрезке натуральных чисел от A до B найдите чётное число x такое, что: g(x) кратно 5 и имеет минимальное значение среди всех g(x) кратных 5 на этом отрезке.
Решите задачу Фомы.

Входные данные
Границы отрезка A, B (два натуральных числа 5≤ A<B≤106 )
Выходные данные
- "Impossible" если для всех чётных x из отрезка [A;B] значение g(x) не кратно 5.
- два числа - x, g( x ) ( g(x) кратно 5 и минимальное для A≤ x≤B). Если таких x несколько, то выведите минимальное значение x.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	5 10	Impossible	На отрезке всего три четных числа (6, 8, 10) Число 8 =3+5 и других представлений нет (5+3 считается таким же как 3+5) Для 10 есть два представления (3+7 и 5+5) Таким образом значений x, при которых g(x) кратно 5 нет.
2	20 60	48 5	g(x) может принимать значения меньшие 3 (g(20)=2) g(x)=5 для x из множества {48, 54}. 48 -минимальное значение
3	2000 2005	Impossible

В далеком королевстве жил могучий маг по имени Максимус, который обладал уникальной способностью управлять волшебными кристаллами. Эти кристаллы были не простыми — на каждом из них написано целое число, колеблющееся от –100 000 до 100 000. Однажды, Максимус решил провести эксперимент и выяснить, сколько волшебных троек кристаллов он сможет найти.

Но не просто троек! В каждой тройке должно быть хотя бы одно число, которое таит в себе загадочную цифру 2. Кроме того, сумма чисел, записанных на этих трех кристаллах должна быть простым числом, потому что простые числа это любимые числа Максимуса. (Тройкой кристаллов Максимус считает три кристалла, которые лежат рядом.)

Итак, наш маг отправился в путешествие по своей коллекции кристаллов. Он проверял каждую тройку лежащих рядом кристаллов, проверяя каждую на наличие заветной цифры 2 и вычисляя их сумму. В конце концов, он хотел узнать, сколько таких волшебных троек ему удалось найти, и какая из них имела максимальную сумму.

Помогите Максимиусу в его приключении! Напишите программу, которая определит количество таких троек и вычислит максимальную сумму среди них. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных троек, затем максимальную сумму элементов таких троек.

Формат входных данных
В первой строке вводится число N (1<=N<=10 000)  - количество кристаллов, которые имеются у Максимуса. В следующих N строках, по одному в строке, вводятся N целых чисел - числа, которые записаны на кристаллах (все числа по модулю не более 100 000).


Формат выходных данных

В ответе запишите два числа в одной строке через пробел: сначала количество найденных троек чисел, затем максимальную сумму элементов таких троек.

На доске были выписаны два квадрата натуральных чисел: \(x^2\) и \(y^2\), где \(l \le y^2 < x^2 \le r\). Числа \(x^2\) и \(y^2\) стерли и выписали на доске их разность \(d\).

По заданным \(l\), \(r\) и \(d\) выясните, сколько различных пар натуральных чисел \(x^2, y^2\) могло быть выписано на доске.

Формат выходных данных
В первой строке даны три числа \(d\), \(l\) и \(r\) (\(1 \le d \le 10^9, 1 \le l \le r \le 10^{18}\)).

Формат входных данных
Выведите количество подходящих пар квадратов.

Примечание
В первом примере подходят числа 100 и 36. Во втором примере также подходят числа 256 и 196.

Старец Летовец, известный своими суперскиллами, решил научить своих учеников создавать "Последовательность Трёх Сил". Он дал им список чисел и сказал: "Отсортируйте эти числа так, чтобы они образовали Последовательность Трёх Сил. Вот правила:"

1. Сила Тройки. Числа, которые делятся на 3, должны идти первыми.

2. Сила Порядка. Среди чисел, делящихся на 3, меньшие числа должны идти перед большими.

3. Сила Простоты. Среди чисел, не делящихся на 3, числа имеющие большее количество делителей должны идти раньше, чем числа имеющие меньшее количество делителей. При равном числе делителей, числа должны идти в порядке убывания.

Напишите программу, которая реализует это правило, и создаёт Последовательность Трёх Сил из любого списка целых чисел.

Формат входных данных
В первой строке записано натуральное число n (n <= 10⁵) - количество целых чисел в списке. Далее, в n строках записано по одному целому числу numi ( -10⁵ <= numi <= -10⁵).


Формат выходных данных
Выведите в одной единственной строке Последовательность Трёх Сил, составленную из исходного списка чисел.

Дед мороз получил очень странное послание! Помогите ему. Напишите программу, которая выводит это сообщение в понятной форме 

–Т—Л–≤–µ–і–Є—В–µ –і–≤–∞–і—Ж–∞—В—М –њ–µ—А–≤—Л—Е –њ—А–Њ—Б—В—Л—Е —З–Є—Б–µ–ї
 

Оргкомитет и жюри Московской олимпиады проводят очередные учебно-тренировочные сборы. Победители туров на сборах получают в качестве приза мороженое. Поскольку мороженое имеет тенденцию таять, то оно должно храниться в холодильнике. Холодильник, имеющийся в 179 школе слишком мал для хранения всего запаса мороженого. Поэтому организаторы решили заказать специальный супер-пупер-большой холодильник. Новый холодильник должен быть параллелепипедом A × B × C и хранить ровно N кубических баночек мороженого размером 1 × 1 × 1. Для уменьшения потерь холода, общая площадь поверхности холодильника должна быть как можно меньше.

Например, если размер холодильника должен быть 12, возможными вариантами являются:

 
 

Размеры баночек	Площадь поверхности
3 × 2 × 2	32
4 × 3 × 1	38
6 × 2 × 1	40
12 × 1 × 1	50

Лучшим вариантом является 3 × 2 × 2.

Помогите организаторам сборов выбрать оптимальную форму холодильника.

Входные данные

Входной файл содержит одно число N (1 ≤ N ≤ 10⁶).

Выходные данные

Выведите три числа A, B и C — оптимальные длины сторон холодильника. Если решений несколько — выведите любое из них.

Требуется заполнить N элементов массива, пронумерованных числами от 1 до N (A[1]…A[N]), натуральными числами от 2 до N+1, использовав каждое число ровно один раз, так, чтобы значение каждого элемента массива делилось бы нацело на его номер (т.е. для каждого i A[i] делилось бы на i).

Напишите программу, которая для заданного N вычислит количество способов такого заполнения массива.

Входные данные
Вводится одно натуральное число N (1≤N≤1000).

Выходные данные
Выведите одно число — искомое количество способов заполнения массива.

Примечание
Массив можно заполнить единственным способом: 3 2
 

По введенному натуральному числу K, не превосходящему 1 000 000, выдать K-ое по счету простое число.

Входные данные
Во входном файле находится одно натуральное число K.

Выходные данные
В выходной файл выведите K-е простое число.

Требуется заполнить N элементов массива, пронумерованных числами от 1 до N (A[1]…A[N]), натуральными числами от 2 до N+1, использовав каждое число ровно один раз, так, чтобы значение каждого элемента массива делилось бы нацело на его номер (т.е. для каждого i A[i] делилось бы на i).

Напишите программу, которая для заданного N вычислит количество способов такого заполнения массива.

Входные данные
Вводится одно натуральное число N (1≤N≤60000).

Выходные данные
Выведите одно число — искомое количество способов заполнения массива.

Примечание
Массив можно заполнить единственным способом: 3 2
 

Вывести представление целого числа N в виде произведения простых чисел.

Входные данные
В первой строке находится единственное число N. 2 <= N <= 2³¹ - 1.

Выходные данные
Выводится список чисел в порядке неубывания, разделённых знаком "*".

Вывести все простые числа от M до N включительно.

Входные данные
В первой строке находятся разделённые пробелом M и N. 2 <= M <= N <= 1 000 000.

Выходные данные
Вывести числа в порядке возрастания, по одному в строке. Если между M и N включительно нет простых - вывести "Absent".

Вывести все простые числа от M до N включительно.

Входные данные
В первой строке находятся разделённые пробелом M и N. 2 <= M <= N <= 300 000.

Выходные данные
Вывести числа в порядке возрастания, по одному в строке. Если между M и N включительно нет простых - вывести "Absent".

Строительная компания хочет построить дом, в котором будет n квадратных комнат. Каждая комната характеризуется своим размером — длиной стены. Обозначим размеры комнат в новом доме как a₁, a₂, …, a_n.

При этом для того, чтобы квартиры в доме активнее распродавались, компания объявила его «Домом оригинальности и гармонии». Оригинальность означает, что размер любой комнаты не должен делиться на размер никакой другой комнаты. Свойство гармонии требует, чтобы площадь любой комнаты делилась на размер каждой из комнат. Иначе говоря, для любых различных i и j должны выполняться условия: ai не делится на a_j, а a_i² делится на a_j.

Требуется по заданному числу n выбрать такие размеры комнат, чтобы выполнялись свойства оригинальности и гармонии. При этом с целью экономии строительных материалов размер каждой комнаты не должен превышать 2⁶³ – 1.

Входные данные
Строка содержит число n (1 ≤ n ≤ 1000).

Выходные данные
Выведите размеры комнат — n положительных целых чисел, не превосходящих 2⁶³ – 1. Разделяйте числа пробелами.

В 3141 году очередная экспедиция на Марс обнаружила в одной из пещер таинственные знаки. Они однозначно доказывали существование на Марсе разумных существ. Однако смысл этих таинственных знаков долгое время оставался неизвестным. Недавно один из ученых, профессор Очень-Умный, заметил один интересный факт: всего в надписях, составленных из этих знаков, встречается ровно K
 различных символов. Более того, все надписи заканчиваются на длинную последовательность одних и тех же символов.

Вывод, который сделал из своих наблюдений профессор, потряс всех ученых Земли. Он предположил, что эти надписи являются записями факториалов различных натуральных чисел в системе счисления с основанием K. А символы в конце - это конечно же нули - ведь, как известно, факториалы больших чисел заканчиваются большим количеством нулей. Например, в нашей десятичной системе счисления факториалы заканчиваются на нули, начиная с 5!=1·2·3·4·5 . А у числа 100! в конце следует 24 нуля в десятичной системе счисления и 48 нулей в системе счисления с основанием 6 - так что у предположения профессора есть разумные основания!

Теперь ученым срочно нужна программа, которая по заданным числам N и K найдет количество нулей в конце записи в системе счисления с основанием K числа N!=1·2·3·...·(N-1)·N, чтобы они могли проверить свою гипотезу. Вам придется написать им такую программу!

Входные данные
В первой строке входных данных содержатся числа N и K, разделенные пробелом, (1 <= N <= 10⁹, 2 <= K <= 1000).

Выходные данные
Выведите число X - количество нулей в конце записи числа N! в системе счисления с основанием K.

Ваня и Петя играют в следующую игру. Ваня пишет на бумаге какую-либо перестановку чисел от 1 до N (то есть выписывает все числа от 1 до N в некотором порядке) и расставляет на столе в ряд N предметов. После этого Петя переставляет предметы в соответствии с Ваниной перестановкой. А именно, Петя выполняет следующие действия: если i-ое число в Ваниной перестановке равно a_i, то Петя ставит предмет, который стоит на i-ом месте, на место с номером a_i.

Обозначим предметы числами от 1 до N. Тогда начальное расположение предметов можно обозначить последовательностью чисел (1, 2, ..., N). К примеру, если N = 5, то начальное расположение предметов есть (1, 2, 3, 4, 5). Пусть Ваня написал перестановку <2, 5, 4, 3, 1>. Это значит, что после перемещения предметов они окажутся расставлены в следующем порядке: (5, 1, 4, 3, 2).

Однако, переставив предметы, Петя не останавливается на достигнутом и вновь переставляет их в соответствии с Ваниной перестановкой. Снова, если i-ое число в Ваниной перестановке равно a_i, то Петя ставит предмет, который стоит на i-ом месте на место с номером a_i. Так, если в приведенном выше примере повторно применить перестановку, предметы окажутся расположены в следующем порядке: (2, 5, 3, 4, 1).

Таким образом, Петя переставляет предметы в соответствии с Ваниной перестановкой, пока их расположение не окажется таким же, как исходное. В нашем примере Пете потребуется сделать еще 4 действия, порядок предметов после каждого из них будет следующим: (1, 2, 4, 3, 5), (5, 1, 3, 4, 2), (2, 5, 4, 3, 1), (1, 2, 3, 4, 5). Всего Пете потребовалось применить перестановку 6 раз.

Добрый Ваня хочет, чтобы Пете пришлось выполнить как можно больше действий. Помогите ему выбрать соответствующую перестановку.

Входные данные
Вводится единственное целое число N - количество предметов (1 <= N <= 100).

Выходные данные
Выведите перестановку чисел от 1 до N такую, что количество действий, которое придется сделать Пете, максимально. Если таких перестановок несколько, можно вывести любую.

Известно, что сложение и умножение являются ассоциативными операциями. Это значит, что значение выражений вида \(a_1+a_2+\ldots +a_n\) и \(a_1\cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n\) не зависит от порядка выполнения в них действий и следовательно не меняется при произвольной расстановке в этих выражениях скобок.

В отличии от сложения и умножения, деление — операция не ассоциативная. Так, значение выражения вида \(a_1/a_2/\cdots /a_n\) может меняться при расстановке в нем скобок.

Рассмотрим выражение вида \[p_1 / p_2 / \cdots / p_n,\] где все \(p_i\) — простые числа (не обязательно различные). Найдите количество возможных значений, которые может принять указанное выражение после расстановки в нем скобок, а также количество целых чисел среди этих значений.

Например, выражение \(3/2/2\) после расстановки скобок может принять два значения: \(3/4 = (3 / 2) / 2\) и \(3 = 3 / (2 / 2)\).

Формат входных данных
Первая строка содержит число \(n\) (\(1 \le n \le 200\)). Следующая строка содержат \(n\) натуральных чисел — \(p_1, p_2, \dots, p_n\). Все числа \(p_i\) простые и не превосходят \(10^4\).

Формат выходных данных
На первой строке выведите количество возможных значений, которые может принять выражение \(p_1 / p_2 / \cdots / p_n\) при заданных \(p_i\) после расстановки в нем скобок. На второй строке выведите количество целых чисел среди этих значений.

Задано число \(n\). Требуется найти число от 1 до \(n\), включительно, которое имеет максимальное число положительных целых делителей.

Например, если \(n = 20\), то искомое число — 12, у него 6 делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Формат входных данных
На вход подается одно число \(n\) (\(1 \le n \le 100\,000\))

Формат выходных данных
Выведите на первой строке число от 1 до \(n\), включительно, которое имеет максимальное число делителей. На второй строке выведите число его делителей.

Если есть несколько чисел от 1 до \(n\) с максимальным числом делителей, выведите любое из них.

Натуральное число \(p\) называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: \(1\) и \(p\). Например, числа \(2\), \(3\), \(5\) являются простыми. Число \(1\) простым не считается.

Целое число \(p\) будем называть квазипростым, если \(p\) или \(-p\) является простым. Например, числа \(-2\), \(2\), \(-3\), \(3\), \(-5\), \(5\) являются квазипростыми.

Хотя любое натуральное число можно единственным образом представить в виде произведения простых, для целых чисел и квазипростых это уже неверно. Например, число \(12\) можно тремя способами представить в виде произведения квазипростых: \(12=2\cdot 2\cdot 3\), \(12=(-2)\cdot 2\cdot (-3)\), \(12=(-2)\cdot (-2)\cdot 3\).

Задано целое число \(n\). Выведите все способы представить \(n\) в виде произведения квазипростых. Произведения, которые отличаются только порядком множителей, считаются одним способом.

Формат входных данных
На первой строке ввода находится число \(n\) (\(-10^9 \le n \le 10^9\), \(n \ne 0\), \(n \ne \pm 1\)).

Формат выходных данных
На первой строке выведите \(k\) — количество способов представить \(n\) в виде произведения квазипростых. В следующих \(k\) строках выведите все способы представить \(n\) в виде произведения квазипростых. Произведения можно выводить в любом порядке, множители в каждом произведении можно выводить в любом порядке.