Портал обучения информатике. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам

Возрастающие пути#44510

Дано дерево на n вершинах (связный неориентированный ациклический граф c n−1 рёбрами), где у каждого ребра есть вес w. Назовём простой путь длины k возрастающим , если существует такое целое x>=2, что вес первого ребра пути делится на x, второго ребра — делится на x², ……, вес k-го ребра делится на x^k.

Требуется найти максимальную длину k возрастающего пути, где k — количество рёбер в нём.

Входные данные

В первой строке вводится единственное целое число n (1 <= n <= 100000) - число вершин в дереве.

В следующих n−1 строках вводятся по три целых числа u, v, w ( 1<= v <= n, 1<= w <= n, u ≠ v, 1 <= w <= 10⁷) - номера вершин, которые соединяет очередное ребро, и его вес.

Выходные данные

Выведите одно целое число k - максимальную длину возрастающего пути.

Примечание

Простым путем называется такой путь, что все вершины в нем различны.

В 1-м примере есть путь длины 2: 3 — 1 — 2. Тогда для него подходящий x = 2. Можно показать, что возрастающего пути большей длины не существует.

Во 2-м примере есть путь длины 3: 3 — 4 — 5 — 6. Тогда для него подходящий x = 2. Можно показать, что возрастающего пути большей длины не существует.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 1 2 8 1 3 6 1 4 3	2
2	6 1 2 2 2 3 4 3 4 2 4 5 4 5 6 8	3

Алгоритмы на графах Арифметические алгоритмы (Теория чисел)Обход в глубину Применение обхода в глубину

✓ 2✗ 31 200средняяВойти и решать

Выборы#21952

Скоро в Соединенных Штатах Берляндии пройдут выборы президента. На эту ответственную должность претендуют два кандидата: Дядя Сэм и Дядя Фродо. Вы работаете аналитиком в пред- выборном штабе Дяди Сэма, и вам поручено помочь ему победить конкурента. Раздуть газетный скандал из одержимости оппонента бросанием колец в жерла вулканов не получилось, так что при- дётся воспользоваться математикой.

Казалось бы, чтобы выиграть, необходимо убедить проголосовать за нашего кандидата более половины пришедших на выборы. Оказывается, что иногда нужно гораздо меньше! Для того чтобы понять, как это возможно, рассмотрим подробнее процедуру голосования.

Как вы знаете, Соединенные Штаты Берляндии разделены на несколько административных ре- гионов первого уровня — штатов. Сначала в каждом из штатов проходят местные выборы, по итогам которых каждый штат отдаёт свой голос за одного из кандидатов. Если не менее половины штатов выбрало Дядю Сэма, то выигрывает он (в случае равенства голосов Дядя Сэм имеет преимущество как действующий президент), иначе побеждает Дядя Фродо. Все штаты, в свою очередь, состоят из административных регионов второго уровня, каждый из которых представлен выборщиком из административных регионов третьего уровня и так далее. Последний уровень состоит из отдельных жителей Берляндии. Всего в Берляндии N жителей и K уровней административных единиц. Одним из ключевых принципов этой страны является равенство, так что любой регион i-го уровня делится на одинаковое число регионов следущего уровня (в том числе содержит одинаковое число граждан).

Так получилось, что делением на регионы поручили заняться именно вам, то есть в ваших руках назначить, на сколько именно административных единиц i-го уровня делится (i−1)-ая администра- тивная единица.

Также у вас есть сильный инструмент влияния на выбор людей — нефтяные бурли. Чтобы заста- вить одного избирателя отдать свой голос за Дядю Сэма, достаточно дать ему скромный подарок в размере одного нефтяного бурля.

К несчастью, изначально все N жителей Соединённых Штатов Берляндии собираются отдать свой голос за Дядю Фродо. Требуется определить минимальное количество нефтяных бурлей, ко- торое достаточно потратить для победы на выборах.

Формат входных данных

В единственной строке ввода находятся два целых числа N и K (1 <= N <= 10¹⁵ , 1 <= K <= 10).

Формат выходных данных
Требуется вывести единственное число — минимальное количество нефтяных бурлей, которое придётся потратить на предвыборные подарки при наилучшем разбиении на регионы.

Примеры

Ввод	Вывод
9 2	4
12 3	2

Замечание
Берляндские законы не запрещают, чтобы страна состояла из одного штата, а город — одного жителя. Аналогично с остальными типами регионов.

На рисунке 1 черным цветом отмечены те регионы, в которых победил Дядя Сэм. На нижнем уровне черными изображены вершины, соответствущие подкупленным конкретным жителям.

Алгоритмы на графах Динамическое программирование Динамическое программирование: один параметр Простые числа и разложение на множители

✓ 2✗ 771 200средняяВойти и решать

Сортировка дробей#50934

На доске выписано две последовательности из \(n\) различных целых чисел: \(A = [a_1, a_2, \ldots, a_n]\) и \(B = [b_1, b_2, \ldots, b_n]\).

Составим из них \(n^2\) дробей вида \(a_i / b_j\), сократим каждую дробь и отсортируем их по неубыванию.

Задано число \(q\) и \(q\) целых чисел \(c_1, c_2, \ldots, c_q\). Для каждого \(j\) следует выдать \(c_j\)-ю в неубывающем порядке дробь из получившихся.

Формат входных данных
На первой строке ввода находятся числа \(n\) и \(q\) (\(1 \le n \le 10^5\), \(1 \le q \le 10^5\), \(q \le n^2\)).

Дополнительно выполняется неравенство \(n\cdot q \le 10^5\).

На второй строке ввода находятся \(n\) различных целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) (\(1 \le a_i \le 10^6\)).

На третьей строке ввода находятся \(n\) различных целых чисел \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) (\(1 \le b_i \le 10^6\)).

На четвертой строке ввода находятся \(q\) различных целых чисел \(c_1, c_2, \ldots, c_q\) (\(1 \le c_i \le n^2\)).

Формат выходных данных
Выведите \(q\) строк. На \(j\)-й строке выведите \(c_j\)-ю по неубыванию дробь среди получившихся. Дробь \(p/q\) следует выводить в формате <<p q>>, дробь должна быть несократимой.

Замечание
В примере дроби исходно равны: \[\left[ \frac{3}{2}, \frac{3}{3}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{4}{2}, \frac{4}{3}, \frac{4}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{2}{5} \right],\] после сокращения \[\left[ \frac{3}{2}, \frac{1}{1}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{2}{1}, \frac{4}{3}, \frac{1}{1}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{1}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{5} \right],\] после сортировки \[\left[ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{2}{1} \right].\]

"Два указателя"Бинарный поиск по ответу Использование сортировки

✓ 3✗ 21 200средняяВойти и решать

Ускорители для Деда Мороза#44037

Дед Мороз за ночь должен посетить N городов. У него есть двумерный план расположения всех городов. План нарисован в декартовой системе координат, в которой точкой (0, 0) обозначено место старта Деда Мороза. Каждый город на плане отмечен точкой с координатой (X_i, Y_i). Также на карте обозначены M точек с координатами (P_i, Q_i), в которых расположены ускорители. Чтобы успеть разнести все подарки, Дед Мороз может воспользоваться ускорителем, который увеличивает его скорость в два раза (а может им и не пользоваться).

Дед Мороз в Новогоднюю ночь начинает с места старта, посещает все N городов и возвращается обратно.

Начальная скорость Деда Мороза равна 1. Найдите наименьшее время, необходимое Деду Морозу, чтобы посетить все города и вернуться обратно. Временем, при котором он раскладывает все подарки будем пренебрегать!

Входные данные
Первая строка входных данных содержит два целых числа N и M (1 <= N <= 12, 0 <= M <=5). Следующие N строк содержат координаты городов (X_i, Y_i). Далее идут M строк с координатами ускорителей (P_i, Q_i). Все координаты различны и среди них нет координаты (0, 0).

Выходные данные
Выведите ответ на задачу, с точностью не менее 6 знаков после запятой.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	2 1 1 1 0 1 1 0	2 1 1 1 0 1 1 0	Вот один из оптимальных способов разнести все подарки Пройти расстояние 1 от начала координат до ускорителя 1 со скоростью 1, затратив время 1. Пройти расстояние 1 от ускорителя 1 до города 1 со скоростью 2, затратив время 0,5. Пройти расстояние 1 от города 1 до города 2 со скоростью 2, затратив время 0,5. Пройти расстояние 1 от города 2 до начала координат со скоростью 2, затратив время 0,5.
2	2 1 1 1 0 1 100 0	3.4142135624	Вот один из оптимальных способов разнести все подарки Пройти расстояние 1.41... от начала координат до города 1 со скоростью 1, затратив время 1.41.... Пройти расстояние 1 от города 1 до города 2 со скоростью 1, затратив время 1. Пройти расстояние 1 от города 2 до начала координат со скоростью 1, затратив время 1.
3	1 2 4 4 1 0 0 1	4.3713203436	Вот один из оптимальных способов разнести все подарки Пройти расстояние 1 от начала координат до ускорителя 1 со скоростью 1, затратив время 1. Пройти расстояние 1,41... от ускорителя 1 до ускорителя 2 со скоростью 2, затратив время 0,707.... Пройти расстояние 5 от ускорителя 2 до города 1 со скоростью 4, затратив время 1,25. Пройти расстояние 5,65... от города 1 до начала координат со скоростью 4, затратив время 1,41....

Алгоритмы на графах Динамическое программирование на таблицах Элементарная геометрия

✓ 2✗ 181 300средняяВойти и решать

То березка, то рябина…#38572

В целях улучшения ландшафтной архитектуры и экологической обстановки управление городского хозяйства разработало проект программы озеленения центрального проспекта. Согласно проекту, с одной стороны проспекта планируется высадить в ряд деревья K различных видов, для чего были закуплены саженцы деревьев, причем i-го вида было закуплено a_i саженцев.

Для достижения эстетического совершенства высаживаемого ряда деревьев требуется, чтобы среди любых P подряд идущих деревьев все деревья были разных видов. Если количество деревьев в ряду меньше P, то все они должны быть различны.

Требуется написать программу, которая находит максимальное количество деревьев в эстетически совершенном ряду, посаженном из закупленных саженцев.

Входные данные
В первой строке вводятся два целых числа: K — количество различных видов деревьев (1 ≤ K ≤ 100 000), и P — требуемое количество подряд идущих деревьев разных видов (2 ≤ P ≤ K). Последующие K строк входных данных содержат целые числа ai, задающие количество закупленных саженцев деревьев i-го вида (1 ≤ a_i ≤ 10⁹), по одному числу в каждой строке.

Выходные данные
Выведите единственное число — максимальное количество деревьев, посадка которых в ряд в некотором порядке достигает эстетического совершенства.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 3 1 200 1	4

Бинарный поиск в массиве Бинарный поиск по ответу Жадный алгоритм

✓ 3✗ 171 300средняяВойти и решать

Splash Bomb#33297

Имеется клетчатое поле размером NxM. В каждой клетке может лежать либо реактив A, либо B, либо ничего не лежать - 0. За ход можно положить в некоторую клетку реактив A, причем преобразование вещества идет по следующему правилу: 0+A->A, A+A->B, B+A->0. При этом в результате последней реакции происходит взрыв, а в соседние непустые клетки по сторонам света (если они есть), попадает по порции реактива A. Очки за ход = количество взрывов минус 1. Очки за отдельные ходы суммируются. Требуется очистить поле и при этом набрать максимальное количество очков.

Входные данные

В первой строке вводятся N и M (1 <= N, M <= 3). Далее идут N строк по M символов из алфавита (0, A, B) - описание поля.

Выходные данные

Выведите единственное число - максимальное количество очков, которое можно набрать.

Комментарий ко второму примеру: за первый ход не произошло ни одного взрыва, очки=0-1=-1; за второй ход произошел один взрыв и поле очистилось, очки=1-1=0; итого очков: 0+(-1)=-1

Ввод	Вывод
1 1 0	0
1 1 A	-1

Динамическое программирование Задачи на моделирование Перебор

✓ 5✗ 781 200средняяВойти и решать

Мониторинг труб#33124

Газораспределительная система одного региона устроена следующим образом. Она

содержит n узлов, пронумерованных от 1 до n, некоторые узлы соединены односторонними

трубами. Узел с номером 1 соответствует центральному газохранилищу.

Система узлов описывается числами от p2, p3, …, pn. Для всех i от 2 до n узел с

номером pi соединен односторонней трубой с узлом i, газ по этой трубе передается от узла pi

к узлу i. Известно, что возможно доставить газ по трубам от центрального газохранилища до

любого узла системы (возможно, с использованием промежуточных узлов). В системе

используются трубы различных типов, тип трубы обозначается буквой английского алфавита

от «a» до «z». Труба, соединяющая узел pi с узлом i, имеет тип ci.

Для проверки качества труб используется специальный робот. Он помещается в

систему труб в одном из узлов и перемещается по трубам, каждый раз проверяя трубу, по

которой он перемещается. Робот может перемещаться по трубам только в том же

направлении, в котором по трубе передается газ. Совершив одно или несколько

перемещений по трубам между узлами, робот извлекается из системы труб.

Каждый запуск робота должен соответствовать одной из m заданных спецификаций,

пронумерованных от 1 до m. Спецификация с номером t представляет собой строку st,

состоящую из строчных букв английского алфавита. Запуск соответствует спецификации st,

если количество перемещений робота по трубам во время запуска совпадает с длиной st, и

для всех j от 1 до длины st на j-м шаге робот перемещается по трубе, тип которой совпадает с

st[j] —символом на позиции j в спецификации.

Если запуск робота соответствует спецификации с номером t, то стоимость этого

запуска составляет wt. Оператору системы необходимо проверить все трубы, для этого

можно запускать робот несколько раз. Каждый раз выбирается спецификация и маршрут

робота по трубам, соответствующие выбранной спецификации. Необходимо проверить все

трубы так, чтобы суммарная стоимость запусков робота для проверки качества труб была

минимальна. Одну и ту же трубу можно проверять несколько раз.

Требуется написать программу, которая по описанию системы труб и списку

спецификаций определяет минимальную суммарную стоимость запусков робота, в

результате которых все трубы будут проверены, а также список необходимых для этого

запусков (по требованию).

Формат входных данных

В первой строке входных данных находятся три целых числа n, m и t — количество

узлов системы труб, количество спецификаций запусков робота и параметр, указывающий,

требуется ли вывести список запусков робота или только их минимальную суммарную

стоимость (1 ≤ n ≤ 500, 1 ≤ m ≤ 10⁵, t равно 0 или 1).

В последующих (n – 1) строках содержится информация о трубах, (i – 1)-я из этих

строк содержит разделенные пробелом значения pi и ci, где pi — целое число, задающее

номер узла, из которого ведет труба в i-й узел, а ci — строчная буква английского алфавита,

задающая тип этой трубы (1 ≤ pi ≤ i – 1).

В последующих m строках содержится информация о спецификациях, i-я из этих

строк содержит разделенные пробелом целое число wi — стоимость запуска робота в

соответствии с этой спецификацией, и состоящую из строчных букв английского алфавита

строку si — саму спецификацию (1 ≤ wi ≤ 10⁹). Суммарная длина строк si не превышает 10⁶.

Формат выходных данных

Первая строка выходных данных должна содержать одно число — минимальную

суммарную стоимость запусков робота, в результате которых все трубы будут проверены.

Если проверить все трубы невозможно, требуется вывести «–1».

Если t = 0, то больше ничего выводить не требуется.

Если t = 1 и проверить трубы возможно, то далее следует вывести список описаний

запусков робота. В этом случае вторая строка выходных данных должна содержать

число k — количество запусков робота, которое необходимо выполнить для проверки труб. В

следующих k строках необходимо вывести по три целых числа ai, bi и ci — номер узла, в

котором начинается запуск, номер узла, в котором заканчивается запуск, и номер

спецификации, которой соответствует запуск.

Если оптимальных способов проверки несколько, требуется вывести любой из них.

Ввод	Вывод
3 3 0 1 a 2 b 3 a 4 b 2 a	6
7 3 1 1 a 2 a 3 b 3 b 1 b 6 b 3 aab 5 b 2 ab	15 4 1 4 1 2 5 3 1 6 2 6 7 2

Пояснение к примеру

Система труб, заданная во втором примере входных данных, и оптимальный способ

проверки всех труб для этого случая приведены на рисунке ниже.

Необходимо обратить внимание на следующие моменты:

- трубу можно проверять несколько раз, так в приведенном примере дважды

проверена труба из узла 2 в узел 3;

- одну и ту же спецификацию разрешается использовать несколько раз, в

приведенном примере вторая спецификация используется дважды, для

проверки труб из узла 1 в узел 6 и из узла 6 в узел 7;

- робот может перемещаться по трубам только в том же направлении, по

которому по трубе передается газ, спецификацию «ab» нельзя использовать

для проверки труб по маршруту 2→1→6, так как робот не может

переместиться из узла 2 в узел 1.

Алгоритмы на графах Деревья Динамическое программирование

1 300средняяВойти и решать

Cow Hopscotch#27296

Фермер Джон придумал игру для своих коров

Она играется на решётке R*C (2 <= R <= 750, 2 <= C <= 750), где каждый квадрат помечен целым числом от 1 до K (1 <= K <= R*C). Коровы выполняют последовательность прыжков, начиная в левом верхнем квадрате и заканчивая в правом нижнем квадрате и прыжок является корректным если и только если:

1) Вы прыгаете на квадрат c другим числом

2) Квадрат, куда Вы прыгаете, как минимум на одну строку ниже квадрата, в котором Вы сейчас стоите

3) Квадрат, в который Вы прыгаете как минимум на одну колонку правее квадрата, в котором Вы сейчас стоите

Пожалуйста, помогите коровам вычислить количество возможных различных последовательностей корректных прыжков из левого верхнего квадрата в правый нижний.

INPUT FORMAT:

Первая строка ввода содержит целые числа R, C, K. Каждая из следующих R строк содержит C целых чисел, каждое в интервале 1..K.

OUTPUT FORMAT:

Выведите количество различных способов пропрыгать из левого верхнего угла в правый нижний, по модулю 1000000007.

Ввод	Вывод
4 4 4 1 1 1 1 1 3 2 1 1 2 4 1 1 1 1 1	5

Динамическое программирование Динамическое программирование: два параметра Комбинаторика

✓ 5✗ 201 200средняяВойти и решать

Palindromic Paths#27294

Ферма Джона представлена решёткой N×N полей (1≤N≤500). Каждое поле представлено символом латинского алфавита. Например:

ABCD

BXZX

CDXB

WCBA

Каждый день корова Беси прогуливается из верхнего левого угла в правый нижний, каждый раз двигаясь на один шаг вправо или вниз. Беси записывает в строку буквы, по которым прошлась. Она огорчится, если у неё получится палиндром (слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево), поскольку тогда она запутается, в каком направлении двигалась.

Пожалуйста, помогите Беси определить количество различных маршрутов которыми она может получить палиндромы. Различные пути, которыми получаются одинаковые палиндромы учитывать множество раз. Выведите свой ответ по модулю 1,000,000,007.

ФОРМАТ ВВОДА:

Первая строка ввода содержит N, и последующие N строк содержат N строк решётки, описывающей поля. Каждая строка содержит N символов в интервале A..Z.

ФОРМАТ ВЫВОДА:

Выведите количество различных путей Беси, формирующих палиндромы по модулю 1,000,000,007.

Ввод	Вывод
4 ABCD BXZX CDXB WCBA	12

Примечание:

Беси может сделать следующие палиндромы:

1 x "ABCDCBA"

1 x "ABCWCBA"

6 x "ABXZXBA"

4 x "ABXDXBA"

Динамическое программирование Динамическое программирование: два параметра Комбинаторика Строки

✓ 0✗ 41 200средняяВойти и решать

Switch Grass#27216

Фермер Джон обнаружил, что разные типы коров любят разные типы травы. Однако он должен правильно их высаживать, чтобы не навредить.

Ферма Джона состоит из NN (1≤N≤200,000), полей, и MM пар полей соединены двунаправленными дорожками (1≤M≤200,000). Используя эти дорожки, можно пройти от любого поля к любому другому полю. Каждая дорожка имеет целочисленную длину в интервале 1…1,000,000. Любая пара полей соединена не более чем одной прямой дорожкой.

В каждом поле ФД изначально посадил один из KK типов травы (1≤K≤N). Через некоторое время, однако, он может решить изменить тип травы на некоторых из полей. Он называет это операцией "обновления".

После каждого обновления, ФД хочет знать длину кратчайшего пути между двумя полями, имеющими различные типы травы. То есть, среди всех пар полей, имеющих различные типы травы, он хочет узнать, какие два поля ближайшие друг к другу. Гарантируется, что всегда имеется как минимум одна пара полей с различными типами травы.

В 30 процентах тестов каждое поле непосредственно соединено не более чем с 10 дорожками.

ФОРМАТ ВВОДА:

Первая строка ввода содержит четыре целых числа N, M, K, Q, где Q - количество операций обновления (1≤Q≤200,000). Следующие M строк описывают дорожки. Каждая строка содержит три целых числа A, B, L, указывающих, что есть дорожка между полями A, B и её длина L. (A, B - целые числа в интервале 1…N). Следующая строка указывает начальный тип травы для каждого поля (N целых чисел в интервале 1…K). Затем идут Q строк, каждая из которых описывает одну операцию обновления двумя целыми числами A и B, означающими, что на поле A типе травы изменён на B.

ФОРМАТ ВЫВОДА:

Для каждой операции обновления выведите длину кратчайшего пути между двумя полями с различными типами травы, после применения этой операции обновления.

Ввод	Вывод
3 2 3 4 1 2 3 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 1 2 2 2	1 3 3 1

Алгоритмы на графах Дерево отрезков, RSQ, RMQ Минимальный каркас Обход в глубину Структуры данных

✓ 1✗ 41 200средняяВойти и решать

*Лапта#25963

При игре в лапту одна команда ловит мяч и пытается осалить им бегущего. Игрок другой команды должен, перед тем как бежать, ударить мяч в поле. Известно, на какое максимальное расстояние он может ударить, а также скорости и начальные координаты игроков другой команды. Требуется выбрать направление и силу удара так, чтобы минимальное время, которое потребуется другой команде, чтобы поднять мяч с земли, было наибольшим. (Пока мяч летит, игроки стоят на местах.)

Входные данные:

- в первой строке входных данных содержатся два числа: D — максимальное расстояние удара и N — количество соперников на поле (D и N натуральные числа, \(D <= 1000\), \(N <= 200\));
- в следующих N строках задается по три числа – начальные координаты x_i и y_i и максимальная скорость v_i соответствующего игрока (скорости и координаты — целые числа, \(–1000 <= x_i <= 1000\), \(0 <= y_i <= 1000\), \(0 < v_i <= 1000\)).
Никакие два игрока не находятся изначально в одной точке. Игрок, бьющий мяч, находится в точке с координатами (0,0). Мяч выбивается в точку с неотрицательной ординатой (\(y >= 0\)).

Выходные данные: выведите сначала время, которое потребуется игрокам, чтобы добежать до мяча, а затем координаты точки, в которую нужно выбить мяч. Если таких точек несколько, выведите координаты любой из них. Время и координаты нужно вывести с точностью \(10^{–3}\).

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10 2 1 1 1 -1 1 1	9.05539 0.00000 10.00000

Бинарный поиск по ответу Квадродерево Элементарная геометрия

✓ 7✗ 781 400средняяВойти и решать

Рамазан и капуста#60846

Рамазан решил заняться серьезным бизнесом — выращиванием капусты.

Поле для выращивания капусты представляет собой бесконечное клетчатое поле. В каждой клетке поля может быть посажен один кочан капусты.

Рамазан засадил только часть поля. Он запланировал использовать несколько прямоугольных участков поля, причём оказалось, что некоторые из них могут пересекаться. Клетка поля принадлежит посадкам, если она лежит хотя бы в одном из прямоугольников.

Формально, Рамазан выбрал \(n\) прямоугольных участков \((x_i^{L}, y_i^{L}, x_i^{R}, y_i^{R})\) (\(x_i^{L} \leq x_i^{R}\), \(y_i^{L} \leq y_i^{R}\), \(1 \leq i \leq n\)). Клетка \((x, y)\) содержит капусту, если существует хотя бы один выбранный прямоугольник \(i\) (\(1 \leq i \leq n\)), такой что \(x_i^{L} \leq x \leq x_i^{R}\) и \(y_i^{L} \leq y \leq y_i^{R}\).

В прошлом Рамазан был программистом (и победителем), поэтому он решил использовать роботов с искусственным интеллектом для периодической обработки посадок. Один робот может обслуживать произвольный горизонтальный участок клеток \((x_1^{robot}, x_2^{robot}, y^{robot})\), то есть все клетки \((x, y)\), такие что \(x_1^{robot} \leq x \leq x_2^{robot}\) и \(y = y^{robot}\).

Важно, чтобы роботы ездили только по участкам с посадками. Он понял, что для минимизации количества роботов важно использовать горизонтальные участки, которые нельзя расширить. Рамазан будет использовать робота на участке клеток \((x_1^{robot}, x_2^{robot}, y^{robot})\), если:

Все клетки \((x, y)\), такие что \(x_1^{robot} \leq x \leq x_2^{robot}\) и \(y = y^{robot}\) принадлежат посадкам;
Клетка \((x_1^{robot} - 1, y^{robot})\) не принадлежит посадкам;
Клетка \((x_2^{robot} + 1, y^{robot})\) не принадлежит посадкам.

Ваша задача собрать важную статистику о роботах, которые будут работать на плантации. Будем говорить, что пара \((x_1, x_2)\) обслуживается в ряду \(y\), если существует робот, работающий ровно на участке \((x_1, x_2, y)\).

Найдите все пары \((x_1, x_2)\), которые обслуживаются в каком-нибудь ряду.
Для каждой такой пары \((x_1, x_2)\) найдите количество рядов, в которых она обслуживается.
Для каждой такой пары \((x_1, x_2)\) найдите максимальное количество подряд идущих рядов, в которых она обслуживается. Другими словами, найдите максимальное число \(k\), такое что существует отрезок \(k\) подряд идущих рядов \([y_1, y_2]\) (\(y_2 - y_1 + 1 = k\)), такой что для любого ряда \(y_1 \leq y \leq y_2\), пара \((x_1, x_2)\) обслуживается в ряду \(y\).

Формат входных данных
Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке дано одно целое число \(t\) (\(1 \leq t \leq 200\,000\)) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных дано единственное целое число \(n\) (\(1 \leq n \leq 200\,000\)) — количество выбранных прямоугольных участков.

В следующих \(n\) строках дано по четыре целых числа \(x_i^{L}\), \(y_i^{L}\), \(x_i^{R}\), \(y_i^{R}\) (\(1 \leq x_i^{L} \leq x_i^{R} \leq 10^9\), \(1 \leq y_i^{L} \leq y_i^{R} \leq 10^9\)) — описания выбранных прямоугольных участков.

Обозначим за \(N\) сумму \(n\) по всем наборам входных данных в одном тесте. Гарантируется, что \(N \leq 200\,000\).

Формат выходных данных
Для каждого набора входных данных сначала выведите единственное целое число \(p\) (\(p \geq 1\)) — количество пар \((x_1, x_2)\), которые обслуживаются в каком-нибудь ряду.

В следующих \(p\) строках выведите по четыре целых числа \(x_1\), \(x_2\), \(cnt\), \(k\) (\(1 \leq x_1 \leq x_2 \leq 10^9\), \(0 \leq cnt, k \leq 10^9\)). Число \(cnt\) должно быть равно количеству рядов, в которых обслуживается пара \((x_1, x_2)\). Число \(k\) должно быть равно максимальному количеству подряд идущих рядов, в которых обслуживается пара \((x_1, x_2)\).

Все пары \((x_1, x_2)\) должны быть различны. Каждая пара, которая обслуживается в каком-нибудь ряду, должна быть выведена ровно один раз. Можно вывести пары в произвольном порядке.

Система оценки
Для набора входных данных обозначим за \(w\) ширину поля, то есть \(w = \max\limits_{i=1}^{n} x_i^{R}\), за \(h\) высоту поля, то есть \(h = \max\limits_{i=1}^{n} y_i^{R}\).

3-5 [0cm][0cm]Подз.	[0cm][0cm]Баллы	\(n\), \(N\)	\(w, h\)	дополнительно	[0cm][0cm] Необх. подзадачи
1	4	\(n = 1\)
2	8		\(h = 1\)
3	8	\(n \leq 30\), \(N \leq 3000\)	\(w, h \leq 10\)	\(t \leq 100\)	У
4	4		\(w, h \leq 5000\), \(\sum wh \leq 25 \cdot 10^6\)		У, 3
5	8	\(N \leq 3000\)			У, 3
6	4	\(N \leq 10\,000\)			У, 3, 5
7	8			все \([x_i^{L}, x_i^{R}]\) пересекаются	1
8	8			\(y_i^{L} = 1\)	2
9	8			прямоугольники не пересекаются	1
10	8			\(\forall 1 \leq i, j \leq n\) \(\forall y \in [y_i^{L}, y_i^{R}] \cap [y_j^{L}, y_j^{R}]\) выполнено \([x_i^{L}, x_i^{R}] \nsubseteq [x_j^{L}, x_j^{R}]\)	1, 9
11	8			все отрезки \([x_i^{L}, x_i^{R}+1]\) либо вложены, либо не пересекаются	1
12	8	\(N \leq 50\,000\)			У, 3, 5 – 6
13	8	\(N \leq 100\,000\)			У, 3, 5 – 6, 12
14	8	\(N \leq 200\,000\)			У, 1 – 13

Если для теста ваше решение неправильно находит множество пар \((x_1, x_2)\), которые обслуживаются в каком-нибудь ряду, решение получает вердикт <<Неправильный ответ>>.
Если во всех тестах подзадачи и необходимых подзадач решение
- правильно находит множество, но не все \(cnt\) верны, оно получает \(50\%\) баллов за подзадачу.
- правильно находит множество и все \(cnt\), но не все \(k\) верны, оно получает \(75\%\) баллов за подзадачу.
- правильно находит множество, все \(cnt\) и все \(k\), оно получает \(100\%\) баллов за подзадачу.

Обратите внимание, что для получения частичных баллов за подзадачу, все равно необходимо вывести какие-нибудь значения \(cnt\) и \(k\) для каждой пары \((x_1, x_2)\), но не обязательно верные.

Пояснения к примерам

Первый и второй наборы входных данных для теста из условия

В первом наборе входных данных будут использоваться роботы на участках \((2, 3, 2)\), \((2, 4, 3)\), \((3, 4, 4)\). Таким образом, пары \((2, 3)\), \((2, 4)\), \((3, 4)\) обслуживаются в каком-нибудь ряду, причем каждая из них обслуживается ровно в одном ряду.

Во втором наборе входных данных будут использоваться роботы на участках \((2, 2, 1)\), \((2, 4, 2)\), \((2, 2, 3)\). Таким образом, пары \((2, 2)\), \((2, 4)\) обслуживаются в каком-нибудь ряду. Пара \((2, 2)\) обслуживается в рядах \(1, 3\), пара \((2, 4)\) обслуживается ряду \(2\).

Третий и четвертый наборы входных данных для теста из условия

Отрезки реализация Сжатие координат

✓ 0✗ 11 200средняяВойти и решать

SMS#55128

Сообщения SMS сотового телефона MOBILA составлены из прописных латинских букв. Если буква первая на кнопке, нужно нажать эту кнопку один раз, чтобы добавить букву в сообщение. Если буква вторая - нужно нажать кнопку дважды и т.д. Так, чтобы набрать слово "SMS", нужно нажать

(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(MNO)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)

Чтобы ввести две буквы, находящиеся на одной кнопке, нужно между нажатиями клавиши сделать паузу. Например, чтобы ввести сообщение "AA", нужно нажать

(ABC)(пауза)(ABC)

Если на кнопке три буквы, то, как только такая кнопка нажата три раза, последняя буква добавляется в сообщение немедленно, а следующие нажатия той же кнопки относятся к следующей букве сообщения. Аналогично, если на кнопке четыре буквы, то после четырёх нажатий в сообщение будет добавлена последняя буква. То есть последовательность нажатий

(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(пауза)(ABC)

соответствует сообщению "CAA". К сожалению, сотовые телефоны этой модели давно не производятся, и остался только один такой телефон. Он может произвольно вставлять и игнорировать паузы во время ввода сообщения, что может привести к некоторым изменениям в сообщениях. Например, введя MOSCOWQUARTERFINAL, можно получить вместо этого OMSCMNWQTTARTERPDEINAL. Вы получили SMS-сообщение и знаете, что оригинальное сообщение содержало N букв. Чтобы определить вероятность угадывания оригинального сообщения, найдите число возможных сообщений, которые могли превратиться в то, которое Вы получили.

Входные данные
В первой строке задана длина оригинального сообщения N. Вторая строка содержит полученное SMS-сообщение. 1 <= N <= 80, полученное сообщение состоит только из прописных латинских букв, длина полученного сообщения - от 1 до 80 букв.

Выходные данные
Вывести число сообщений из N букв, которые, будучи набранными на на этом телефоне, могут превратиться в данное сообщение.

"Длинная" арифметика Динамическое программирование: два параметра

✓ 1✗ 71 300средняяВойти и решать

Приключение#50818

Теплым весенним днем группа из N школьников-программистов гуляла в окрестностях города Кисловодска. К несчастью, они набрели на большую и довольно глубокую яму. Как это случилось — непонятно, но вся компания оказалась в этой яме.

Глубина ямы равна H. Каждый школьник знает свой рост по плечи h_i и длину своих рук l_i. Таким образом, если он, стоя на дне ямы, поднимет руки, то его ладони окажутся на высоте h_i + l_i от уровня дна ямы. Школьники могут, вставая друг другу на плечи, образовывать вертикальную колонну. При этом любой школьник может встать на плечи любого другого школьника. Если под школьником i стоят школьники j₁, j₂, …, j_k, то он может дотянуться до уровня h_j1 + h_j2 + … + h_jk + h_i + l_i.

Если школьник может дотянуться до края ямы (то есть h_j1 + h_j2 + … + h_jk + h_i + l_i ≥ H), то он может выбраться из нее. Выбравшиеся из ямы школьники не могут помочь оставшимся.

Найдите наибольшее количество школьников, которые смогут выбраться из ямы до прибытия помощи, и перечислите их номера.

Формат входных данных
В первой строке входных данных задается натуральное число N (1 ≤ N ≤ 2000) — количество школьников, попавших в яму.

Далее в N строках содержится по два целых числа: рост i-го школьника по плечи h_i (1 ≤ h_i ≤ 10⁵) и длина его рук l_i (1 ≤ l_i ≤ 10⁵).

В последней строке указано целое число — глубина ямы H (1 ≤ H ≤ 10⁵).

Формат выходных данных
В первой строке выведите K — максимальное количество школьников, которые смогут выбраться из ямы. Если K > 0, то во второй строке в произвольном порядке выведите их номера, разделяя их пробелами. Школьники нумеруются с единицы в том порядке, в котором они заданы во входных данных. Если существует несколько решений, выведите любое.

Динамическое программирование на таблицах Жадный алгоритм

✓ 5✗ 201 200средняяВойти и решать

Короткий код#40164

Код Эвана содержит n переменных. Каждая переменная имеет уникальное имя, состоящее только из английских строчных (маленьких) букв. Однажды Эван решил укоротить свой код.

Он хочет заменить имя каждой переменной его непустым префиксом таким образом, что новые имена останутся попарно различными (но новое имя какой-либо переменной может совпадать со старым именем этой или другой переменной). Среди всех таких возможных замен он хочет найти такую, для которой суммарная длина названий переменных будет минимальной.

Строка a является префиксом строки b, если вы можете удалить несколько (возможно, ни одного) символа с конца строки b и получить a.

Найдите минимальную возможную суммарную длину новых имён.

Входные данные:
В первой строке содержится одно целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — число переменных в коде Эвана.

Следующие n строк содержат названия переменных по одному на строку. Каждое название не является пустой строкой и содержит только лишь строчные (маленькие) английские буквы. Суммарная длина всех этих строк не больше 10⁵. Все названия переменных различны.

Выходные данные:
Выведите одно целое число — минимально возможную суммарную длину новых названий переменных.

Примеры:

Входные данные	Выходные данные
3 codeforces codehorses code	6
5 abba abb ab aa aacada	11
3 telegram digital resistance	3

Пояснения:
В первом примере одним из наилучших вариантов будет сокращение имён в порядке их ввода до "cod", "co", "c".
Во втором примере можно укоротить последнее имя до "aac" и первое имя до "a" без изменения других имён переменных.

Бор Деревья Жадный алгоритм

✓ 1✗ 101 200средняяВойти и решать

Раз-два-три-четыре-пять корову поменять#39514

N коров (1 ≤ N ≤ 10⁵) Фермера Джона стоят в ряд. i-ая корова слева имеет метку i (1 ≤ i ≤ N).
ФД дал коровам M пар целых чисел s (L₁,R₁)…(L_M,R_M), где 1 ≤ M ≤ 100. Затем он сказал коровам повторить ровно K (1 ≤ K ≤ 10⁹) раз процесс из M шагов:

Для каждого i от 1 до M:
Последовательность коров на позициях Li…Ri слева реверсивно меняют свой порядок.
Выведите метки всех коров слева направо для каждого i, (1 ≤ i ≤ N) после завершения описанного процесса.

Входные данные
Первая строка содержит числа N, M, K. Для каждого 1 ≤ i ≤ M строка i+1 содержит L_i и R_i, два целых числа в интервале 1…N, где L_i<R_i.

Выходные данные
На i-ой строке вывода, выведите i-ый элемент массива после выполнения всех инструкций K раз.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	7 2 2 2 5 3 7	1 2 4 3 5 7 6	Изначально порядок коров слева направо такой [1,2,3,4,5,6,7] После первого шага процесса порядок станет таким [1,5,4,3,2,6,7] После второго шага процесса порядок станет таким [1,5,7,6,2,3,4]. Повторив оба шага ещё раз получим результат, приведенный в выводе.

Быстрое возведение в степень Вывод формулы Перестановки

✓ 1✗ 121 200средняяВойти и решать

Отслеживание контактов#39388

Фермер Джон продолжает заботиться о здоровье своих коров, последовательно пронумерованных 1…N.
Недавно ФД проверил их всех и выяснил, что некоторые из них больны. Используя видео из амбара, ФД может узнать какие пары коров взаимодействовали распространяя при этом болезнь. ФД собрал список с указанием времени, в которое происходило взаимодействие пар коров в видео (t,x,y), означающем, что в момент времени t корова x взаимодействовала с коровой y. Также ФД знает следующее:

Ровно одна корова была инфицирована изначально (нулевой пациент).
После того, кaк корова инфицирована, она передаёт инфекцию её следующим K взаимодействиям (возможно включая одного и того же партнера несколько раз). После K раз передачи инфекций, она перестаёт передавать инфекцию (осознав что заражает, она начинает тщательно мыть копыта).
Однажды заболев, она остаётся больной.

К несчастью, ФД не знает, какая из его N коров, является "нулевым пациентом", кроме того он не знает значение K!. Помогите ему сузить диапазоны этих неизвестных, основываясь на его данных. Гарантируется, что ответ существует.

Входные данные
Первая строка ввода содержит N (2<= N <=100) и T (1 <= T <= 250). Следующая строка содержит строку длиной N, состоящую из 0 и 1, описывающую текущее состояние N коров ФД, 0 - здорова, 1 - больна. Каждая из последующих T строк описывает запись из списка взаимодействий ФД, и состоит из трёх чисел, t,x,y, где t - положительное целое время взаимодействия (t <= 250), x и y - различные целые в интервале 1…N, указывающее какие коровы взаимодействовали в момент времени T. В один момент времени T происходит не более одного взаимодействия.

Выходные данные
Выведите одну строку, содержащую три целых числа x,y,z, где x - количество различных коров, которые могли быть "нулевым пациентом", y - минимально возможное значение K, подходящее к исходным данным, z - наибольшее возможное значение K, подходящее к исходным данным. Если для K нет верхней границы, выведите "Infinity" для z. Заметим, что возможно K=0.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	`4 3 1100 7 1 2 5 2 3 6 2 4`	`1 1 Infinity`

Задача на реализацию Задачи на моделирование Перебор

✓ 4✗ 281 200средняяВойти и решать

Новый аэропорт#38992

В аэропорту города Че начал работать новый аэропорт. В первые сутки работы был записан файл с временем прилета и вылета самолетов. Самолеты, которые улетали на следующие сутки в файл не были записаны. Определите максимальное число самолетов, которые находились в аэропорту одновременно и в течении какого максимального промежутка времени (в минутах) находилось в аэропорту такое число самолетов. Учитываются только самолеты, информация о которых записана в файле.

Входные данные
Первая строка содержит число N - общее количество самолетов за весь день. В каждой из следующих N строк содержится пара значений, где первое значение в паре показывает время прилета самолета, а второе значение - время вылета (время прилета и вылета находится в диапазоне от 00:00 до 23:59, причем гарантируется, что время прилета меньше времени вылета) . Все данные в строках разделены одним пробелом.
При совпадающем времени считается, что прилет происходит раньше вылета.

В ответе запишите два целых числа через пробел: сначала максимальное количество самолетов, которые находились в аэропорту одновременно, затем максимальный промежуток времени (в минутах), в течении которого в аэропорту было такое число транзитных самолетов.

Если самолет прилетел в 12:00, а вылетел в 12:01, то считается, что он пробыл в аэропорту 2 минуты.

Файл к заданию

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 09:00 10:07 10:20 11:35 12:00 17:00 11:00 11:30 11:20 12:30 11:30 18:15	4 1

ЕГЭ_информатика ЕГЭ-26. Обработка массива целых чисел. Сортировка Сканирующая прямая Сортировка подсчетом

1 500труднаяВойти и решать

Роботы#38573

В подземелье есть N залов, соединенных туннелями. В некоторых залах находятся роботы, которые одновременно получили команду собраться в одном месте.

Роботы устроены так, что, получив команду, они все начали двигаться с такой скоростью, что туннель между двумя любыми залами преодолевают за 1 минуту. Роботы не могут останавливаться (в том числе и в залах), а также менять направление движения, находясь в туннелях (однако попав в зал, робот может из него пойти по тому же туннелю, по которому он пришел в этот зал).

Напишите программу, вычисляющую, через какое минимальное время все роботы смогут собраться вместе (в зале или в туннеле).

Входные данные
Сначала на вход программы поступают числа N — количество залов (1≤N≤400) и K — количество туннелей (1≤K≤20000). Далее вводится K пар чисел, каждая пара описывает номера залов, соединяемых туннелем (по туннелю можно перемещаться в обе стороны). Между двумя залами может быть несколько туннелей. Туннель может соединять зал с самим собой. Далее следует число M (1≤M≤400) — количество роботов. Затем вводятся M чисел, задающих номера залов, где вначале расположены роботы. В одном зале может быть несколько роботов.

Выходные данные
Выведите минимальное время в минутах, через которое роботы могут собраться вместе. Если роботы никогда не смогут собраться вместе, выведите одно число –1 (минус один).

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 5 1 2 2 3 3 4 1 4 1 3 3 1 2 4	1
2	3 2 1 2 2 3 2 1 3	1

Задачи на моделирование Обход в ширину

✓ 2✗ 351 200средняяВойти и решать

Бургеры в McDuck's#38515

Популярная сеть быстрого питания «McDuck's» открыла новый филиал в Берляндии. В ресторане установлено k плит. Для того чтобы приготовить бургер, надо жарить котлету в течение минуты на одной из плит, поэтому ресторан может готовить не более k бургеров в минуту.

Известно, что в «McDuck's» придут n клиентов. i-й из них придёт в момент времени t_i, закажет x_i бургеров и будет готов заплатить за них c_i бурлей. Каждый клиент готов ждать заказ в течение w минут и, если через w минут после прихода он не получил x_i бургеров, он не заплатит ничего. При этом каждый клиент готов получать только свежие бургеры, то есть только те, котлеты для которых были поджарены не раньше времени t_i. Из-за таких сложных требований ресторан не всегда сможет выполнить все заказы всех клиентов.

Менеджеров ресторана заинтересовало, какую максимальную прибыль может получить «McDuck's». Помогите им ответить на этот непростой вопрос. Можно считать, что на готовку бургеров не расходуется никаких денег.

Входные данные
В первой строке содержатся три целых числа n, k и w (1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ k ≤ 10, 1 ≤ w ≤ 60) — число клиентов, число плит и время ожидания клиента, соответственно.

Следующие n строк содержат описания клиентов, состоящие из трёх целых чисел — t_i, x_i, c_i (1 ≤ t_i, x_i, c_i ≤ 10⁹) — время (в минутах) прихода i-го клиента, число бургеров, которые он закажет и число бурлей, которые он готов заплатить, соответственно. Клиенты перечислены в порядке возрастания времени прихода, то есть для любого i > 1 верно, что t_i−1 ≤ t_i.

Выходные данные
В единственной строке выведите одно число — максимальную прибыль ресторана.

Примечание
В первом тестовом примере первую котлету можно поставить жариться в момент времени 0 и тогда в момент времени 1 она будет готова и её можно будет дать в бургере первому клиенту. В момент времени 1 можно поставить жариться ещё одну котлету, она будет готова в момент времени 2 и её можно будет дать в бургере второму клиенту.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2 1 1 1 1 5 1 1 7	12
2	3 2 2 1 6 8 2 5 10 3 4 4	12

Динамическое программирование Динамическое программирование: два параметра

✓ 2✗ 101 300средняяВойти и решать