Алгоритмы на графах

Полный ориентированный взвешенный граф задан матрицей смежности. Постройте матрицу кратчайших путей между его вершинами. Гарантируется, что в графе нет циклов отрицательного веса.

 

Входные данные

В первой строке вводится единственное число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа. В следующих N строках по N чисел задается матрица смежности графа (j-ое число в i-ой строке соответствует весу ребра из вершины i в вершину j). Все числа по модулю не превышают 100. На главной диагонали матрицы – всегда нули.

 

Выходные данные

Выведите N строк по N чисел – матрицу кратчайших расстояний между парами вершин. j-ое число в i-ой строке должно быть равно весу кратчайшего пути из вершины i в вершину j.

Ввод	Вывод
4 0 5 9 100 100 0 2 8 100 100 0 7 4 100 100 0	0 5 7 13  12 0 2 8  11 16 0 7  4 9 11 0

Дан ориентированный взвешенный граф. Вам необходимо найти пару вершин, кратчайшее расстояние от одной из которых до другой максимально среди всех пар вершин.

 

Входные данные

В первой строке вводится единственное число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа. В следующих N строках по N чисел задается матрица смежности графа, где -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число – присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы – всегда нули.

 

Выходные данные

Выведите искомое максимальное кратчайшее расстояние.

Ввод	Вывод
6 0 6 8 -1 -1 -1 5 0 5 -1 -1 -1 1 7 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 6 -1 -1 -1 -1 -1 0 3 -1 -1 -1 2 -1 0	9

Дан ориентированный полный граф, рёбрам которого приписаны некоторые веса (длины). Веса могут быть и положительные, и отрицательные, и нулевые. Нас интересует минимум длин всех возможных путей между всеми парами различных вершин этого графа. Нужно будет выяснить, существует ли этот минимум, и, если существует, вычислить его. (Минимума не существует в том случае, если в графе можно найти путь отрицательной длины, сколь угодно большой по модулю, стремящийся к бесконечности).

 

В первой строке задано число вершин N≤50. Далее идёт матрица смежности графа, то есть N строк, в каждой из которых записано N чисел. j-ое число в i-ой строке матрицы смежности задает длину ребра, ведущего из i-й вершину в j-ую. Длины могут принимать любые значения от -1000000 до 1000000. Гарантируется, что на главной диагонали матрицы стоят нули.

 

Выведите одно число – искомый минимум. Если его не существует, выведите  -1.
Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 0 42 18468  6335 0 26501  19170 15725 0	42
2	3 0 -7 3 -2 0 10 2 215 0	-1

Дан ориентированный граф, рёбрам которого приписаны некоторые неотрицательные веса (длины). Надо найти две вершины, кратчайший путь между которыми имеет наибольшую длину.

 

В первой строке задано число вершин N ≤50. Далее идёт матрица смежности графа, то есть N строк, в каждой из которых записано N чисел. j-ое число в i-ой строке матрицы смежности задает длину ребра, ведущего из i-й вершину в j-ую. Длины могут принимать любые значения от от 0 до 1000000. Гарантируется, что на главной диагонали матрицы стоят нули.

 

Выведите одно число – длину искомого пути.

Дан ориентированный граф, рёбрам которого приписаны некоторые неотрицательные веса (длины). Найти длину кратчайшего пути из вершины s в вершину t.

 

Входные данные

В первой строке заданы три числа: число вершин в графе N ≤50, номера вершин s и t. Далее идёт матрица смежности графа, то есть N строк, в каждой из которых записано N чисел. j-ое число в i-ой строке матрицы смежности задает длину ребра, ведущего из i-й вершину в j-ую. Длины могут принимать любые значения от 0 до 1000000, число -1 означает отсутствие соответствующего ребра. Гарантируется, что на главной диагонали матрицы стоят нули.

 

Выходные данные

Выведите одно число – минимальную длину пути. Если пути не существует, выведите -1.

Ввод	Вывод
3 1 2 0 -1 3 7 0 1 2 215 0	218

Между некоторыми деревнями края Васюки ходят автобусы. Поскольку пассажиропотоки здесь не очень большие, то автобусы ходят всего несколько раз в день.

 

Марии Ивановне требуется добраться из деревни d в деревню v как можно быстрее (считается, что в момент времени 0 она находится в деревне d).

 

Сначала вводится число N – общее число деревень (1 <= N <= 100),  затем номера деревень d и v,  за ними следует количество автобусных рейсов R (0 <= R <= 10000). Далее идут описания автобусных рейсов. Каждый рейс задается номером деревни отправления, временем отправления, деревней назначения и временем прибытия (все времена – целые от 0 до 10000). Если в момент t пассажир приезжает в какую-то деревню, то уехать из нее он может в любой момент времени, начиная с t.

 

Выведите минимальное время, когда Мария Ивановна может оказаться в деревне v. Если она не сможет с помощью указанных автобусных рейсов добраться из d в v, выведите -1.
 

В стране N городов, некоторые из которых соединены между собой дорогами. Для того, чтобы проехать по одной дороге, требуется один бак бензина. В каждом городе бак бензина имеет разную стоимость. Вам требуется добраться из первого города в N-ый, потратив как можно меньшее денег. Покупать бензин впрок нельзя.

 

В первой строке вводится число N (1≤N≤100), в следующей строке идет N чисел, i-ое из которых задает стоимость бензина в i-ом городе (всё это целые числа из диапазона от 0 до 100). Затем идет число M – количество дорог в стране, далее идет описание самих дорог. Каждая дорога задается двумя числами – номерами городов, которые она соединяет. Все дороги двухсторонние (то есть по ним можно ездить как в одну, так и в другую сторону), между двумя городами всегда существует не более одной дороги, не существует дорог, ведущих из города в себя.

 

Требуется вывести одно число – суммарную стоимость маршрута или -1, если добраться невозможно.

Дан ориентированный взвешенный граф. Найдите кратчайший путь от одной заданной вершины до другой.

 

В первой строке содержатся три числа: N, S и F (1≤N≤100, 1≤S, F≤N), где N – количество вершин графа, S – начальная вершина, а F – конечная. В следующих N строках вводится по N чисел, не превосходящих 100, – матрица смежности графа, где -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число – присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы записаны нули.

 

Требуется вывести последовательно все вершины одного (любого) из кратчайших путей, или одно число -1, если пути между указанными вершинами не существует. 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 2 1 0 1 1 4 0 1 2 1 0	2 3 1

Дан ориентированный взвешенный граф. Найдите кратчайшее расстояние от одной заданной вершины до другой.

 

В первой строке содержатся три числа: N, S и F (1≤ N≤ 100, 1≤ S, F≤ N), где N – количество вершин графа, S – начальная вершина, а F – конечная. В следующих N строках вводится по N чисел, не превосходящих 100, – матрица смежности графа, где -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число – присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы записаны нули.
 

Требуется вывести искомое расстояние или -1, если пути между указанными вершинами не существует.

 

Дана матрица N (1 <= N <= 100) на M (1 <= M <= 100). В матрице имеются ‘.’ – пустые клетки и ‘#’ – клетки, которые нельзя посетить. Ходить можно только вверх, вниз, влево и вправо. Дано q запросов: номер строки и номер столбца, если эта клетка – ‘#’, то она станет ‘.’, иначе – ‘#’. Для каждого из q запросов определить, достижима ли из клетки (Sx; Sy) клетка (tx; ty). Вывести на каждой строчке “Yes”, если достижима, и “No” - иначе.
Гарантируется, что клетка (Sx; Sy) и клетка (tx; ty)не являются ‘#’ клеткой в каждом запросе.

Формат входных данных

На первой строчке вводятся числа Sx (1 <= S_x <= 100), Sy (1 <= S_y <= 100), tx (1 <= t_x <= 100), ty (1 <= t_y <= 100), N (1 <= N <= 100), M(1 <= M <= 100) и q (1 <= q <= 100). На следующих N строках дается матрица, где ‘.’ – пустая клетка и ‘#’ – клетка, которую нельзя посетить. На следующих q строках дан номер строки и номер столбца, которые надо изменить.

Пояснение
В тестовом примере после первого запроса матрица будет такой:

Из точки (1; 1) в (2; 3) нет прохода, следовательно, выводим “No”.

После второго запроса матрица будет такой:

Из точки (1; 1) в (2; 3)есть проход, следовательно, выводим “Yes”. Выделен путь, по которому мы сможем идти.
 

В неориентированном графе посчитать количество компонент связности. В графе могут быть петли и кратные ребра.

 

Входные данные: В первой строке записаны сначала два числа N и M, задающие соответственно количество вершин и количество ребер (1<=N<=100, 0<=M<=10000), а затем перечисляются ребра. Каждое ребро задается двумя номерами вершин, которые оно соединяет. 

 

Выходные данные: Выведите одно число - количество компонент связности
 

В неориентированном графе требуется найти минимальный путь между двумя вершинами. 

 

Формат входных данных
В первой строке записано число N - количество вершин в графе (1 <= N <= 100). В следующих строках задана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие ребра). В последней строке записаны номера двух вершин - начальной и конечной.

 

Формат выходных данных
Выведите сначала L - длину пути (количество ребер, которые нужно пройти). Затем выведите L+1 число - вершины в порядке следования вдоль этого пути. Если пути не существует, выведите одно число -1.

В Банановой республике очень много холмов, соединенных мостами. На химическом заводе произошла авария, в результате чего испарилось экспериментальное удобрение "зован". На следующий день выпал цветной дождь, причем он прошел только над холмами, в некоторых местах падали красные капли, в некоторых -  синие, а в остальных - зеленые, в результате чего холмы стали соответствующего цвета. Президенту Банановой республики это понравилось, но ему захотелось покрасить мосты между вершинами холмов так, чтобы мосты были покрашены в цвет холмов, которые они соединяют. К сожалению, если холмы разного цвета, то покрасить мост таким образом не удастся.
Посчитать количество таких "плохих" мостов.

 

Формат входных данных
В первой строке записано N (\(0<N<=100\)) - число холмов. Далее идет матрица смежности, описывающая наличие мостов между холмами (1-мост есть, 0-нет). В последней строке записано N чисел, обозначающих цвет холмов: 1 - красный; 2 - синий; 3 - зеленый.

 

Формат выходных данных
Вывести количество "плохих" мостов. 

В подземелье M тоннелей и N перекрестков, каждый тоннель соединяет какие-то два перекрестка. Мышиный король решил поставить по светофору в каждом тоннеле перед каждым перекрестком. Напишите программу, которая посчитает, сколько светофоров должно быть установлено на каждом из перекрестков. Перекрестки пронумерованы числами от 1 до N.

 

Формат входных данных
В первой строке записано два числа N и M (\(0<N<=100\), \(0<=M<=N*(N-1)/2\) ). В следующих M строках записаны по два числа i и j (\(1<=i,j<=N\)), которые означают, что перекрестки i и j соединены тоннелем.

 

Формат выходных данных
Вывести N чисел: k-ое число означает количество светофоров на k-ом перекрестке.

 

Примечание
Можно считать, что любые два перекрестка соединены не более, чем одним тоннелем. Нет тоннелей от перекрестка i до него самого. 

В галактике "Milky Way" на планете "Neptune" есть N городов, некоторые из которых соединены дорогами. Император "Maximus" галактики "Milky Way" решил провести инвентаризацию дорог на планете "Neptune". Но, как оказалось, он не силен в математике,  поэтому он просит вас сосчитать количество дорог.

 

Формат входных данных
В первой строке задается число N (\(0<=N<=100\)). В следующих N строках записано по N чисел, каждое из которых является единичкой или ноликом. Причем, если в позиции (i,j) квадратной матрицы стоит единичка, то i-ый и j-ый города соединены дорогами, а если нолик, то не соединены. 

 

Формат выходных данных
Вывести одно число - количество дорог на планете "Neptune".

 

Все дороги двусторонние, то есть если есть дорога из города i в город j, то есть и дорога из города j в город i, и это та же самая дорога.

Дан неориентированный взвешенный граф с отрицательными весами, необходимо выдавать информацию о кратчайшем пути между 2 вершинами.

Входные данные
В первой строчке дано целое число n - количество вершин в графе. Дальше на вход подается матрица смежности, в которой -1 означает отсутствие ребра между вершинами. После матрицы идет число k - количество запросов, в следующих k строках содержится по 2 числа, a и b - вершины в запросе.

Выходные данные
Выведите k чисел - расстояние между парой чисел из запроса в порядке их ввода, если нельзя добраться из вершины a в вершину b, следует вывести Imp. Каждое число выводится в отдельной строке.

Дан неориентированный взвешенный граф, необходимо найти расстояние от вершины 1 до всех остальных, используя алгоритм Дейкстры.

 

Входные данные:

В 1 строке даны 2 целых числа n и m (n>=1, m >= 0), число вершин и ребер в графе соответсвенно. В следующих m строках дается по 3 числа a и b - вершины которые соединяет ребро и c - вес этого ребра .

 

Выходные данные:

Необходимо вывести n-1 число через пробел - расстояния от вершины 1 до всех остальных, если нет возможного пути из 1 в i вершину, то необходимо вывести Impossible.

 

Ввод	Вывод
5 5 1 2 3 2 3 1 3 4 3 1 4 1 4 2 1	2 3 1 Impossible

 

P.S. Внимательно проверяйте ограничения

Дан ориентированный взвешенный граф с отрицательными ребрами (без отрицательных циклов).

Дана стартовая и конечная вершина, определить минимальное расстояние между ними.

 

Дано 4 числа n, m, s, f - количество вершин, количество ребер, стартовая и конечная вершина(начиная с 1) соответственно.

В следующих m строках содержится по 3 числа - вершина 1, вершина 2 и цена перехода между вершинами.

 

Требуется вывести одно число - ответ на поставленную задачу. Если ответа нет - следует вывести Inf.
 

Дан связный ориентированный невзвешенный граф. Требуется вывести номера вершин из которых исходят все его перекрестные ребра (нумерация с 1).

 

Входные данные:

Целое число n и m - число вершин и ребер в графе.

Следующие m строк содержат 2 числа a и b, показывающие, что из вершины a есть ребро в вершину b.

 

Выходные данные:

В первой строке должно находиться число n - количество перекрестных ребер, в следующей строке должны быть перечисленны вершины в порядке возрастания без повторений. Если таковых нет, тогда следует вывести -1.

В неориентированном графе требуется найти длину кратчайшего пути между двумя вершинами.

 

Формат входных данных
В первой строке входных данных записано число N - количество вершин в графе (1 <= N <= 100). Далее с новой строки записана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие ребра). В последней строке записаны номера двух вершин - начальной и конечной.

 

Формат выходных данных 
Выведите длину кратчайшего пути. Если пути не существует, выведите одно число -1.