Алгоритм Форда-Беллмана

Профессору Форду необходимо попасть на международную конференцию. Он хочет потратить на дорогу наименьшее количество денег, поэтому решил, что будет путешествовать исключительно ночными авиарейсами (чтобы не тратиться на ночевку в отелях), а днем будет осматривать достопримечательности тех городов, через которые он будет проезжать транзитом. Он внимательно изучил расписание авиаперелетов и составил набор подходящих авиарейсов, выяснив, что перелеты на выбранных направлениях совершаются каждую ночь и за одну ночь он не сможет совершить два перелета.

 

Теперь профессор хочет найти путь наименьшей стоимости, учитывая что до конференции осталось K ночей (то есть профессор может совершить не более K перелетов).

 

Входные данные

В первой строке находятся числа N (количество городов), M (количество авиарейсов), K (количество оставшихся ночей), S (номер города, в котором живет профессор), F (номер города, в котором проводится конференция).

 

Ограничения: 2≤N≤100, 1≤M≤10⁵, 1≤K≤100, 1≤S≤N, 1≤F≤N.

 

Далее идет M строк, задающих расписание авиарейсов. i-я строка содержит три натуральных числа: S_i, F_i и P_i, где S_i - номер города, из которого вылетает i-й рейс, F_i - номер го-рода, в который прилетает i-й рейс, P_i - стоимость перелета i-м рейсом. 1≤S_i≤N, 1≤F_i≤N, 1≤P_i≤106.

 

Выходные данные

Выведите одно число - минимальную стоимость пути, подходящего для профессора. Если профессор не сможет за K ночей добраться до конференции, выведите число -1.

Ввод	Вывод
4 5 2 1 4 1 2 1 2 3 1 3 4 1 1 3 3  1 4 5	4

Дан взвешенный ориентированный граф. Необходимо найти минимальное количество фаз с релаксациями в работе алгоритма Форда-Беллмана при нахождении кратчайшего пути от вершины 1. 

Входные данные

Программа получает на вход одно число количество вершин n (2 ≤ n ≤ 100) и количество ребер m (2 ≤m ≤ 10 000). В следующих m строках вводятся три числа: a, b и c, где a и b – начало ребра и его конец, а c – вес ребра (1 ≤ a, b ≤ n, 1 ≤ c ≤ 10 000).

Выходные данные

Программа должна вывести единственное целое число - минимальное количество релаксаций в работе алгоритма Форда-Беллмана при нахождении кратчайшего пути от вершины 1. 

Ввод	Вывод
4 3 1 2 1  2 3 1 3 4 1	1
4 3 2 3 1 1 2 1 1 3 4	2

(с) Шалдин В., 2017г.

В Летней Компьютерной Школе (ЛКШ) построили аттракцион "Лабиринт знаний". Лабиринт представляет собой N комнат, занумерованных от 1 до N, между некоторыми из которых есть двери. Когда человек проходит через дверь, показатель его знаний изменяется на определенную величину, фиксированную для данной двери. Вход в лабиринт находится в комнате 1, выход – в комнате N. Каждый ученик проходит лабиринт ровно один раз и попадает в ту или иную учебную группу в зависимости от количества набранных знаний (при входе в лабиринт этот показатель равен нулю). Ваша задача показать наилучший результат.

 

Первая строка входных данных содержит целые числа N (1 <= N <= 2000) – количество комнат и M (1 <= M <= 10000) – количество дверей. В каждой из следующих M строк содержится описание двери – номера комнат, из которой она ведет и в которую она ведет (через дверь можно ходить только в одном направлении), а также целое число, которое прибавляется к количеству знаний при прохождении через дверь (это число по модулю не превышает 10000). Двери могут вести из комнаты в нее саму, между двумя комнатами может быть более одной двери.

 

Выведите ":)" – если можно получить неограниченно большой запас знаний, ":(" – если лабиринт пройти нельзя, и максимальное количество набранных знаний в противном случае.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2 2 1 2 3 1 2 7	7

 

В ориентированном взвешенном графе вершины пронумерованы числами от 1 до n. Если i<j, то существует ребро из вершины i в вершину j, вес которого определяется по формуле \(wt(i,j)=(179i+719j)\ mod \ 1000 - 500\). Определите вес кратчайшего пути, ведущего из вершины 1 в вершину n.

 

Программа получает на вход одно число n (2≤n≤13000).

 

Программа должна вывести единственное целое число - вес кратчайшего пути из вершины 1 в вершину n в описанном  графе.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2	117
2	3	-164

Дополните программу, чтобы она верно решала следующую задачу.

Дан ориентированный граф, в котором могут быть кратные ребра и петли. Каждое ребро имеет вес, выражающийся целым числом (возможно, отрицательным). Гарантируется, что циклы отрицательного веса отсутствуют.

Требуется посчитать длины кратчайших путей от вершины номер 1 до всех остальных вершин.

 

Программа получает сначала число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа и число M (0 <= M <= 10000) – количество ребер. В следующих строках идет M троек чисел, описывающих ребра: начало ребра, конец ребра и вес (вес – целое число от -100 до 100).

 

Программа должна вывести N чисел – расстояния от вершины номер 1 до всех вершин графа. Если пути до соответствующей вершины не существует, вместо длины пути выведите число 30000.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 4 1 2 10 2 3 10 1 3 100 4 5 -10	0 10 20 30000 30000 30000

Дан ориентированный граф, в котором могут быть кратные ребра и петли. Каждое ребро имеет вес, выражающийся целым числом (возможно, отрицательным). Гарантируется, что циклы отрицательного веса отсутствуют.

 

Требуется посчитать длины кратчайших путей от вершины номер 1 до всех остальных вершин.

 

Программа получает сначала число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа и число M (0 <= M <= 10000) – количество ребер. В следующих строках идет M троек чисел, описывающих ребра: начало ребра, конец ребра и вес (вес – целое число от -100 до 100).

 

Программа должна вывести N чисел – расстояния от вершины номер 1 до всех вершин графа. Если пути до соответствующей вершины не существует, вместо длины пути выведите число 30000.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 4 1 2 10 2 3 10 1 3 100 4 5 -10	0 10 20 30000 30000 30000

Дан ориентированный взвешенный граф с отрицательными ребрами (без отрицательных циклов).

Дана стартовая и конечная вершина, определить минимальное расстояние между ними.

 

Дано 4 числа n, m, s, f - количество вершин, количество ребер, стартовая и конечная вершина(начиная с 1) соответственно.

В следующих m строках содержится по 3 числа - вершина 1, вершина 2 и цена перехода между вершинами.

 

Требуется вывести одно число - ответ на поставленную задачу. Если ответа нет - следует вывести Inf.