ЕГЭ-15. Математическая логика

На числовой прямой дан отрезок \( A = [3; 60] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 177, отличных от 1 и самого числа 177; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Элементами множеств \( A \), \( P \) и \( Q \) являются натуральные числа. Множество \( P \) — это все натуральные делители числа 360, множество \( Q \) — все натуральные делители числа 540.

Известно, что выражение

\( \big((x\in A)\to(x\in P)\big) \land \big(\neg(x\in Q)\to\neg(x\in A)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \). Определите наибольшее возможное количество элементов множества \( A \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [3; 48] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 10, отличных от 1 и самого числа 10; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [2; 70] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 134, отличных от 1 и самого числа 134; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (4x + 5y \neq 18000) \lor (x \gt A) \lor (y \gt A) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (5x + 4y \neq 200) \lor (x \gt A) \lor (y \gt A) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \mathrm{ДЕЛ}(x, 2048) \to \big(\neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, 1280)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \mathrm{ДЕЛ}(x, 512) \to \big(\neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, 144)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \big(\mathrm{ДЕЛ}(x, 24) \land \mathrm{ДЕЛ}(x, 36)\big) \to \mathrm{ДЕЛ}(x, A) \)

тождественно истинно (принимает значение 1) при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( x \mathbin{\&} y \) поразрядную конъюнкцию (логическое «И») неотрицательных целых чисел \( x \) и \( y \). Например, \( 14 \mathbin{\&} 5 = 4 \).

Найдите наименьшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( (x \mathbin{\&} 1048580 \neq 0) \to \big((x \mathbin{\&} 5 = 0) \to (x \mathbin{\&} A \neq 0)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \). Здесь \( 1048580 = 2^{20} + 2^{2} \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( x \mathbin{\&} y \) поразрядную конъюнкцию (логическое «И») неотрицательных целых чисел \( x \) и \( y \). Например, \( 14 \mathbin{\&} 5 = 4 \).

Найдите наименьшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( (x \mathbin{\&} 20 \neq 0) \to \big((x \mathbin{\&} 5 = 0) \to (x \mathbin{\&} A \neq 0)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа \(A\) выражение

\((y + 2x \ne 740000) \lor (A \gt x) \land (A \gt y)\)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных \(x\) и \(y\)?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A логическое выражение

\((78\,125 \neq y + 4x) \lor (A > x) \land (A > y)\)

истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых положительных x и y?

(И. Карпачёв) На числовой прямой дан отрезок A = [4; 82]; B — множество всех натуральных делителей числа 211, отличных от единицы и от самого числа 211; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от единицы и от самого числа y (число y таково, что множество C непустое). Укажите значение y, имеющее максимальное количество делителей, для которого выражение:

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

(И. Карпачёв) На числовой прямой дан отрезок A = [6; 52]; B — множество всех натуральных делителей числа 153, отличных от единицы и от самого числа 153; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от единицы и от самого числа y (число y таково, что множество C непустое). Укажите наибольшее возможное значение числа y, для которого выражение:

тождественно ложно (т.е. принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

(И. Карпачёв) На числовой прямой дан отрезок A = [6; 46]; B — множество всех натуральных делителей числа 161, отличных от единицы и от самого числа 161; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от единицы и от самого числа y (число y таково, что множество C непустое). Укажите наибольшее возможное значение числа y, для которого выражение:

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и у?

(ЕГКР-2025) На числовой прямой даны два отрезка: B = [36; 75] и C = [60; 110]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что логическое выражение

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

(Открытый вариант-2025) Обозначим через m \& n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 \& 5 = 1110₂\ \& 0101_2\ = 0100₂\ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А логическое выражение

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной х?

тождественно истинно (то есть принимает значение 1) при любых целых неотрицательных x и у?