Экзамены и диагностики

(О. Лысенков) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня, либо увеличить количество камней в куче в два раза.

У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится простым числом. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, количество камней в которой является простым числом. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 100, S не является простым числом.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче – S камней; 1 < S < 58.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трех точек: (x-10, y+5), (x-5, y-5), (x+5, y-5). Например, при если фишка стоит в позиции (10,5), то за один ход можно получить любую из трёх позиций: (0,10), (5, 0), (15,0). Игра завершается в тот момент, когда расстояние от фишки до точки с координатами (0, 0) становится больше 20 единиц. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший позицию, от которой расстояние до точки с координатами (0, 0) больше 20 единиц. В начальный момент фишка находится в позиции (-1, S), S-- целое число. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите количество всех возможных S, при которых игра имеет смысл, т. е. для которых расстояние от начальной позиции до точки с координатами (0, 0) не больше 20. Задание 20. Найдите два числа: первое – количество значения S, при которых Петя выигрывает первым ходом; и второе число – количество значений S при которых, у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Задание 21 Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, в которую записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить одно из чисел пары (по своему выбору) на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22,20) или (2, 22). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары станет не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в сумму чисел пары 62 и более. В начальный момент в табличке записана пара чисел (10, S), 1 ≤ S ≤ 51. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите наименьшее значение S, при котором Петя может выиграть за один ход.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите количество значений S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два или три камня либо уменьшить количество камней в куче в два раза. В случае, если уменьшается в два раза нечётное количество камней, то сначала убирают один камень, а затем уменьшают в два раза. Например, имея кучу из 11 камней, за один ход можно получить кучу из 9, 8 или 5 камней. Нельзя убрать больше камней, чем их имеется в куче. Игра завершается в тот момент, когда в куче не останется камней. При этом победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 30. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите количество всех возможных значение S, при которых Петя не может выиграть своим первым ходом, но при любом ходе Пети, Ваня выигрывает своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке убывания.
Задание 21 Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(E. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 20. Если при этом в куче оказалось не более 26 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник (при этом победа учитывается как ход противника). В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 19.

Задание 19. Найдите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня может выиграть своим первым ходом после любого хода Пети.
Задание 20. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 37. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 37 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 36.

Задание 19. Найдите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня может выиграть своим первым ходом после любого хода Пети.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(К. Багдасарян) Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 8 000 000, в порядке возрастания и ищет среди них числа, оканчивающиеся на 10, представленные в виде произведения простых различных множителей. В ответе запишите в первом столбце таблицы первые пять найденных чисел в порядке возрастания, а во втором столбце – наибольший сомножитель.

(К. Багдасарян) Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 5 000 000, в порядке возрастания и ищет среди них числа, оканчивающиеся на 12, представленные в виде произведения простых множителей, среди которых найдется число, повторяющееся ровно 5 раз. В ответе запишите пять строк - первые пять найденных чисел в порядке возрастания, в каждой строке два числа через пробел: первое - найденное число, второе – наименьший сомножитель, который повторяется ровно 5 раз.

(ЕГЭ-2025) Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 1 324 727, в порядке возрастания и ищет среди них числа, представленные в виде произведения ровно двух простых множителей, не обязательно различных, каждый из которых содержит в своей записи ровно одну цифру 5. В ответе запишите первые 5 найденных чисел в порядке возрастания, справа от каждого из чисел – наибольший из соответствующих им найденных множителей.

(А. Кабанов) Обозначим через F(N) целую часть среднего арифметического всех простых делителей целого числа N, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение F(N) равным нулю. Найдите первые 5 целых чисел, больших 9 500 000, для которых значение F(N) не равно нулю и кратно 813. В ответе запишите найденные числа в порядке возрастания значений F(N), справа от каждого запишите соответствующее значение F(N).

(А. Кабанов) Обозначим через M(N) сумму максимального и минимального числа среди простых делителей целого числа N, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение M(N) равным нулю. Найдите первые 6 чисел, больших 23 600 000, для которых значение M(N) при делении на 213 даёт в остатке 171. В ответе запишите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите соответствующее значение M(N).

(А. Кабанов) Обозначим через S(N) сумму простых делителей целого числа N, не считая самого числа. Если таких делителей у числа нет, то считаем значение S(N) равным нулю. Найдите первые 7 целых чисел, больших 32 500 000, для которых значение S(N) не равно нулю и кратно 145. В ответе запишите найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите соответствующее значение S(N).

*(Д. Муфаззалов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Среди натуральных чисел, меньших числа 10¹¹, найдите все числа, соответствующие маске *2025* и оканчивающиеся на цифру больше единицы, количество делителей которых является нечетным простым числом. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – их наибольшие делители, не равные самому числу.

Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Рассматриваются частицы на плоскости. Для каждой частицы известны декартовы координаты, проекции вектора скорости, масса и признак внутреннего строения, обозначенный римской цифрой от I до VII.

{2}

Входные данные представлены в файле {1}. В каждой строке записаны шесть значений: x y Vx Vy m признак. Числовые значения разделены пробелами. Количество строк не превышает 10 000, модуль каждого числового значения не превышает 100.

Типовой пример организации данных:

12.109529 9.296790 4.191372 -1.404421 2.018885 II
2.978594 6.367063 2.761727 -0.380255 2.029252 II
18.651563 12.977132 5.884316 0.963875 1.975106 II
19.776880 13.695828 5.885796 -0.025341 2.046900 II
6.388189 4.952984 2.708223 1.181748 2.045710 II
20.151611 14.120760 5.847102 -0.570668 1.974583 III
20.503637 13.166587 5.474787 2.254411 1.963220 III
9.750723 7.833330 4.235968 1.314596 1.969003 II
19.743683 15.963785 5.156460 2.746525 2.037685 IV
10.424793 9.702717 4.251482 1.405363 2.002848 III
6.707575 6.418853 2.549310 -1.066458 1.973822 III
12.562317 8.099051 4.556720 0.384677 1.954612 III
3.842300 2.503859 2.639580 -1.154394 1.986924 III
6.636489 6.467062 2.844667 -0.816615 1.965780 IV
12.273069 10.541207 4.043127 2.050429 2.021882 IV

{3}

Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Рассматриваются частицы на плоскости. Для каждой частицы известны декартовы координаты, проекции вектора скорости, масса и признак внутреннего строения, обозначенный римской цифрой от I до VII.

{2}

Входные данные представлены в файле {1}. В каждой строке записаны шесть значений: x y Vx Vy m признак. Числовые значения разделены пробелами. Количество строк не превышает 10 000, модуль каждого числового значения не превышает 100.

Типовой пример организации данных:

3.043538 1.841211 -2.702636 0.439243 1.826657 II
19.756379 14.735503 4.079223 -2.787031 2.789380 II
11.285660 11.218020 -4.904728 2.151100 1.393593 II
14.348475 8.125936 -3.111643 -4.977388 1.180346 II
10.433958 6.501781 1.730554 -4.530042 1.669777 III
5.433649 5.661029 -1.876422 -1.900184 2.316750 II
19.842436 15.760256 4.711530 4.446957 1.605937 II
20.408568 12.245833 6.755048 2.548903 1.265911 III
6.623439 5.021078 0.431111 -3.501112 1.156754 III
4.277080 5.252907 0.396524 2.236119 2.925267 III
7.499155 4.490922 0.980423 2.967586 1.618680 IV
11.569454 10.839799 3.202465 -1.864505 3.060974 III
17.141691 15.078520 -1.858515 -6.333222 1.498603 III
11.184124 7.289443 3.841075 -4.470683 1.190047 IV
19.973547 11.512409 -4.818342 4.852559 1.425560 IV

{3}

Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Рассматриваются частицы на плоскости. Для каждой частицы известны декартовы координаты, проекции вектора скорости, масса и признак внутреннего строения, обозначенный римской цифрой от I до VII.

{2}

Входные данные представлены в файле {1}. В каждой строке записаны шесть значений: x y Vx Vy m признак. Числовые значения разделены пробелами. Количество строк не превышает 10 000, модуль каждого числового значения не превышает 100.

Типовой пример организации данных:

5.444933 4.150063 -1.608674 -1.476051 3.219252 II
20.893338 13.274451 2.327465 -5.164987 2.163973 II
19.282993 14.147059 -5.454442 3.750090 1.601795 II
11.160526 8.033061 -3.226775 -1.938847 2.959635 II
21.079299 15.400923 -3.174143 3.738332 2.829665 III
6.371694 4.973293 3.474946 0.099917 1.501222 II
18.068158 12.846274 -2.350112 5.383384 2.053245 III
6.465268 4.014031 -3.386823 0.234454 1.449477 III
18.923388 12.147481 -6.029201 -4.001902 1.312949 IV
13.101467 9.539756 2.074091 3.456193 2.708213 II
4.163487 4.190029 -1.939759 -1.458467 2.719128 III
4.961568 5.028862 -1.664481 2.458004 1.974777 IV
14.405931 9.904427 -3.015373 3.133721 2.290651 III
14.152950 8.716648 -4.417369 1.586008 1.870557 III
12.494864 9.161372 2.110900 -4.442254 1.762973 IV

{3}

Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Рассматриваются частицы на плоскости. Для каждой частицы известны декартовы координаты, проекции вектора скорости, масса и признак внутреннего строения, обозначенный римской цифрой от I до VII.

{2}

Входные данные представлены в файле {1}. В каждой строке записаны шесть значений: x y Vx Vy m признак. Числовые значения разделены пробелами. Количество строк не превышает 10 000, модуль каждого числового значения не превышает 100.

Типовой пример организации данных:

17.334836 11.508815 -0.245405 4.889592 2.810995 II
13.892106 10.733351 4.522712 -1.038761 1.989733 II
21.420787 12.854646 -0.123491 -7.201042 1.332052 II
12.329304 8.622893 2.043734 3.171821 3.130905 II
7.264787 1.934448 1.426235 2.827204 1.679933 II
6.589686 6.010214 -0.229163 -2.663901 2.509187 II
6.271832 4.806414 -1.914918 1.489994 2.959824 III
12.197830 11.004647 -2.712060 -4.300201 1.703018 III
13.293131 7.538004 3.107498 -2.832667 2.394027 III
19.652050 13.917779 2.863232 4.587641 2.324234 III
5.739809 5.781690 2.174080 1.814303 2.029933 III
9.571988 10.484474 -1.550575 4.330815 2.053018 IV
20.003423 13.848174 2.424421 6.555980 1.436640 III
20.680676 15.209923 -6.170062 -1.629556 1.682052 IV
18.867949 16.204600 4.141696 2.531413 2.955290 V
10.150254 7.926721 4.359744 0.120907 2.371290 V
6.645364 3.530429 -1.077232 -2.632060 1.940841 IV
5.151153 4.760393 -0.107640 2.861277 1.851362 V

{3}

Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Рассматриваются частицы на плоскости. Для каждой частицы известны декартовы координаты, проекции вектора скорости, масса и признак внутреннего строения, обозначенный римской цифрой от I до VII.

{2}

Входные данные представлены в файле {1}. В каждой строке записаны шесть значений: x y Vx Vy m признак. Числовые значения разделены пробелами. Количество строк не превышает 10 000, модуль каждого числового значения не превышает 100.

Типовой пример организации данных:

5.936418 2.326369 2.045716 -0.819597 3.227890 III
12.928168 7.196901 -3.868306 2.962531 1.759079 IV
14.411093 9.775182 1.589212 -4.631035 1.683166 III
4.383820 5.902583 0.659396 -2.209016 2.825065 IV
21.160336 11.853271 -2.229502 4.422519 2.843963 III
4.289085 4.041860 2.865550 0.744791 1.551863 II
19.260560 16.334113 5.637371 1.466915 1.993487 III
40.597375 3.517660 6.716406 2.839651 1.500000 IV
16.763722 14.791194 -4.977374 -3.712960 1.773048 II
20.978818 13.875584 -5.432015 1.302262 2.213506 II
3.232905 3.547316 -1.982582 -2.114125 1.703321 II
11.376977 8.613400 1.004876 4.176578 2.226486 III
13.849539 10.397752 -0.552541 -3.672607 3.078749 II
18.699651 11.681377 -4.047780 -2.973744 2.652844 IV
46.542937 10.469950 3.296004 6.475855 1.700000 V
10.381632 9.077766 4.150005 3.863046 1.342476 II
3.083492 4.695503 2.295027 0.443378 3.003002 III

{3}

Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Рассматриваются частицы на плоскости. Для каждой частицы известны декартовы координаты, проекции вектора скорости, масса и признак внутреннего строения, обозначенный римской цифрой от I до VII.

{2}

Входные данные представлены в файле {1}. В каждой строке записаны шесть значений: x y Vx Vy m признак. Числовые значения разделены пробелами. Количество строк не превышает 10 000, модуль каждого числового значения не превышает 100.

Типовой пример организации данных:

18.261057 15.939254 5.680055 -3.000000 1.989376 II
4.368081 5.641697 -9.867883 -0.200000 1.997373 II
18.045420 12.224721 5.478049 3.000000 2.008298 II
6.093628 3.588672 -10.045463 0.200000 1.990808 II
13.887189 7.910776 -3.724846 -0.700000 1.985963 II
18.835092 15.857245 5.237073 3.000000 1.986038 III
10.394553 10.489097 -4.291295 -0.700000 2.001804 II
12.065632 8.299812 -3.972865 -0.700000 2.011279 III
11.333872 8.873710 -4.167564 0.700000 1.990381 III
6.772806 2.257416 -9.700770 0.200000 2.000097 III
17.766579 12.727348 5.806583 3.000000 1.998554 III
5.220795 5.812566 -10.156858 -0.200000 1.998961 III
18.179229 12.923668 5.363203 -3.000000 1.996650 IV
4.405087 3.533355 -10.246501 0.200000 2.010643 IV
12.890528 8.636019 -3.833353 0.700000 2.007606 IV

{3}