ЕГЭ-19-21. Другие игры

ID 88678. кп1921-156

(П. Тюрин) Два игрока, Паша и Валера, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча, содержащая белые и чёрные камни. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может

а) убрать из кучи белый камень
б) убрать из кучи два белых камня
в) убрать из кучи чёрный камень
г) убрать из кучи два чёрных камня

Игра заканчивается, когда в куче остаётся суммарно менее двух камней. Победителем считается тот, кто сделал последний ход, после которого в куче осталось менее двух камней. В начальный момент в куче может быть от одного до восьми камней каждого цвета.

Пример*. В начальной куче было три белых камня и два чёрных камня. Такую комбинацию камней назовём позицией и будем обозначать (3,2). Т.к. первый ход делает Паша, то он может получить следующие позиции: (2,2), (1,2), (3,1), (3,0).

Задание 19. Известно, что Валера выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Паши. Укажите максимальное суммарное количество чёрных и белых камней в куче, при котором такая ситуация возможна.
Задание 20. Найдите наименьшее и наибольшее значение количества камней в куче, при которых выполняются два условия:
– у Паши есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть не более, чем за три хода при любой игре Валеры;
– у Паши нет выигрышной стратегии, позволяющей ему выиграть не более, чем за два хода. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Укажите количество начальных комбинаций камней в куче, при которых Валера имеет выигрышную стратегию.

ID 88677. кп1921-155

(П. Тюрин) Два игрока, Паша и Валера, играют в следующую игру: складывают в одну кучу белые и чёрные камни. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один белый камень
б) добавить в кучу два белых камня
в) добавить в кучу один чёрный камень
г) добавить в кучу два чёрных камня

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество белых и чёрных камней. В начальной куче может быть любое количество комбинаций белых и чёрных камней, в том числе куча может быть без камней. Победителем считается тот, кто получил суммарно в куче более 7 камней.

Пример*. В начальной куче было три белых камня и два чёрных камня. Такую комбинацию камней назовём позицией и будем обозначать (3,2). Т.к. первый ход делает Паша, то он может получить следующие позиции: (4,2), (3,3), (5,2), (3,4).

Задание 19. Известно, что Валера выиграл своим первым ходом после первого хода Паши. Укажите количество различных комбинаций камней в куче, при которых такая ситуация возможна.
Задание 20. Найдите наименьшее и наибольшее значение количества камней в куче, при которых выполняются два условия:
– у Паши есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть не более, чем за три хода при любой игре Валеры;
– у Паши нет выигрышной стратегии, позволяющей ему выиграть не более, чем за два хода. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Укажите количество начальных комбинаций камней в куче, при которых Валера имеет выигрышную стратегию.

ID 88656. кп1921-134

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трех точек: (x-10, y+5), (x-5, y-5), (x+5, y-5). Например, при если фишка стоит в позиции (10,5), то за один ход можно получить любую из трёх позиций: (0,10), (5, 0), (15,0). Игра завершается в тот момент, когда расстояние от фишки до точки с координатами (0, 0) становится больше 20 единиц. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший позицию, от которой расстояние до точки с координатами (0, 0) больше 20 единиц. В начальный момент фишка находится в позиции (-1, S), S-- целое число. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите количество всех возможных S, при которых игра имеет смысл, т. е. для которых расстояние от начальной позиции до точки с координатами (0, 0) не больше 20. Задание 20. Найдите два числа: первое – количество значения S, при которых Петя выигрывает первым ходом; и второе число – количество значений S при которых, у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Задание 21 Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88655. кп1921-133

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, в которую записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить одно из чисел пары (по своему выбору) на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22,20) или (2, 22). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары станет не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в сумму чисел пары 62 и более. В начальный момент в табличке записана пара чисел (10, S), 1 ≤ S ≤ 51. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите наименьшее значение S, при котором Петя может выиграть за один ход.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите количество значений S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88651. кп1921-129

(А. Рогов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трех точек: или в точку с координатами (2x, y), или в точку с координатами (x, y+3), или в точку с координатами (x, y+4). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние от фишки до точки с координатами (0, 0) больше 14 единиц. В начале игры фишка находится в точке с координатами (3, S); 1 ≤ S ≤ 13.

Задание 19. Найдите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня выигрывает своим первым ходом после любого хода Пети.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.