ЕГЭ-19-21. Камешки. Одна куча

ID 88676. кп1921-154

(А. Драганов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) убрать 3 камня или
б) убрать 5 камней или
в) уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней в куче, полученное при делении, округляется до большего целого числа).

Выполнять операции можно, если в куче хватает камней для изъятия и при этом в результате хода изменяется количество камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче останется менее 6 камней. Если при этом в куче окажется нечётное число камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем считается его противник. В начальный момент в куче было S 6 камней.

Задание 19. Укажите максимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 У Пети была выигрышная стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть при любых вариантах сопротивления Вани. Но Петя специально поддался. Петя сделал свой первый ход так, что Ваня сделал только один ход, после которого игра сразу закончилась и Ваня победил. Укажите наименьшее значение S, при котором такое было возможно.

ID 88675. кп1921-153

(А. Драганов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) убрать 3 камня или
б) убрать 5 камней или
в) уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней в куче, полученное при делении, округляется до большего целого числа).

Выполнять операции можно, если в куче хватает камней для изъятия и при этом в результате хода изменяется количество камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче останется менее 6 камней. Если при этом в куче окажется чётное число камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем считается его противник. В начальный момент в куче было S 6 камней.

Задание 19. Укажите максимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 У Пети была выигрышная стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть при любых вариантах сопротивления Вани. Но Петя специально поддался. Петя сделал свой первый ход так, что Ваня сделал только один ход, после которого игра сразу закончилась и Ваня победил. Укажите наименьшее значение S, при котором такое было возможно.

ID 88674. кп1921-152

(А. Драганов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) убрать 2 камня или
б) убрать 4 камня или
в) уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней в куче, полученное при делении, округляется до меньшего целого числа).

Выполнять операции можно, если в куче хватает камней для изъятия и при этом в результате хода изменяется количество камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче останется менее 3 камней. Если при этом в куче окажется чётное число камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем считается его противник. В начальный момент в куче было S 3 камней.

Задание 19. Укажите максимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 У Пети была выигрышная стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть при любых вариантах сопротивления Вани. Но Петя специально поддался. Петя сделал свой первый ход так, что Ваня сделал только один ход, после которого игра сразу закончилась и Ваня победил. Укажите наименьшее значение S, при котором такое было возможно.

ID 88673. кп1921-151

(А. Драганов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) убрать 2 камня или
б) убрать 7 камней или
в) уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней в куче, полученное при делении, округляется до меньшего целого числа).

Выполнять операции можно, если в куче хватает камней для изъятия и при этом в результате хода изменяется количество камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче останется менее 3 камней. Если при этом в куче окажется чётное число камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем считается его противник. В начальный момент в куче было S 3 камней.

Задание 19. Укажите максимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему гарантированно выиграть, сделав не более 2 ходов, но при этом у него нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть, сделав менее 2 ходов. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 У Пети была выигрышная стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть при любых вариантах сопротивления Вани. Но Петя специально поддался. Петя сделал свой первый ход так, что Ваня сделал только один ход, после которого игра сразу закончилась и Ваня победил. Укажите наименьшее значение S, при котором такое было возможно.

ID 88672. кп1921-150

(О. Лысенков) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня, либо увеличить количество камней в куче в два раза.

У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится простым числом. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, количество камней в которой является простым числом. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 100, S не является простым числом.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88671. кп1921-149

(Апробация-2025) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза.

У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 52. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 52 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 51. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88670. кп1921-148

(ЕГКР-2025) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

-- добавить в кучу 2 камня;

-- добавить в кучу 5 камней;

-- увеличить количество камней в куче в 2 раза.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22, 25 или 40 камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 128. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 128 или более камней. В начальной момент в куче было S камней, 1 < S < 127.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88669. кп1921-147

(Открытый вариант-2025) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 67 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 66. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88668. кп1921-146

(Досрочный ЕГЭ-2025) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

– убрать из кучи два камня,

– уменьшить количество камней в куче в два раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 87. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в куче 87 камней или меньше. В начальный момент в куче было S камней; S ³ 88.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88667. кп1921-145

(ЕГКР-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

– добавить в кучу 3 камня;

– добавить в кучу 6 камней;

– увеличить количество камней в куче в 3 раза. Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 26 или 60 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 132. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 132 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 131. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88665. кп1921-143

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи четыре камня или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 41. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ на каждое задание вводите в отдельной строке. На задание 20 два числа вводятся через один пробел

ID 88663. кп1921-141

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи три камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 29 камней за один ход можно получить кучу из 27, 26 или 14 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 25. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 25 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 26. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88662. кп1921-140

(Демо-2025) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 20. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88660. кп1921-138

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 39. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 39 камней или больше. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 38. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два таких значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88659. кп1921-137

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 58 камней или больше. В начальный момент в куче было S камней; 1 < S < 57.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88657. кп1921-135

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или 20 камней. Для того чтобы делать ходы, у игроков есть только 80 камней, включая те, которые находятся в куче в начальный момент. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 61. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 60. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите количество значений S, при которых Петя может выиграть своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88654. кп1921-132

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два или три камня либо уменьшить количество камней в куче в два раза. В случае, если уменьшается в два раза нечётное количество камней, то сначала убирают один камень, а затем уменьшают в два раза. Например, имея кучу из 11 камней, за один ход можно получить кучу из 9, 8 или 5 камней. Нельзя убрать больше камней, чем их имеется в куче. Игра завершается в тот момент, когда в куче не останется камней. При этом победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 30. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите количество всех возможных значение S, при которых Петя не может выиграть своим первым ходом, но при любом ходе Пети, Ваня выигрывает своим первым ходом.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке убывания.
Задание 21 Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88653. кп1921-131

(E. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 20. Если при этом в куче оказалось не более 26 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник (при этом победа учитывается как ход противника). В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 19.

Задание 19. Найдите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня может выиграть своим первым ходом после любого хода Пети.
Задание 20. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88652. кп1921-130

(А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 37. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 37 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 36.

Задание 19. Найдите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня может выиграть своим первым ходом после любого хода Пети.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

ID 88650. кп1921-128

(Е. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 82 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 81.

Задание 19. Найдите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного хода Пети.
Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.