Алгоритмы

Неизбежные печати

Дан неориентированный граф из N залов и M двусторонних коридоров. У каждого коридора есть положительный вес.

Для запроса s, t коридор считается неизбежным, если он встречается в любом маршруте из s в t. Маршрут может повторно посещать вершины и рёбра. При s=t разрешён пустой маршрут.

Для каждого запроса найдите количество неизбежных коридоров и сумму их весов.

Входные данные

В первой строке N, M, Q (1 <= N,Q <= 100000, 0 <= M <= 200000). Далее M строк: u v w — концы коридора и его вес (1 <= w <= 10^9). Между двумя залами не более одного коридора. Затем Q строк с парами s t.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите количество неизбежных коридоров и сумму их весов. Если пути нет, выведите -1 -1. Если путь есть, но неизбежных коридоров нет, выведите 0 0.

На прямой исследовательской тропе есть n подходящих мест для установки датчиков. Координаты всех мест известны и различны. Алекс должен поставить ровно k датчиков, не более одного в каждом месте.

Чтобы датчики меньше мешали друг другу, Алекс хочет сделать минимальное расстояние между любыми двумя установленными датчиками как можно больше. Найдите наибольшее возможное значение этого минимального расстояния.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и k (2 ≤ k ≤ n ≤ 200 000). Вторая строка содержит n различных целых координат xᵢ (0 ≤ xᵢ ≤ 10⁹) в произвольном порядке.

Выходные данные

Выведите максимальное минимальное расстояние.

Пояснения к примерам

Пример 1. Можно поставить датчики в точках 1, 4 и 8. Минимальное расстояние равно 3.

Пример 2. Нужно занять оба места.

На научной смене Алекс может посетить n лабораторных сеансов. Сеанс i начинается в момент sᵢ, заканчивается в момент fᵢ и приносит vᵢ исследовательских баллов. Баллы начисляются только за полностью посещённый сеанс.

Нельзя участвовать в двух сеансах одновременно. При этом сразу после окончания одного сеанса можно начать другой: если первый заканчивается в момент x, второй может начаться в момент x. Переходы между лабораториями времени не занимают.

Алекс может выбирать любые сеансы и пропускать остальные. Найдите максимальную сумму баллов.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 200 000). Следующие n строк содержат по три целых числа sᵢ, fᵢ, vᵢ (0 ≤ sᵢ < fᵢ ≤ 10⁹, 1 ≤ vᵢ ≤ 10⁹). Сеансы перечислены в произвольном порядке; совпадения времён допускаются.

Выходные данные

Выведите максимальное количество баллов, которое сможет набрать Алекс.

Пояснения к примерам

Пример 1. Подходят сеансы 1, 3 и 5: 7 + 9 + 10 = 26 баллов.

Пример 2. Окончание первого совпадает с началом второго; можно посетить оба.

Алекс выбирает мастер-классы научного фестиваля. Мастер-класс i идёт с момента sᵢ до момента fᵢ и приносит vᵢ баллов опыта. Чтобы получить баллы, его нужно посетить целиком.

Абонемент Алекса позволяет посетить не более K мастер-классов. Одновременно находиться на двух нельзя. Если один закончился ровно в момент начала другого, можно посетить оба. Переходы между аудиториями мгновенны.

Найдите максимальную сумму баллов опыта, которую можно получить с этим абонементом.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и K (1 ≤ n ≤ 50 000, 1 ≤ K ≤ min(30, n)). Следующие n строк содержат целые числа sᵢ, fᵢ, vᵢ (0 ≤ sᵢ < fᵢ ≤ 10⁹, 1 ≤ vᵢ ≤ 10⁹). Порядок произвольный; совпадения времён допустимы.

Выходные данные

Выведите максимальную сумму баллов.

Пояснения к примерам

Пример 1. Лучше посетить только шестой мастер-класс. Цепочка 1, 3, 5 дала бы 26 баллов, но требует трёх посещений.

Пример 2. Из трёх совместимых мастер-классов нужно выбрать два: второй и третий.

Алекс готовит приборы к экспедиции. Для включения одного прибора нужны ровно два аккумулятора с суммарным зарядом не меньше L. Аккумуляторы могут иметь разный заряд.

У Алекса n аккумуляторов. Каждый можно поставить не более чем в один прибор, разделять заряд между приборами нельзя. Приборов достаточно много. Найдите максимальное количество приборов, которые Алекс сможет включить одновременно.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и L (2 ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ L ≤ 2·10⁹). Вторая строка содержит n целых зарядов aᵢ (1 ≤ aᵢ ≤ 10⁹).

Выходные данные

Выведите максимальное количество включённых приборов.

Пояснения к примерам

Пример 1. Подходят пары зарядов (1, 9), (2, 8), (3, 7).

Пример 2. Можно использовать пары (3, 9) и (4, 8); аккумулятор с зарядом 2 останется.

Обелиски

На карте обсерватория находится в точке (0, 0). Даны N обелисков с целочисленными координатами, отличными от (0,0).

Три выбранных обелиска, не лежащие на одной прямой, образуют треугольник. Тройка подходит, если точка (0,0) лежит строго внутри этого треугольника, не лежит на его стороне и не совпадает с точкой пересечения медиан треугольника.

Найдите количество подходящих троек. Порядок выбора не важен.

Входные данные

В первой строке N (3 <= N <= 2000). В следующих N строках координаты x y, где -10^9 <= x,y <= 10^9. Все точки различны и не равны (0,0).

Выходные данные

Выведите количество подходящих троек.

Ретрансляторы

Есть цепочка из N ретрансляторов. Радиограмма проходит их строго по порядку. Каждый ретранслятор ежедневно начинает передачу в своё фиксированное время HH:MM; длительность передачи T минут.

В начальный момент радиограмма уже готова на первом ретрансляторе. Между окончанием одной передачи и готовностью к следующей требуется K минут расшифровки. Передача начинается в ближайший момент расписания, который не раньше готовности. Если сегодняшнее время запуска уже прошло, нужно ждать до следующих суток. Передача может длиться больше суток.

Доставка завершена в момент окончания последней передачи. Сутки длятся 1440 минут и нумеруются с 0.

Входные данные

В первой строке N и K (1 <= N <= 100000, 0 <= K <= 1440). Во второй строке начальное время HH:MM в нулевые сутки. Далее N строк: ежедневное время запуска HH:MM и длительность T (1 <= T <= 10^6).

Выходные данные

Выведите номер суток D и время HH:MM, когда закончится последняя передача.

Камни

Под разрушенной башней археологи обнаружили ряд камней. На каждом высечено положительное целое число. Можно выбрать несколько пар соседних в исходном ряду камней. Для пары со значениями a и b восстанавливается a*b фрагментов.

Каждый камень можно использовать не более чем в одной паре. После выбора пары новые соседства не возникают: разрешены только пары камней, которые были соседними в исходном ряду.

Найдите максимальную суммарную величину по выбранным парам. Можно не выбирать ни одной пары.

Входные данные

В первой строке N (1 <= N <= 100000). Во второй строке N целых чисел от 1 до 10^6.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную сумму.

Маяк 5. Последний опасный замер

Экспедиция «МАЯК». Перед стартом исследовательского модуля тепловые замеры отсортировали от самой высокой температуры к самой низкой. Одинаковые показания встречаются несколько раз. Тревога включается только при значении строго выше x, а ровно x уже не считается перегревом. Оператор ищет последнюю запись в опасной части отсортированного журнала.

Входные данные

Первая строка содержит n и x — количество измерений и порог тревоги. Во второй строке записаны n температур по невозрастанию (от больших к меньшим).

Выходные данные

Выведите индекс последнего измерения с температурой строго больше x. Если превышения нет, выведите -1.

Ограничения

0 ≤ n ≤ 200000; 0 ≤ x ≤ 1000000000; 0 ≤ a[i] ≤ 1000000000. Значения не возрастают (совпадения разрешены). При n = 0 вторая строка пустая.

Алгоритм должен работать за O(log n) после чтения входных данных; полный перебор при поиске не используйте.

Маяк 4. До закрытия шлюза

Экспедиция «МАЯК». Шлюз исследовательской базы закроется в момент x. Компьютер хранит время событий в отсортированном журнале; события с одинаковым временем возможны. Инженеру нужен номер самого позднего события, которое произошло именно до закрытия. Событие с отметкой ровно x уже не подходит.

Входные данные

В первой строке находятся n и x — количество записей и момент закрытия. Во второй строке — n временных отметок по неубыванию.

Выходные данные

Выведите индекс последнего события, произошедшего строго раньше x. Если ни одно событие не успело, выведите -1.

Ограничения

1 ≤ n ≤ 200000; 0 ≤ x ≤ 1000000000; 0 ≤ a[i] ≤ 1000000000. Значения не убывают (совпадения разрешены).

Алгоритм должен работать за O(log n) после чтения входных данных; полный перебор при поиске не используйте.

Маяк 3. Подбор аккумулятора

Экспедиция «МАЯК». Для дальнего выхода роботу требуется запас энергии не меньше x. Батареи на складе стоят в порядке неубывания ёмкости, некоторые имеют одинаковую ёмкость. Снабженец хочет взять первую подходящую батарею: так он не потратит более ёмкий запас без необходимости.

Входные данные

В первой строке записаны n и x — число батарей и минимально необходимая ёмкость. Во второй строке — n ёмкостей по неубыванию.

Выходные данные

Выведите индекс первой батареи, ёмкости которой хватит для выхода. Если такой батареи нет, выведите -1.

Ограничения

0 ≤ n ≤ 200000; 0 ≤ x ≤ 1000000000; 0 ≤ a[i] ≤ 1000000000. Значения не убывают (совпадения разрешены). При n = 0 вторая строка пустая.

Алгоритм должен работать за O(log n) после чтения входных данных; полный перебор при поиске не используйте.

Маяк 2. Граница безопасной зоны

Экспедиция «МАЯК». Перед запуском капсулы инженеры рассортировали результаты измерения радиационного фона: от самого большого показания к самому маленькому. Равные результаты стоят рядом. Значение не выше x считается безопасным. Диспетчеру нужна первая запись в этом списке, с которой начинаются безопасные показания. Если безопасных показаний нет, запуск пока не разрешён.

Входные данные

В первой строке даны n и x — число измерений и допустимый радиационный фон. Во второй строке — n измерений по невозрастанию (от больших к меньшим).

Выходные данные

Выведите индекс первого измерения, не превышающего x. Если безопасных измерений нет, выведите -1.

Ограничения

0 ≤ n ≤ 200000; 0 ≤ x ≤ 1000000000; 0 ≤ a[i] ≤ 1000000000. Значения не возрастают (совпадения разрешены). При n = 0 вторая строка пустая.

Алгоритм должен работать за O(log n) после чтения входных данных; полный перебор при поиске не используйте.

Маяк 1. Пропавшая радиограмма

Экспедиция «МАЯК». Диспетчер получил запрос на радиограмму с кодом x. Все радиограммы хранятся в архиве по возрастанию кода, и двух сообщений с одинаковым кодом не бывает. Диспетчеру нужен номер ячейки, в которой хранится нужная радиограмма. Если такой радиограммы никогда не поступало, нужно сообщить об этом.

Входные данные

В первой строке записаны целые числа n и x — количество радиограмм и код запроса. Во второй строке — n различных кодов, расположенных в строго возрастающем порядке.

Выходные данные

Выведите номер ячейки с кодом x (нумерация с 0). Если радиограммы нет, выведите -1.

Ограничения

0 ≤ n ≤ 200000; 0 ≤ x ≤ 1000000000; 0 ≤ a[i] ≤ 1000000000. Значения строго возрастают. При n = 0 вторая строка пустая.

Алгоритм должен работать за O(log n) после чтения входных данных; полный перебор при поиске не используйте.

Алекс настраивает связь между исследовательскими станциями. Есть n станций и m возможных двусторонних каналов. Канал между станциями u и v начинает работать, если общая настройка мощности P не меньше указанного для него порога w.

Сообщение нужно передать со станции s на станцию t, использовав не более k каналов подряд. Использование одного канала считается одним переходом. Промежуточные станции могут пересылать сообщение.

Найдите минимальную целую мощность P ≥ 0, при которой это возможно. Если подходящего маршрута нет даже при работающих всех каналах, сообщите об этом.

Входные данные

Первая строка содержит пять целых чисел n, m, k, s, t (2 ≤ n ≤ 50 000, 0 ≤ m ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ s, t ≤ n, s ≠ t).

Следующие m строк содержат u, v, w (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v, 0 ≤ w ≤ 10⁹). Между одной парой станций не более одного канала.

Выходные данные

Выведите минимальную мощность либо −1, если передать сообщение за допустимое число переходов невозможно.

Пояснения к примерам

Пример 1. При мощности 7 подходит маршрут 1 → 3 → 5. При мощности 6 доступен маршрут 1 → 3 → 4 → 5, но он слишком длинный.

Пример 2. Связь существует, но сообщение должно пройти два канала, а разрешён только один.

Алекс тестирует навигацию в музее. План музея — прямоугольная таблица из n строк и m столбцов. Клетка # занята стеной, клетка . свободна. В клетке S находится Алекс, а в клетке T — пульт управления.

За один шаг можно перейти в соседнюю по стороне свободную клетку. Клетки S и T тоже свободны. Выходить за границы таблицы нельзя.

Найдите минимальное количество шагов от S до T и число различных маршрутов такой длины. Маршруты различны, если различаются последовательности посещённых клеток. Количество маршрутов выведите по модулю 1 000 000 007.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 500, 2 ≤ nm ≤ 200 000). Далее идут n строк по m символов ., #, S, T. Символы S и T встречаются ровно по одному разу и находятся в разных клетках.

Выходные данные

Выведите два целых числа: длину кратчайшего маршрута и количество таких маршрутов по модулю 1 000 000 007. Если пульт недостижим, выведите -1 0.

Пояснения к примерам

Пример 1. Можно обойти стены сверху и справа либо слева и снизу. Оба маршрута содержат пять шагов.

Пример 2. Стена полностью перекрывает путь.

Алекс распределяет n наблюдателей по двум сменам: утренней и вечерней. Каждый человек должен попасть ровно в одну смену; пустая смена допускается.

Для некоторых пар наблюдателей известно, что они должны работать в разных сменах, поскольку пользуются одним комплектом оборудования. Других ограничений нет.

Посчитайте количество допустимых распределений по модулю 1 000 000 007. Смены различаются: поменять у всех людей утро на вечер означает другое распределение. Если выполнить все ограничения невозможно, выведите 0.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и m (1 ≤ n ≤ 200 000, 0 ≤ m ≤ 200 000). Следующие m строк содержат пары u, v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v). Каждая неупорядоченная пара встречается не более одного раза.

Выходные данные

Выведите количество допустимых распределений по модулю 1 000 000 007.

Пояснения к примерам

Пример 1. У цепочки 1–2–3 два варианта смен, у наблюдателя 4 ещё два независимых варианта.

Пример 2. Трёх наблюдателей, попарно обязанных работать в разных сменах, в две смены распределить нельзя.

Алекс руководит запуском научного центра. Нужно выполнить n работ. Работа i занимает dᵢ минут и после начала выполняется без остановок.

Для некоторых пар работ указано требование: работа u должна закончиться прежде, чем начнётся работа v. Если у работы несколько предшественников, должны завершиться все. Приступить к работе можно ровно в момент завершения последнего предшественника.

Работы без предшественников можно начать в момент 0. Исполнителей и оборудования достаточно: независимые работы могут идти одновременно. Найдите минимальный момент, когда будут закончены все работы. Если требования противоречивы и выполнить все работы невозможно, выведите −1.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и m (1 ≤ n ≤ 100 000, 0 ≤ m ≤ 200 000). Вторая строка содержит n целых длительностей dᵢ (1 ≤ dᵢ ≤ 10⁹). Следующие m строк содержат u, v: работа u должна завершиться перед началом v. Номера различны и лежат от 1 до n. Одинаковых упорядоченных пар нет; циклы могут встречаться.

Выходные данные

Выведите минимальный момент завершения всех работ или −1.

Пояснения к примерам

Пример 1. Работы 1 и 2 начинаются одновременно. Работа 3 заканчивается в момент 9, работы 4 и 5 — в моменты 11 и 15, работа 6 — в момент 16.

Пример 2. Каждая работа в цикле ждёт завершения другой.

Алекс восстанавливает сеть из n исследовательских станций. Некоторые пары уже соединены работающими двусторонними кабелями. По цепочке кабелей можно передавать сообщения через промежуточные станции.

Новый кабель можно проложить между любой парой различных станций u и v. Это стоит cᵤ + cᵥ монет. Если к станции подводят несколько новых кабелей, её стоимость оплачивается за каждый из них. Работающие кабели бесплатны и сохраняются.

Найдите минимальную общую стоимость новых кабелей, после добавления которых сообщение со станции 1 сможет дойти до любой станции.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и m (1 ≤ n ≤ 200 000, 0 ≤ m ≤ 200 000). Вторая строка содержит n целых чисел cᵢ (1 ≤ cᵢ ≤ 10⁹).

Следующие m строк содержат номера концов работающего кабеля u и v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v). Между одной парой станций не более одного работающего кабеля.

Выходные данные

Выведите минимальную общую стоимость. Если сеть уже связна, выведите 0.

Пояснения к примерам

Пример 1. Минимальные стоимости в трёх компонентах равны 2, 4 и 9. Добавим кабели 2–5 и 2–6: (2 + 4) + (2 + 9) = 17.

Пример 2. Станции уже связаны.

Алекс должен перевезти n ящиков с экспонатами. На складе ящики стоят в очереди, массы ящиков равны a₁, …, aₙ.

За один рейс Алекс забирает несколько первых оставшихся ящиков. Менять порядок и пропускать ящики нельзя. Каждый ящик перевозится целиком, ровно один раз. Масса груза в одном рейсе не должна превышать грузоподъёмность машины C.

Алекс может сделать не более k рейсов. Найдите минимальную целую грузоподъёмность C, которой хватит, чтобы перевезти все ящики.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и k (1 ≤ k ≤ n ≤ 200 000). Вторая строка содержит n целых чисел aᵢ (1 ≤ aᵢ ≤ 10⁹).

Выходные данные

Выведите минимальную грузоподъёмность.

Пояснения к примерам

Пример 1. Подходят рейсы [4, 2], [7], [3, 5]. При грузоподъёмности 7 понадобятся четыре рейса.

Пример 2. Единственный рейс должен вместить все ящики.