| | | |
|
Кандидаты в не кратчайший путь
Алгоритмы на графах
Кратчайшие пути в графе
Дан неориентированный связный взвешенный граф с N вершинами и M ребрами, который не содержит ни петель, ни двойных ребер. I-е (\(1<=i<=M\)) ребро соединяет вершину ai и вершину bi на расстоянии ci. Будем считать, что петля - это ребро, где \(a_i=b_i\) (\(1<=i<=M\)), а двойные ребра - это два ребра, где \((a_i,b_i)=(a_j,b_j) \) или \((a_i,b_i)=(b_j,a_j)\) (\(1<=i<j<=M\)). Связный граф - это граф, в котором есть путь между каждой парой разных вершин. Найдите количество ребер, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.
Входные данные
В первой строке задаются два целых числа N и M (\(2<=N<=100\), \(N-1<=M<=min(N \cdot (N-1)/2,1000)\)). Далее идет M строк по три целых числа в каждой строке: ai, bi, ci (\(1<=a_i, b_i<=N\), \(1<=c_i<=1000\)). Данный граф не содержит петель и двойных ребер. Данный граф является связанным.
Выходные данные
Выведите количество ребер в графе, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснения |
| 1 |
3 3
1 2 1
1 3 1
2 3 3
|
1
|
В данном графе кратчайшие пути между всеми парами различных вершин следующие:
Кратчайший путь от вершины 1 к вершине 2: вершина 1 → вершина 2, длина пути равна 1.
Кратчайший путь от вершины 1 к вершине 3: вершина 1 → вершина 3, длина пути равна 1.
Кратчайший путь из вершины 2 в вершину 1: вершина 2 → вершина 1, длина пути равна 1.
Кратчайший путь от вершины 2 к вершине 3: вершина 2 → вершина 1 → вершина 3, длина пути равна 2.
Кратчайший путь от вершины 3 до вершины 1: вершина 3 → вершина 1, длина пути равна 1.
Кратчайший путь от вершины 3 к вершине 2: вершина 3 → вершина 1 → вершина 2, длина пути равна 2.
Таким образом, единственное ребро, которое не содержится ни в одном кратчайшем пути, - это ребро длины 3, соединяющее вершину 2 и вершину 3, поэтому на выходе должно быть 1. |
| 2 |
3 2
1 2 1
2 3 1
|
0
|
Каждое ребро содержится в некотором кратчайшем пути между парой различных вершин. |
| |
![]()
|
|
Транзитный путь
Алгоритмы на графах
Кратчайшие пути в графе
Обход в ширину
Вам дано дерево с N вершинами. Здесь дерево - это разновидность графа, а точнее, связный неориентированный граф с N−1 ребром, где N - количество его вершин. I-е ребро (\(1<=i<=N-1\)) соединяет вершины ai и bi и имеет длину ci.
Вам также дано Q запросов и целое число K. Для каждого j-го запроса (\(1<=j<=Q\)) найдите длину кратчайшего пути от вершины xj к вершине yj через вершину K.
Входные данные
В первой строке записано целое число N (\(3<=N<=10^5\)). В следующих N строках записаны вершины ai и bi (\(1<=a_i,b_i<=N\), \(1<=i<=N-1\)) и длина между ними ci (\(1<=c_i<=10^9\), \(1<=i<=N-1\))
Далее идут два числа Q и K (\(1<=Q<=10^5\), \(1<=K<=N\)). В последних Q строках записаны целые числа xj, yj (\(x_j \neq y_j\),\(x_j \neq K\), \(y_j \neq K\) \(1<=j<=Q\), ).
Заданный граф является деревом.
Выходные данные
Выведите ответы на запросы в Q строках. В j-й строке выведите ответ на j-й запрос.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснение |
| 1 |
5
1 2 1
1 3 1
2 4 1
3 5 1
3 1
2 4
2 3
4 5 |
3
2
4 |
Кратчайшие пути для трех запросов следующие:
Запрос 1: Вершина 2 → Вершина 1 → Вершина 2 → Вершина 4: Длина 1 + 1 + 1 = 3
Запрос 2: Вершина 2 → Вершина 1 → Вершина 3: Длина 1 + 1 = 2
Запрос 3: Вершина 4 → Вершина 2 → Вершина 1 → Вершина 3 → Вершина 5: Длина 1 + 1 + 1 + 1 = 4 |
| 2 |
7
1 2 1
1 3 3
1 4 5
1 5 7
1 6 9
1 7 11
3 2
1 3
4 5
6 7 |
5
14
22 |
Путь для каждого запроса должен проходить через вершину K = 2. |
| 3 |
10
1 2 1000000000
2 3 1000000000
3 4 1000000000
4 5 1000000000
5 6 1000000000
6 7 1000000000
7 8 1000000000
8 9 1000000000
9 10 1000000000
1 1
9 10 |
17000000000 |
|
| |
![]()
|
|
Метро Давилона
Алгоритмы на графах
Кратчайшие пути в графе
Давилон - самый крупный город на Луне. На Давилоне есть собственная система метро, состоящая из N станций и M железнодорожных линий. Станции пронумерованы от 1 до N. Каждой линией управляет компания. У каждой компании есть идентификационный номер. I-я (1<=i<=M) линия соединяет станцию pi и qi двунаправленно. Промежуточной станции нет. Этой линией управляет компания ci . Можно делать пересадки на станции, где доступно несколько линий. Система оплаты проезда, используемая в этой системе метро, немного странная. Когда пассажир использует только те линии, которые обслуживаются одной и той же компанией, тариф составляет 1 сантик (валюта Давилона). Каждый раз, когда пассажир переходит на линию, которой управляет компания, отличная от текущей линии, с пассажира взимается дополнительная плата за проезд в размере 1 сантик. В случае, если пассажир, перешедший с линии компании А на линию другой компании, снова переходит на линию компании А, дополнительный тариф взимается снова. Незнайка сейчас на станции 1 и хочет добраться до станции N на метро. Найдите минимально необходимый тариф.
Входные данные
В первой строке задается два целых числа N (2<=N<=105) и M (0<=M<=2*105). В каждой из следующих M строк записаны по 3 числа: pi, qi и ci; 1<=pi<=N (1<=i<=M), 1<=qi<=N, 1<=ci<=106, pi ≠ qi.
Выходные данные
Выведите минимальный требуемый тариф. Если добраться до станции N на метро невозможно, выведите -1.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснение |
| 1 |
3 3
1 2 1
2 3 1
3 1 2 |
1 |
Используйте линии компании 1:
1 → 2 → 3.
Стоимость проезда 1 сантик. |
| 2 |
8 11
1 3 1
1 4 2
2 3 1
2 5 1
3 4 3
3 6 3
3 7 3
4 8 4
5 6 1
6 7 5
7 8 5 |
2 |
Сначала используйте линии компании 1:
1 → 3 → 2 → 5 → 6.
Затем используйте линии компании 5:
6 → 7 → 8.
Стоимость проезда 2 сантика. |
| 3 |
2 0 |
-1 |
|
| |
![]()
|
|
Мишина машина (В', В)
Кратчайшие пути в графе
Обход в ширину
Способы задания графа
Миша путешествует по стране на автомобиле. В стране есть несколько городов, соединенных дорогами, на каждой дороге может быть некоторое число ям.
Мише очень нравится ездить по дорогам на которых много ям, - он участвует в популярном телешоу "Неперсистентные машинки" и за каждую посещенную яму ему платят по одной монете.
Он начинает путь в любом из городов страны и затем путешествует по дорогам между городами. По каждой дороге Миша может проехать сколько угодно раз но ему платят за посещение любой ямы только один раз.
Помогите Мише найти самый выгодный маршрут.
Формат входных данных
В первой строке содержатся два целых числа n и m количество городов и дорог соединяющих города в стране соответственно (1 <= n <= 105 , 0<= m <= 105)
В следующих m строках содержится по три целых числа, разделенных пробелами номера, - городов, соединенных очередной дорогой и количество ям на этой дороге соответственно. Количество ям на каждой дороге неотрицательное число не превосходящее 106.
Гарантируется, что никакая дорога не соединяет город с самим собой и что нет двух дорог соединяющих одинаковые пары городов. Вершины нумеруются с единицы.
Формат выходных данных
Выведите одно число максимальное количество монет которое Миша сможет получить.
| Ввод |
Вывод |
4 4
1 2 1
2 3 1
1 4 1
4 3 0 |
3 |
4 2
1 3 5
2 4 4 |
5 |
Замечание
Все дороги двусторонние; проехав в любую сторону по дороге, Миша посещает все ямы на этой дороге. Обратите внимание, что между некоторыми парами городов может не существовать пути по имеющимся дорогам.
| |
![]()
|
