Список делителей - 03

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [108933; 132757] числа, у которых ровно 2 различных натуральных делителя, не считая 1 и самого числа. Для каждого найденного числа выведите эти 2 делителя с новой строки в порядке возрастания произведения этих 2 делителей. Делители должны следовать в порядке возрастания.

Список простых - 01

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [2385177; 2385437] простые числа. Выведите все найденные простые числа в порядке возрастания, слева от каждого числа выведите его номер по порядку (каждое число с номером выводите с новой строки). 

Раскопки

Во время недавних раскопок на Марсе были обнаружены листы бумаги с таинственными символами на них. После долгих исследований ученые пришли к выводу, что надписи на них на самом деле могли быть обычными числовыми равенствами. Если бы этот вывод оказался верным, это доказало бы не только то, что на Марсе много лет назад были разумные существа, но и то, что они уже умели считать…
Ученые смогли понять, что в этом случае означают найденные символы, и перевели эти равенства на обычный язык — язык цифр, скобок, знаков арифметических действий и равенства. Кроме того, из других источников было получено веское доказательство того, что марсиане знали только три операции — сложение, умножение и вычитание (марсиане никогда не использовали “унарный минус”: вместо “–5” они писали “0–5”). Также ученые доказали, что марсиане не наделяли операции разным приоритетом, а просто вычисляли выражения (если в них не было скобок) слева направо: например, 3 + 3*5 у них равнялось 30, а не 18.
К сожалению, символы арифметических действий марсиане почему-то наносили специальными чернилами, которые, как оказалось, были не очень стойкими, и поэтому в найденных листках между числами вместо знаков действий были пробелы. Если вся вышеизложенная теория верна, то вместо этих пробелов можно поставить знаки сложения, вычитания и умножения так, чтобы равенства стали верными. Например, если был найден лист бумаги с надписью “18=7 (5 3) 2”, то возможна такая расстановка знаков: “18=7+(5–3)*2” (помните про то, в каком порядке марсиане вычисляют выражения!). В то же время, если попался лист с надписью “5=3 3”, то марсиане явно не имели в виду числового равенства, когда писали это…
Вы должны написать программу, находящую требуемую расстановку знаков или сообщающую, что таковой не существует.

Формат входных данных
Первая строка входного файла состоит из натурального (целого положительного) числа, не превосходящего 2³⁰, знака равенства, и последовательности натуральных чисел (не более десяти), произведение которых также не превосходит 2³⁰. Некоторые группы чисел (одно или более) могут быть окружены скобками. Длина входной строки не будет превосходить 80 символов, и других ограничений на количество и вложенность скобок нет. Между двумя соседними числами, не разделенными скобками, всегда будет хотя бы один пробел, во всех остальных местах может быть любое (в том числе и 0) число пробелов (естественно, внутри числа пробелов нет).

Формат выходных данных
В выходной файл необходимо вывести одну строку, содержащую полученное равенство (т.е., исходное равенство со вставленными знаками арифметических действий). В случае если требуемая расстановка знаков невозможна, вывести строку, состоящую из единственного числа “–1”. Выходная строка не должна содержать пробелов.
 

Примеры

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа утверждает, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех точных квадратов. По данному числу n найдите такое представление: напечатайте от 1 до 4 натуральных чисел, квадраты которых дают в сумме данное число.

Входные данные
Программа получает на вход одно натуральное число n < 10000.

Выходные данные
Программа должна вывести от 1 до 4 натуральных чисел, квадраты которых дают в сумме данное число.

Примеры

Издевательство

Штирлиц ехал на машине, увидел голосующего Бормана, и проехал мимо. Через некоторое время он снова увидел голосующего Бормана, и снова проехал мимо. Вскоре он опять увидел голосующего Бормана.
 - Издевается! - подумал Борман.
 - Кольцевая! - догадался Штирлиц.

В городе N площадей. Любые две площади соединены между собой ровно одной дорогой с двусторонним движением. В этом городе живет Штирлиц. У Штирлица есть хобби - он любит воскресным утром выйти из дома, сесть в машину, выбрать какой-нибудь кольцевой маршрут, проходящий ровно по трем площадям (то есть сначала он едет с какой-то площади на какую-то другую, потом - на третью, затем возвращается на начальную, и опять едет по этому маршруту). Он воображает, что где-то на этом пути стоит Борман. И так вот ездит Штирлиц все воскресенье, пока голова не закружится, и радуется...

Естественно, что Штирлицу хочется проезжать мимо точки, в которой, как он воображает, стоит Борман, как можно чаще. Для этого, естественно, выбранный Штирлицем маршрут должен быть как можно короче. Напишите программу, которая выберет оптимальный для Штирлица маршрут.

Входные данные
В первой строке задается  число N (3 <= N <= 100). В последующих строках содержится матрица NxN расстояний между площадями (число в позиции i,j обозначает длину дороги, соединяющей i-ую и j-ую площади). Все числа в матрице (кроме стоящих на главной диагонали) - натуральные, не превышающие 1000. Матрица симметрична относительно главной диагонали, на главной диагонали стоят 0.

Выходные данные
Требуется вывести три числа — номера площадей в оптимальном маршруте. Если маршрутов несколько, выведите любой из них.

Примеры

Уравнение по возрастанию

Дана функция \(z(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Для заданных чисел a, b, c и d, выведите все целые значения x из диапазона от 0 до 1000, при которых функция z(x) принимает нулевое значение.

Входные данные
Программа получает на вход 4 числа: a, b, c и d. Каждое число записано в отдельной строке.

Выходные данные
Выведите все значение x, которые удовлетворяют условию задачи в порядке возрастания. 
 

Примеры

Раскраска в три цвета

Петя нарисовал на бумаге n кружков и соединил некоторые пары кружков линиями. После этого он раскрасил каждый кружок в один из трех цветов – красный, синий или зеленый.

Теперь Петя хочет изменить их раскраску. А именно – он хочет перекрасить каждый кружок в некоторый другой цвет так, чтобы никакие два кружка одного цвета не были соединены линией. При этом он хочет обязательно перекрасить каждый кружок, а перекрашивать кружок в тот же цвет, в который он был раскрашен исходно, не разрешается.

Помогите Пете решить, в какие цвета следует перекрасить кружки, чтобы выполнялось указанное условие.

Входные данные
В первой строке вводятся два целых числа n и m – количество кружков и количество линий, которые нарисовал Петя, соответственно (1 ≤ n ≤ 1 000, 0 ≤ m ≤ 20 000).
Следующая строка содержит n символов из множества {'R', 'G', 'B'} – i-й из этих символов означает цвет, в который раскрашен i-й кружок ('R' – красный, 'G' – зеленый, 'B' – синий).
Далее в m строках задается по два целых числа – пары кружков, соединенных отрезками.

Выходные данные
Выведите  одну строку, состоящую из n символов из множества {'R', 'G', 'B'} – цвета кружков после перекраски. Если решений несколько, выведите любое.
Если решения не существует, выведите  слово "Impossible''.
 

Примеры

Социальное дистанцирование I

Ужасная болезнь поражает коров. Фермер Джон хочет их защитить.
Амбар ФД - это узкое длинное здание, содержащее N стойл в ряд (2≤N≤105). Некоторые из этих стойл уже заняты коровами, некоторые - свободны. Прочитав о необходимости социального дистанцирования, ФД хочет максимизировать D, где D, это расстояние между двумя ближайшими занятыми стойлами. Например, если стойла 3 и 8 ближайшие, которые заняты, тогда D=5.

Две новых коровы пополнили стадо ФД и он должен решить, в какое не занятое стойло разместить каждую из них. Определите, ка к он должен разместить этих коров, чтобы в результате D, стало максимальным из возможных. ФД не может передвигать никакую из имеющихся коров, он может только назначить стойла новым коровам.

Входные данные
Первая строка ввода содержит N. Следующая строка содержит строку длиной N из 0 и 1, описывающая последовательность стойл в амбаре. 0 означает пустое стойло, 1 означает занятое стойло. В строке имеется как минимум два нуля, что достаточно для размещения двух коров.
Выходные данные
Выведите наибольше значение D (наименьшее расстояние между двумя занятыми стойлами), которое ФД может получить добавлением двух новых коров оптимальным образом.

Примеры

Мишины кубики

У маленького Миши есть кубики, на каждом из которых написана одна английская строчная буква. Вчера он выкладывал кубики в два ряда. В первом ряду у Миши n кубиков с буквами, во втором - m кубиков с буквами. Так получилось, что в двух этих рядах нет совпадающих букв. Другими словами, ни одна буква не содержится одновременно в обоих рядах.
Сегодня маленький Миша решил продолжить играть с кубиками. Но теперь он берет один любой кубик из какого-либо ряда и составляет из них третий ряд, добавляя кубик всегда в конец. Маленький Миша никогда не берет более k кубиков подряд из одного и того же ряда. Миша закончил играть тогда, когда у него закончились кубики в каком-то одном ряду (в первом или во втором).
Наблюдавший за игрой папа заметил, что играя таким образом у Миши получилась лексикографически наименьшая строка. По известным двум строкам, которые образуются путем прочтения букв первого и второго ряда и числу k определите строку, которую получил маленький Миша.

Строка x лексикографически меньше строки y только и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
- x является префиксом y, но x != y;
- в первой позиции, где x и y различаются, в строке x находится буква, которая стоит в алфавите раньше, чем соответствующая буква y.


Входные данные
Программа получает на вход несколько строк. В первой строке записаны три числа: n - количество кубиков в первом ряду, m - количество кубиков во втором ряду, k - целое число(1 <= n, m, k <= 100). Во второй строке записана строка a длиной n - строка, образованная прочтением букв, написанных на кубиках первого ряда. В третьей строке - строка b длиной m - строка, образованная прочтением букв, написанных на кубиках второго ряда.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

Гармоничная последовательность lite - 1

Цикл лекций в университете Флатландии посвящен изучению последовательностей.

Профессор называет последовательность целых чисел \(a_1, a_2, ..., a_n\) гармоничной, если каждое число, кроме \(a_1\) и \(a_n\), равно сумме соседних: \(a_2 = a_1 + a_3, a_3=a_2+a_4, ..., a_{n-1}=a_{n-2}+a_n\). Например, последовательность [1,2,1,–1]  является гармоничной, поскольку 2=1+1, и 1=2+(–1) .

Рассмотрим последовательности равной длины: \(A=[a_1,a_2, ... a_n]\)   и \(B=[b_1,b_2, ... b_n]\). Расстоянием между этими последовательностями будем называть величину \(d(A,B)= |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|\) . Например, \(d([1,2,1,–1][1,2,0,0])=|1–1|+|2–2|++|1–0|+|–1–0|=0+0+1+1=2 \)

В конце лекции профессор написал на доске последовательность из n целых чисел \(B=[b_1,b_2, ... b_n]\)и попросил студентов в качестве домашнего задания найти гармоничную последовательность \(A=[a_1,a_2, ... a_n]\), такую, что \(d(A, B)\) минимально. Чтобы облегчить себе проверку, профессор просит написать в качестве ответа только искомое минимальное расстояние \(d(A,B)\) .

Требуется написать программу, которая по заданной последовательности B определяет, на каком минимальном расстоянии от последовательности B найдется гармоничная последовательность A.

Входные данные
Первая строка содержит целое число n – количество элементов в последовательности ( \(3 \le n \le 100\)).
Вторая строка содержит n целых чисел \(b_1, b_2, …, b_n (–100 \le b_i \le 100 )\) .

Выходные данные
Выведите одно целое число: минимальное возможное расстояние от исходной до гармоничной последовательности.
 

Примеры

Уравнение по убыванию

Входные данные
Вводятся 4 числа: a, b, c и d.

Выходные данные
Найдите все целые решения уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 на отрезке [0,1000] и выведите их в порядке убывания. Если на данном отрезке нет ни одного решения, то ничего выводить не нужно.

Клетка для хомячка

Андрюше на день рождения подарили хомячка. Пока Андрюша не купил для него клетку, он решил сделать ему клетку из подручных средств. Для изготовления клетки он решил использовать набор кубиков, подаренный ему на прошлый день рождения. Однако, неожиданно выяснилось, что сестра Андрюши склеила кубики суперклеем, и отделить их друг от друга не представляется возможным.

Все кубики оказались склеены в две фигуры. Любые два кубика в каждой из фигур либо не имеют общих точек, либо имеют общую грань, либо имеют общее ребро, но в последнем случае есть кубик, с которым каждый из них имеет общую грань. Каждую фигуру можно положить на стол так, что каждый кубик будет касаться стола одной из своих граней.

Теперь Андрюша хочет положить эти две фигуры на стол так, чтобы получилась клетка для хомячка. Фигуры должны быть положены таким образом, чтобы каждый кубик касался стола гранью. Стороны нижних граней кубиков должны быть параллельны сторонам стола. Любые два кубика, принадлежащие различным фигурам, должны либо не касаться друг друга, либо иметь общую грань, либо иметь общее ребро. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать.


Положив фигуры, Андрюша собирается выпустить хомячка на стол. Чтобы он не упал со стола, у него не должно быть возможности добраться от точки, в которую Андрюша его выпустит, до края стола. Хомячок не может перелезать через кубики, и, в частности, не может пролезть между двумя кубиками, имеющими общее ребро. Стол существенно больше каждой из фигур.

Андрюша хочет, чтобы площадь, по которой может бегать хомячок, была как можно больше. Помогите ему выяснить, какая максимальная площадь может быть у территории, до которой сможет добраться хомячок. Площадь грани кубика будем считать равной единице.

Например, две фигуры, показанные на рисунке выше, можно расположить как показано на следующем рисунке. Если выпустить хомячка в точку, отмеченную стрелкой, то доступная ему территория будет иметь площадь, равную четырем.

Входные данные
В первой строке вводятся два числа: h₁ и w₁ (1 <= h₁, w₁ <= 10). Следующие h₁
строк содержат по w₁ символов и описывают первую фигуру, вид сверху. Каждый из этих символов - либо "*" (звездочка), либо "." (точка), звездочка обозначает кубик, а точка – пустое место.

Далее в отдельной строке вводятся два числа: h₂ и w₂  (1 <= h₂,  w₂ <= 10). Следующие h₂ строк содержат по w₂ символов и описывают вторую фигуру в формате, аналогичном формату первой. Каждая из фигур связна и содержит хотя бы один кубик.

Выходные данные
Выведите одно число – максимальную площадь, которая может быть доступна хомячку. Если сделать клетку для хомячка невозможно, выведите 0.

Складирование ноутбуков

На склад, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, привезли ноутбуки, упакованные в коробки. Каждая коробка также имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

По правилам хранения коробки с ноутбуками должны быть размещены на складе с выполнением следующих двух условий:

Стороны коробок должны быть параллельны сторонам склада

Коробку при помещении на склад разрешается расположить где угодно (с выполнением предыдущего условия), в том числе на другой коробке, но все коробки должны быть ориентированы одинаково (т.е. нельзя одну коробку расположить «стоя», а другую – «лежа»)

Напишите программу, которая по размерам склада и размерам коробки с ноутбуком определит максимальное количество ноутбуков, которое может быть размещено на складе.

Входные данные
Вводится шесть натуральных чисел. Первые три задают длину, высоту и ширину склада. Следующие три задают соответственно длину, высоту и ширину коробки с ноутбуком. Каждое из чисел не превышает 1000.

Выходные данные
Выведите одно число — максимальное количество ноутбуков, которое может быть размещено на складе.

Размещения без крутых спусков

Размещением из \(n\) по \(k\) называется массив \(a[1..k]\), содержащий \(k\) различных натуральных чисел, каждое из которых находится в диапазоне от \(1\) до \(n\).

Пара подряд идущих элементов размещения \(a[i], a[i + 1]\) называется спуском, если \(a[i] > a[i+1]\). Спуск называется крутым, если \(a[i] > a[i + 1] + 1\).

По заданным \(n\) и \(k\) требуется вывести все размещения из \(n\) по \(k\) без крутых спусков. Размещения необходимо упорядочить по первому числу, при равенстве первого — по второму, затем по третьему и так далее.

Первая строка ввода содержит натуральное число \(n\), вторая строка ввода содержит натуральное число \(k\) (\(1 \le k \le n \le 13\)).

Выведите все размещения из \(n\) по \(k\) без крутых списков, по одному на строке. Внутри размещения разделяйте числа пробелами.

Задача 2. Ищем лучшие w и b (полный перебор)

Вы работаете с простым датасетом, где нужно предсказать класс (0 или 1) по одному признаку. Например, предсказываем, болен ли человек (1) или здоров (0) по температуре тела.

У вас есть:

• Массив признаков X (например, температуры)

• Массив правильных ответов y (0 или 1)

Вам нужно найти лучшие значения коэффициента w и свободного члена b методом полного перебора, чтобы минимизировать log-loss.

Алгоритм

1. Переберите все возможные значения w от -2 до 2 с шагом 0.1
2. Переберите все возможные значения b от -10 до 10 с шагом 0.5
3. Для каждой пары (w, b):
   • Посчитайте линейную комбинацию: z=w⋅X+b
   • Примените сигмоиду: p=σ(z)
   • Посчитайте log-loss
4. Выберите пару (w, b) с минимальным log-loss

Важные детали

• Используйте функцию сигмоиды
• Для расчёта log-loss используйте формулу:
  • \(\text{Log-Loss} = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(y_i \cdot \log(p_i) + (1 - y_i) \cdot \log(1 - p_i)\right)\)
• Чтобы избежать ошибок с логарифмом нуля, ограничьте вероятности: p = np.clip(p, 1e-15, 1 - 1e-15)
• Bспользуйте np.arrange() для работы с вещественным шагом, вместо range()

Формат входных данных

На вход подаётся:

• в первой строке признаки (например, температуры): вещественные числа, разделенные одним пробелом
• во второй строке правильные классы для каждого признака соответственно  (0 или 1).

 Формат выходных данных

Выведите три числа, каждое в отдельной строке:

1. best_w — лучшее значение коэффициента (float, с точностью до сотых)

2. best_b — лучшее значение свободного члена (float, с точностью до сотых)

3. min_loss — минимальное значение log-loss (float, с точностью 4 знака после запятой)

5

Тир

Шесть стрелков решили повысить свою меткость и зашли в тир пострелять. В тире было установлено шесть мишеней, и каждый стрелок выстрелил во все мишени. После чего они собрались в баре, и каждый рассказал, сколько раз он попал в мишень. Бармен, запомнил, что сказал каждый из них, и на следующий день посчитал, сколько дырок в каждой мишени. Требуется помочь бармену определить: не ошибся ли кто-то из "снайперов", и сколько существует вариантов стрельбы (то есть, кто в какие мишень попадал), при которых получаются такие результаты. Считается, что две пули в одну дырку не попадают.

Входные данные
Во входном файле в первой строке для каждого стрелка записано число попаданий, которое он назвал при обсуждении результатов. В третей строке записано число дырок для каждой мишени

Выходные данные
В первой строке - количество вариантов такой стрельбы. Если вариант всего один, то для каждого стрелка вывести строчку, в которой будет для каждой мишени проставлено 0 - не попал, 1 - попал.

Красивые перестановки

Перестановкой размера \(n\) называется массив \(\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle\) различных чисел от \(1\) до \(n\). Каждое число в перестановке встречается ровно один раз.

Сеня называет красотой перестановки \(\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle\) число \((a_1a_2 + a_2a_3 + \ldots + a_{n-1}a_n)\). Он хочет посчитать количество перестановок, красота которых делится на \(k\).

Даны числа \(n\) и \(k\), найдите количество перестановок размера \(n\), красота которых делится на \(k\).

Например, для \(n = 3\) существует \(6\) перестановок. Рассмотрим все эти перестановки и их красоту.

Формат входных данных
Входные данные содержат два целых числа: \(n\) и \(k\) (\(1 \le n \le 10\), \(2 \le k \le 1000\)).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число: количество перестановок размера \(n\), красота которых делится на \(k\).

Задача из ЕГЭ

Андрей готовился к ЕГЭ по информатике и встретил в демо-версии ЕГЭ 2015 года такую задачу:
Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.
1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.
2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).
Пример. Исходное число: 3165. Суммы: 3+1 = 4; 6+5 = 11. Результат: 114.
Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 1311.
Андрей решил, что для самопроверки он напишет программу, которая решает подобную задачу. Мы думаем, что вы тоже с этим справитесь.
Программа получает на вход некоторое натуральное число N, которое может содержать две, три или четыре цифры.

Программа должна вывести такое наименьшее целое четырёхзначное число K, после применения к которому описанного выше алгоритма получается число N. Если же такого числа не существует, программа должна вывести число 0.
 

Двоичные строки заданной длины в обратном порядке

Примеры

Алгоритм

Легкая, вариант -2

В Берляндии каждый автомобиль имеет регистрационный номер. Автомобильные номера в Берляндии имеют следующий вид: LDDLDDL, где символ L обозначает строчную латинскую букву, а D цифру.

Филипп устроился работать в службу регистрации автомобильных номеров. По своей неопытности в первый же день работы Филипп разлил на стопку номеров кофе. У некоторых номеров оказался залит второй блок цифр (цифры на позициях 5 и 6).

Филипп считает, что все номера в Берляндии уникальны, поэтому он хочет быстро подобрать все залитые цифры, так чтобы среди всех номеров не было двух одинаковых. Задача показалась ему нерешаемой, и он попросил вас помочь ему.

Входные данные

В первой строке записано натуральное число n, не превосходящее 1000 — количество номеров в стопке.

В следующих n строках находятся n регистрационных номеров, в i+1-й строке i-й номер, в описанном выше формате. На месте залитых цифр находятся знаки вопросов.

Гарантируется, что знаки вопроса могут находиться только на месте цифр из второго блока цифр, причем либо на позициях обеих цифр, либо ни на одной из позиций.

Выходные данные

Первая строка должна содержать NO, если в стопке были одинаковые номера. Иначе первая строка должна содержать YES, а далее n строк должны содержать номера из стопки — по одному в каждой строке, причем i+1-я строка должна содержать i-й номер. Номера должны удовлетворять принятому в Берляндии формату в том же порядке, что и во входном файле.

Если ответов несколько — разрешается вывести любой.

Обратите внимание, что Филипп хочет восстановить только залитые цифры, то есть он должен заменить только знаки вопросов цифрами, другие символы в номерах измениться не должны.

Пример входных и выходных данных

Число с максимальной суммой делителей

Примеры