Структуры данных

Дано клетчатое поле N x M, все клетки поля изначально белые. Автомат умеет:

закрасить клетку (i,j) в черный цвет.
для клетки (i,j) узнать её ближайших белых соседей по вертикали и горизонтали.
Дана последовательность команд для автомата. Требуется выполнить эти команды в указанной последовательности, и для каждой команды запроса ближайших белых соседей указать результат ее выполнения.

Входные данные
Сначала вводятся размеры поля N и M (1 ≤ N ≤ 20, 1 ≤ M ≤ 50000), затем количество команд K (1 ≤ K ≤ 10⁵), а затем сами команды. Команды записаны по одной в строке в следующем формате:

Color i j — окраска клетки (i,j) в черный цвет;
Neighbors i j — нахождение белых соседей для БЕЛОЙ клетки (i,j).

1 ≤ i ≤ N, 1 ≤ j ≤ M.

Выходные данные
На каждый запрос Neighbors требуется вывести сначала количество ближайших белых соседей (или 0, если ни с одной из сторон белых клеток не осталось), а затем их координаты (соседей можно перечислять в произвольном порядке). Если запросов Neighbors нет, ничего выводить не надо.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 5 6 Color 4 2 Neighbors 4 3 Color 2 3 Color 3 3 Neighbors 4 3 Neighbors 5 1	4 4 1 4 4 3 3 5 3 4 4 1 4 4 1 3 5 3 2 5 2 4 1

Назовем подпоследовательностью массива a непустой массив b такой, что он может быть получен из массива a удалением нескольких (возможно, никаких) элементов массива a. Например, массив [1,3]  является попоследовательностью массива [1,2,3] , но [3,1]  не является.

Назовем подотрезком массива a непустой массив b такой, что он может быть получен путем удаления нескольких (возможно, никаких) первых и последних элементов массива a. Например, [1,2]  является подотрезком массива [1,2,3] , а [1,3]  не является. Несложно заметить, что у массива длины n ровно  \( {n(n+1) \over 2}\)  подотрезков.

Назовем массив a длины n возрастающим , если для любого 1 ≤ i ≤ n выполняется a_i ≤ a_i+1.

Монотонностью массива назовем количество его возрастающих подотрезков.

Дан массив a длины n. Посчитайте сумму монотонностей по всем его подпоследовательностям. Так как ответ может быть очень большим, выведите его по модулю 10⁹+7.

Входные данные
В первой строке задано целое число n (1 ≤ n ≤ 200000) — длина массива a.
Во второй строке заданы n целых чисел (1 ≤ a_i ≤ 200000) — элементы массива a.

Выходные данные
Выведите одно целое число — сумму монотонностей всех подпоследовательностей по модулю 10⁹+7.

Примечание
В первом тестовом примере у массива есть 7 подпоследовательностей:

• У массива [1]  есть ровно один подотрезок и он является возрастающим.
• У массива [2]  есть ровно один подотрезок и он является возрастающим.
• У массива [3]  есть ровно один подотрезок и он является возрастающим.
• У массива [1,2]  есть три подотрезка ([1], [2], [1,2] ) и все они являются возрастающими.
• У массива [1,3]  есть три подотрезка ([1], [3], [1,3] ) и все они являются возрастающими.
• У массива [3,2]  есть три подотрезка ([3], [2], [3, 2] ), но только два из них ([3]  и [2] ) являются возрастающими.
• У массива [1,3,2]  есть шесть подотрезков ([1], [3], [2], [1,3], [3,2], [1,3,2] ) и четыре из них ([1], [3], [2], [1,3] ) являются возрастающими.

Во втором тестовом примере все возрастающие подотрезки всех подпоследовательностей имеют длину 1.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 1 3 2	15
2	3 6 6 6	12

Беси расположена на сети из N (2≤N≤10⁵) вершин помеченных 1…N и 2N порталов помеченных 1…2N. Каждый портал соединяет две различных вершины u и v (u≠v). Множество порталов может соединять некоторую пару вершин.
Каждая вершина v соседняя для четырёх различных порталов. Список порталов вершины v задаётся как pv=[p_v,1,p_v,2,p_v,3,p_v,4].

Ваше текущее положение может быть представлено упорядоченной парой (current vertex,current portal); то есть парой (v,p_v,i) где 1≤v≤N и 1≤i≤4. Вы можете использовать одну из следующих операций для изменения своего текущего положения:

Изменить текущую вершину перемещением через текущий портал.
Переключить текущий портал. В каждой вершине первые два портала в списке объединены в пару и последние два портала в списке также объединены в пару. Поэтому если Ваше текущее состояние (v,p_v,2), то Вы можете переключиться чтобы использовать портал (v,p_v,1) и обратно. Аналогично, если Ваше текущее положение (v,p_v,3) Вы можете переключиться на портал (v,p_v,4) и обратно. никакие другие переключения не разрешены (например, Вы не можете переключиться с портала pv,2 на портал) p_v,4).
Всего имеется 4N различных состояний. К несчастью, может не оказаться, что что любое состояние достижимо из любого с помощью последовательности заданных операций. Поэтому, за цену cv (1≤c_v≤1000) мунов вы можете сделать перестановку списка порталов соседних вершине v, в любом желаемом Вами порядке. После этого первые два портала в списке объединяются в одну пару, а последние два портала - в другую пару.

Например, если Вы переставить порталы вершины v в порядке [p_v,3,p_v,1,p_v,2,p_v,4], Это означает. что если Вы в вершине v,

Если Вы в портале p_v,1, Вы можете переключиться на портал p_v,3 и обратно
Если Вы в портале p_v,2, Вы можете переключиться на портал p_v,4 и обратно
Теперь Вы не можете переключаться с портала p_v,1 на p_v,2, или с портала p_v,3 на портал p_v,4 и обратно.
Вычислите минимальное количество мунов, требуемых для модификации сети таким образом, чтобы сделать достижимым каждое состояние из каждого состояния. Гарантируется, что тестовые данные сконструированы таким образом, что существует хотя бы один способ такой модификации сети.

Входные данные: 
Первая строка содержит N.
Каждая из следующих N строк описывает вершину. Строка v+1 содержит 5 разделённых одиночными пробелами целых чисел c_v,p_v,1,p_v,2,p_v,3,p_v,4.
Гарантируется, что для каждой v все p_v,1,p_v,2,p_v,3,p_v,4 различны, и каждый портал появляется в списках ровно двух вершин.

Выходные данные: 
Одна строка содержит минимальное количество мунов требуемых для модификации сети чтобы сделать возможным достижимость каждого состояния из другого состояния.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	5 10 1 4 8 9 11 1 2 5 6 12 9 10 2 3 3 4 3 6 7 15 10 8 7 5	13	Достаточно сделать перестановку списков вершин 1 и 4. Это требует c1+c4=13 мунов. Перестановки такие: p1=[1,9,4,8] и p4=[7,4,6,3].

Реализуйте структуру данных для эффективного вычисления максимумов подряд идущих элементов массива.

Входные данные
В первой строке вводится одно натуральное число N (\(1 <= N <= 100000\)) — количество чисел в массиве. Во второй строке вводятся N чисел от 1 до 100000 — элементы массива. В третьей строке вводится одно натуральное число K (\(1 <= K <= 30000\)) — количество запросов на вычисление максимума. В следующих K строках вводится по два числа — номера левого и правого элементов отрезка массива (считается, что элементы массива нумеруются с единицы).

Выходные данные
Для каждого запроса выведите значение максимального элемента на указанном отрезке массива. Числа выводите в одну строку через пробел.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 2 2 2 1 5 2 2 3 2 5	2 5

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 7 5 0 0 3 0 1 0 4 0 2 3 0 2 2 1 2 4 1 4 4 0 3 1 1 0 2 0 3 2 3 0 3 1 0 1 2 1 2 0 0 3 3 1	65

Колобок ушёл от бабушки и поехал путешествовать. Неожиданно для себя он забрёл в страну Ивэнлэнд. Первые трудности встали на его пути: Колобка и вход в страну отделял огромный ров с водой, которая, как известно, не очень хорошо влияет на нашего героя. К счастью, повсюду рас- положены воздушные потоки, которые могли поднимать того, кто на них встает, на определённую высоту. Страна не просто так названа Ивэнлэнд, поэтому все высоты, на которые могут поднять героя воздушные потоки — это чётные числа.

Представим воздушные потоки как массив h[1..n] из n натуральных чисел — высот потоков. Для каждого 1 ≤ i ≤ n посчитаем G[i] — индекс ближайшего элемента слева, строго большего h[i]. Более формально, g[i] = max{j | j < i и h[j] > h[i]}. Если i = 1 или до h[i] нет ни одного элемента больше него, то G[i] считается равным 0.

Колобок считает, что оптимальность расположения воздушных потоков определяется суммой


Чем меньше сумма, тем расположение оптимальнее. Всё, что может сейчас сделать Колобок — это увеличить высоту одного из воздушных потоков не более чем на m. После этого действия высота потока должна остаться целым числом, но может, если необходимо, стать и нечётной.

Помогите Колобку сделать оптимальное изменение, которое позволит добиться, чтобы сумма S(h), описанная выше, после проделанного действия была минимальна.

Формат входного файла
В первой строке входного файла даны числа n, m (1 ≤ n ≤ 10⁵ , 1 ≤ m ≤ 10⁹ ) — количество воздушных потоков и максимальное значение, на которое можно увеличить высоту одного из них. Во второй строке даны высоты воздушных потоков h[i] (1 ≤ h[i] ≤ 10⁹ ). Гарантируется, что все высоты — чётные числа.

Формат выходного файла
В единственной строке выходного файла выведите одно целое число — минимальную искомую сумму.
 

Ввод	Вывод
3 100 4 2 6	4
3 2 4 2 6	5
3 10 2 2 2	4

Реализуйте сбалансированное двоичное дерево поиска.
ВНИМАНИЕ! Пользоваться vector и set из STL СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО, однако рекомендуется стрессить ваше решение с ними для поиска багов.

(c) Курбатов Е., 2016

Феоктист Всеволодович — преподаватель физкультуры старой закалки, глубоко убеждённый, что в начале каждого урока школьников необходимо построить по росту. Для этого он сначала просит школьников построиться самостоятельно, после чего последовательно меняет местами про- извольную пару стоящих рядом учеников, пока шеренга не примет желанный вид.

Всего на урок пришло N детей, изначально построившихся таким образом, что рост стоящего на позиции i равен hi (используется нумерация c 1). Можно считать, что все числа hi различны и лежат в диапазоне от 1 до N. Шеренга считается упорядоченной, если на первой позиции стоит школьник ростом один, на второй позиции стоит школьник ростом два и так далее.

Феоктист Всеволодович получает большое удовольствие от процесса упорядочивания школьни- ков, поэтому он всегда выбирает наиболее длинную последовательность обменов. С другой стороны, он не хочет чтобы ученики догадались о том, что он умышленно затягивает построение, поэтому никогда не делает заведомо бессмысленных обменов. А именно, преподаватель никогда не меняет местами школьников на позициях i и j, если hi < h_j . Очевидно, что данное ограничение делает процесс сортировки шеренги по росту конечным.

Староста Саша очень любит играть в волейбол и прекрасно понимает, что чем дольше препо- даватель будет расставлять всех по местам, тем меньше времени останется для игры. Ученики уже построились некоторым образом, а Феоктист Всеволодович вышел поговорить по телефону, так что Саша может успеть поменять местами ровно двух школьников, необязательно стоящих рядом в ше- ренге. Разумеется, он хочет сделать это таким образом, чтобы преподаватель как можно быстрее закончил упорядочивать шеренгу (Саша давно уже раскусил, как именно действует Феоктист Всево- лодович). С информатикой у старосты всегда были определённые проблемы, поэтому ему требуется ваша помощь.

Формат входных данных
В первой строке ввода содержится единственное число N — количество школьников на уроке (1 <= N <= 1 000 000). Во второй строке записано N различных целых чисел h_i (1 <= h_i <= N). i-е число соответствует росту школьника стоящего на i-й позиции.

Формат выходных данных
Выведите два числа — номера позиций школьников, которым необходимо поменяться местами, чтобы минимизировать количество действий преподавателя. Если таких пар несколько, то выведите любую из них. Если никому меняться местами не нужно, выведите -1 -1.

Ввод	Вывод
5 2 4 3 5 1	2 5
4 1 2 3 4	-1 -1
10 2 3 7 1 5 10 4 6 9 8	3 7

Дана последовательность вещественных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_N\) и целое число \(K\). Для каждого индекса \(i\), удовлетворяющего условию \(K+1 \le i \le N-K\), рассмотрим множество его \(2K\) соседей: \[S_i = \{ a_{i-K}, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_{i+K} \}.\] Вычислим среднее арифметическое элементов этого множества: \[\mu_i = \frac{1}{2K} \sum_{x \in S_i} x\] и их стандартное отклонение: \[\sigma_i = \sqrt{ \frac{1}{2K} \sum_{x \in S_i} (x - \mu_i)^2 }.\] Элемент \(a_i\) называется выбросом, если выполняется неравенство \[|a_i - \mu_i| > 2\sigma_i.\] Если \(\sigma_i = 0\) (все числа в \(S_i\) равны), то условие превращается в \(|a_i - \mu_i| > 0\), то есть \(a_i\) считается выбросом, когда он отличается от этого общего значения.

Требуется определить количество выбросов среди всех элементов, для которых определена окрестность (т. е. для \(i = K+1, K+2, \dots, N-K\)).

Напишите и сдайте программу на языке Python, которая по заданным данным вычисляет количество выбросов.

Входные данные
Первая строка содержит два целых числа \(N\) и \(K\) (\(1 \le K \le \lfloor N/2 \rfloor\), \(N \le 200\,000\)). Вторая строка содержит \(N\) вещественных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_N\), разделенных пробелами

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество выбросов.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8 2 -0.87270147 -0.34887844 0.95993054 -0.51785580 -0.44876428 0.94608416 -0.30955386 2.16387322	1

Примечание
Ваш балл за задачу — это доля пройденных верно тестов. Пример из условия не входит в число оцениваемых тестов.

 

На столе лежит n верёвок разной длины. Вам нужно связать их все в одну длинную верёвку. За одну операцию можно взять любые две верёвки и связать их в одну — стоимость такой операции равна сумме длин этих двух верёвок.

Например, если связать верёвки длиной 3 и 5, получится одна верёвка длиной 8, а стоимость операции — 8. Эту новую верёвку можно затем связывать с другими.

Требуется найти минимальную суммарную стоимость, за которую можно связать все n верёвок в одну.
 

Формат входных данных

В первой строке записано натуральное число n (1 ≤ n ≤ 50 000) — количество верёвок.

Во второй строке через пробел записаны n натуральных чисел a₁, a₂, …, a_n (1 ≤ a_i ≤ 10 000) — длины верёвок.
 

Формат выходных данных

Выведите одно целое число — минимальную суммарную стоимость связывания всех верёвок в одну. Если верёвка одна (n = 1), выведите 0.

Внимание: ответ может не помещаться в 32-битный целочисленный тип. В языке C++ используйте тип long long; в Python ограничений нет.
 

Пояснение к первому примеру

Оптимальная последовательность: связываем 2 и 3 (стоимость 5), получаем набор {4, 5, 6}. Связываем 4 и 5 (стоимость 9), получаем {6, 9}. Связываем 6 и 9 (стоимость 15). Итого: 5 + 9 + 15 = 29.