Алгоритмы

Участникам, использующим язык Python3, рекомендуется отправлять решения на проверку с использованием интерпретатора PyPy3.

Недавно в Диваново построили огромную шлюзовую систему. Всего было построено \(n\) шлюзов, \(i\)-й из них имеет объем \(v_i\) литров. Изначально все шлюзы пусты. В каждый шлюз ведет труба, при открытии которой в шлюз будет поступать по \(1\) литру воды в секунду. Исходно все трубы закрыты.

Шлюзовая система устроена так, что если доливать воду в \(i\)-й шлюз сверх его объема, она будет моментально моментально переливаться в шлюз с номером \(i + 1\). Если шлюз c номером \(i + 1\) тоже заполнен, вода будет переливаться дальше. Вода из последнего шлюза будет выливаться в озеро.

Для того, чтобы шлюзы начали функционировать, необходимо заполнить каждый из них. Мэра Дивановской области интересует \(q\) независимых запросов. Для каждого запроса предположим, что изначально все шлюзы пусты и все трубы закрыты, затем одновременно открываются несколько труб. Для \(j\)-го запроса мэр хочет знать, какое минимальное число труб надо включить, чтобы не позже чем через \(t_j\) секунд все шлюзы стали заполнены.

Помогите мэру справиться с этой сложной задачей и ответьте на все его запросы!

Формат входных данных
В первой строке вводится одно целое число \(n\) (\(1 \le n \le 200\,000\)) — количество шлюзов.

Во второй строке вводятся \(n\) целых чисел \(v_1, v_2, \dots, v_n\) (\(1 \le v_i \le 10^9\)) — объемы шлюзов.

В третьей строке вводится одно целое число \(q\) (\(1 \le q \le 200\,000\)) — число запросов.

В следующих \(q\) строках вводится по одному целому числу \(t_i\) (\(1 \le t_j \le 10^9\)) — время, за которое нужно наполнить все шлюзы в \(j\)-м запросе.

Формат выходных данных
Выведите \(q\) чисел, \(j\)-е из них должно быть равно минимальному числу труб, которое нужно открыть, чтобы наполнить все шлюзы за время \(t_j\). Если за это время наполнить всю шлюзы невозможно, выведите \(-1\).

В первом примере \(6\) запросов:

В запросах \(1, 3, 4\) ответ \(-1\). Чтобы заполнить первый шлюз нужно подождать \(4\) секунды, даже если открыты все трубы.

В шестом запросе можно открыть трубы в шлюзах \(1, 3\), и \(4\). Тогда через \(4\) секунды заполнятся шлюзы \(1\) и \(4\). Через \(1\) секунду \(1\) литр воды перельётся в шлюзы \(2\) и \(5\). Шлюз \(3\) будет заполнен своей трубой.

Аналогично во втором запросе можно открыть трубы в шлюзах \(1, 3\) и \(4\).

В пятом запросе можно открыть трубы в шлюзах с номерами \(1, 2, 3, 4\).

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее W. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет W или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ W-1.

Напишите программу, которая определяет:
задание 1) такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
задание 2)  все значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
задание 3)  все значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

Аня и Боря играют в игру. Первый ход делает Аня. Изначально на доске записано натуральное число n. На каждом ходе игрока, этот игрок делает следующий ход:

• выбирает любое x,  не равное n, но кратное числу n (более формально 0 < x < n и n % x == 0)
• заменяет число n на доске на n-x.

Если игрок не может сделать ход, то он проигрывает игру.

Определите, кто победит в этой игре, если оба будут следовать оптимальной стратегии.


Формат входных данных
Программа получает на вход натуральное число n (n <= 1000).

Формат выходных данных
Выведите 1, если Аня выигрывает игру, иначе  выведите 0.

Электронная почта Деда Мороза в течении долгого времени принимает заказы на новогодние подарки. Все желания детей кодируются некоторым положительным целым числом и затем передаются по каналу связи. Количество заказаов заранее неизвестно, но их всегда не менее двух. Признаком конца данных считается число 0. 
Для того, чтобы понять, что все данные приняты без ошибок, после данных передаётся контрольное значение. Контрольное значение равно максимально возможному произведению двух чисел из переданных, которое делится на 7, но не делится на 49. Если такое произведение получить нельзя, контрольное значение считается равным 1.
Дед Мороз очень занят в последний месяц перед Новым годом и просит вас обработать все входные данные и напечатать краткий отчёт, включающий количество принятых чисел, принятое контрольное значение, вычисленное контрольное значение и вывод о совпадении значений.


Формат входных данных
В каждой строке исходных данных содержится одно целое число. Сначала идут строки с основными данными – положительными числами, затем число 0 (признак окончания данных), в последней строке – контрольное значение.

Формат выходных данных
Программа должна вывести отчёт по форме, приведённой ниже в примере.
 

Примечание
В последней строке в зависимости от результата (если переданное контрольное значение и вычисленное контрольное значения равны) может быть values true

Саша недавно начала регистровать компанию по разработке чат ботов и уже подала необходимые документы. Но добрые люди рассказали Саше, что в телефонном справочнике компании располагаются в лексикографически возрастающем порядке их названий. Что такое телефонный справочник, Саша не знает, но решила учесть рекомендации и поменять название своей компании, чтобы оно было как можно раньше в телефонном справочнике. Поскольку Саша уже подала документы, она не может полностью поменять название компании, но может сказать, что допустила опечатку, и поменять любые две буквы в названии местами. Помогите Саше выбрать новое название компании или оставить текущее.

Формат входных данных
В единственной строке содержится одно слово, состоящее из строчных латинских букв от "a" до "z" (2 ≤ n ≤ 10⁶) 

Формат выходных данных
Выведите одно слово - новое название компании. Если название не~изменилось, выведите изначальное название.
 

У Алексея есть набор, который состоит из n палочек длины 1 и m палочек длины 2. Палочки можно соединять между собой, либо выстраивая их в линию, либо под прямым углом. 

Алексей хочет собрать из имеющихся палочек рамку прямоугольной формы, чтобы потом вставить в эту рамку лист бумаги и нарисовать красивый пейзаж для мамы на Новый год. 

При этом Алексей считает, что чем больше будет площадь прямоугольника, тем значимей будет его подарок. Поэтому ему важно определить максимальную площадь прямоугольника, границу которого можно собрать из имеющихся палочек.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит целое число n - количество палочек длины 1 (1 ≤ n ≤ 10⁹). 
Вторая строка входных данных содержит целое число m - количество палочек длины 2 (1 ≤ n ≤ 10⁹).

Формат выходных данных
В единственной строке выведите единственное целое число - максимальную площадь прямоугольника, который можно сложить из имеющихся палочек. Если из имеющихся палочек невозможно сложить никакой прямоугольник, то выведите число 0.

Замечание
В первом примере есть 5 палочек длины 1. Из них можно сложить квадрат со стороной 1, его площадь равна 1, при этом одна палочка останется.
Во втором примере есть 4 палочки длины 1 и 3 палочки длины 2. Из них можно сложить прямоугольник размера  2 x 3.
В третьем примере есть 3 палочки длины 1, из них невозможно сложить прямоугольник.

Дана строка s. Определите длину самой длинной подстроки, состоящей только из гласных букв. В ответе укажите длину данной подцепочки.

Формат входных данных
Программа получает на вход строку s (10 <= s <= 10⁶). Строка состоит из символов английского алфавита, записанных в верхнем регистре (от A до Z). Гласные буквы английского алфавита: AEIOUY.

Формат выходных данных
Выведите ответ на задачу.
 

Дана строка s  Определите длину самой длинной подцепочки, состоящей из одинаковых символов. В ответе укажите сначала символ, из которого строится данная подцепочка, затем, слитно без разделителей, длину данной подцепочки. Если таких подцепочек несколько, то укажите ту, в которой буква стоит раньше в алфавите.

Формат входных данных
Программа получает на вход строку s (10 <= s <= 10⁶). Строка состоит из символов английского алфавита, записанных в верхнем регистре (от A до Z).

Формат выходных данных
Выведите ответ на задачу.

Вы замечательный родитель и хотите подарить детям подарки. Но, чтобы не избаловать своих детей, вы должны дать каждому ребенку не более одного подарка.
Каждый ребенок i имеет уровень ожидания равный g[i] - целое число, показывающее минимальный размер подарка, получив который ребенок обрадуется. Каждый подарок j имеет размер s[j]. 
Посчитайте, какое максимальное количество детей вы сможете обрадовать.

Входные данные
Первая строка содержит целое число n - количество детей. Вторая строка содержит n целых чисел g[i] - уровень ожидания i-го ребенка. В третьей строке записано число m - количество подарков. Четвертая строка содержит m целых чисел s[j] - размер j-го подарка.
 

Ограничения

• 1 <= n <= 3 * 104
• 0 <= m <= 3 * 104
• 1 <= g[i], s[j] <= 231 - 1

Выходные данные
Выведите одно число. Ответ на задачу

Пояснения к примерам
1. В первом примере у вас есть 3 ребенка и 2 подарка. Уровни ожидания детей равны 1, 2, 3, соответственно. Имея 2 подарка размером 1, вы можете обрадовать только того ребенка, чей уровень ожидания равен 1.
Количество таких детей равно одному. Ответ 1.
2. Во втором примере у вас есть 2 ребенка и 3 подарка. Уровни ожидания детей равны 1, 2, соответственно.  3 подарка имеют достаточно большие размеры, чтобы обрадовать всех детей. Ответ 2.

Команда исследователей-археологов, отправилась в затерянный храм на поиски древних артефактов. На каждом артефакте записана строка, состоящая из символов "0" и "1". Археологи узнали, что выйти из храма с артефактами можно только в том случае, если суммарное количество нулей в строках, записанных на всех, взятых с собой артефактах, будет не больше m, а суммарное количество единиц не больше n. Исследователи хотят унести как можно больше артефактов. Ваша задача определить, какое максимальное количество артефактов исследователи-археологи смогут унести. 

Входные данные
Первая строка содержит целое число k - количество артефактов в храме. Далее идут k строк si; в i-й строке записана строка с i-го артефакта, состоящая из "0" и "1".
На k+2 строке записаны 2 числа: m и n. 
 

Ограничения

• 1 <= k <= 600
• 1 <= длина si <= 100
• si состоит только из цифр '0' and '1'.
• 1 <= m, n <= 100

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.

Пояснения к тестовым примерам
В первом тестовом примере наибольшим подмножеством, содержащим не более пяти 0 и не более трех 1, является {"10", "0001", "1", "0"}, поэтому ответ - 4.
Другие допустимые, но меньшие подмножества  {"0001", "1"} и {"10", "1", "0"}.
Подмножества {"111001"} является недопустимым, так как содержит четыре 1, что больше n.

 

Даны два целых числа n и k, выведите все возможные комбинации из k чисел, выбранных из диапазона [1, n]. Порядок элементов в одной комбинации не важен. То есть комбинация (1, 2, 3) и (3, 2, 1) считается одинаковой.
Выведите на экран все такие комбинации в лексикографическом порядке. 

Входные данные
В первой строке записано целое число n, во второй - целое число k.
 

Ограничения

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= n

Выходные данные
Выведите в лексикографическом порядке все возможные комбинации из k чисел, выбранных из диапазона [1, n]. Каждая комбинация чисел должна выводиться в отдельной строке, числа в одной комбинации разделяются одним пробелом.
 

XOR-cумма массива определяется как побитовое XOR всех его элементов или 0, если массив пуст.

Например, XOR-сумма массива [2,5,6] равна 2 XOR 5 XOR 6 = 1.
Для заданного массива nums, верните сумму всех XOR-сумм для каждого подмножества nums. 

Примечание: подмножества, состоящие из одинаковых элементов, считаются различными и должны подсчитываться несколько раз. 
Массив a является подмножеством массива b, если a может быть получено из b путем удаления некоторых (возможно не удалением никаких) элементов b.
 

Входные данные
Программа получает на вход в первой строке натуральное число n - количество элементов массива nums. Во второй строке записаны n чисел numsi.
 

Ограничения

• 1 <= n <= 12
• 1 <= numsi <= 20

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.

Пояснения к тестовым примерам
В первом примере 
В [1,3] существует 4 подмножества:
- Пустое подмножество имеет XOR-сумму 0.
- [1] имеет XOR-сумму, равную 1.
- [3] имеет XOR-сумму, равную 3.
- В [1,3] сумма XOR равна 1 XOR 3 = 2.
0 + 1 + 3 + 2 = 6

Во втором примере
В [5,1,6] 8 подмножеств:
- Пустое подмножество имеет XOR-сумму 0.
- [5] имеет XOR-сумму, равную 5.
- [1] имеет XOR-сумму, равную 1.
- [6] имеет XOR-сумму, равную 6.
- [5,1] имеет XOR-сумму 5 XOR 1 = 4.
- [5,6] имеет XOR-сумму 5 XOR 6 = 3.
- [1,6] имеет XOR-сумму 1 XOR 6 = 7.
- [5,1,6] имеет XOR-сумму 5 XOR 1 XOR 6 = 2.
0 + 5 + 1 + 6 + 4 + 3 + 7 + 2 = 28


 

Дан набор гирек массой m₁, …, m_N. Можно ли их разделить на четыре кучки равной массы?

Входные данные
Первая строка входных данных содержит натуральное число N, не превышающее 14. Далее идет N натуральных чисел mi, не превышающих 100.

Выходные данные
Программа должна вывести номера гирек для каждого из наборов в четыре строки или строчку No solution, если решения не существует.

Дан набор гирек массой m₁, …, m_N. Разделите его на три кучки равной масссы, содержащие равное число гирек.

Входные данные
Первая строка входных данных содержит натуральное число N, не превышающее 18. Далее идет N натуральных чисел mi, не превышающих 100.

Выходные данные
Программа должна вывести номера гирек для каждого из наборов в три строки или строчку No solution, если решения не существует.

Покупатель хочет приобрести товар стоимостью S рублей. У него есть N банкнот номиналом P₁, P₂, ..., P_N рублей. У продавца есть M банкнот номиналом Q₁, Q₂, ..., Q_M. рублей. Определите, смогут ли они рассчитаться.

Входные данные
Программа получает на вход сумму S. Далее идет число N затем P₁, P₂, ..., P_N. Далее идет число M, затем Q₁, Q₂, ..., Q_M.Количество банкнот у продавца и покупателя и их номиналы не превосходят 100.

Выходные данные
Если продавец сможет рассчитаться с покупателем, выведите наименьшее количество банкнот, которое придется отдать продавцу на сдачу.

Если они не могут рассчитаться, выведите число -1.

Если в продаже нет стандартного набора гирь, измерение массы становится большой проблемой. Ваш набор содержит n гирь массой 1 грамм, 4 грамма, 16 грамм, ..., 4^{n - 1} грамм. Кроме того, у вас есть две чаши весов. Чтобы взвесить объект, надо положить его на левую чашу весов и поставить некоторые гири на левую и правую чашу для достижения равновесия. Требуется найти, сколько целых масс в диапазоне [1; m ] возможно измерить, используя весы и данный набор гирь.

Входные данные
В единственной строке содержаться 2 целых числа m и n (1 ≤ n , m ≤ 10⁹ ) .

Выходные данные
Выведите одно число - количество масс, которые можно измерить с помощью этих гирь.

Дано N предметов массой m1, …, mN и стоимостью c1, …, cN соответственно.

Ими наполняют рюкзак, который выдерживает вес не более M. Какую наибольшую стоимость могут иметь предметы в рюкзаке?

Входные данные
В первой строке вводится натуральное число N, не превышающее 100 и натуральное число M, не превышающее 10000. Во второй строке вводятся N натуральных чисел mi, не превышающих 100. Во третьей строке вводятся N натуральных чисел сi, не превышающих 100.

Выходные данные
Выведите наибольшую стоимость рюкзака.

Цикл лекций в университете Флатландии посвящен изучению последовательностей.

Профессор называет последовательность целых чисел \(a_1, a_2, ..., a_n\) гармоничной, если каждое число, кроме \(a_1\) и \(a_n\), равно сумме соседних: \(a_2 = a_1 + a_3, a_3=a_2+a_4, ..., a_{n-1}=a_{n-2}+a_n\). Например, последовательность [1,2,1,–1]  является гармоничной, поскольку 2=1+1, и 1=2+(–1) .

Рассмотрим последовательности равной длины: \(A=[a_1,a_2, ... a_n]\)   и \(B=[b_1,b_2, ... b_n]\). Расстоянием между этими последовательностями будем называть величину \(d(A,B)= |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|\) . Например, \(d([1,2,1,–1][1,2,0,0])=|1–1|+|2–2|++|1–0|+|–1–0|=0+0+1+1=2 \)

В конце лекции профессор написал на доске последовательность из n целых чисел \(B=[b_1,b_2, ... b_n]\)и попросил студентов в качестве домашнего задания найти гармоничную последовательность \(A=[a_1,a_2, ... a_n]\), такую, что \(d(A, B)\) минимально. Чтобы облегчить себе проверку, профессор просит написать в качестве ответа только искомое минимальное расстояние \(d(A,B)\) .

Требуется написать программу, которая по заданной последовательности B определяет, на каком минимальном расстоянии от последовательности B найдется гармоничная последовательность A.

Входные данные
Первая строка содержит целое число n – количество элементов в последовательности ( \(3 \le n \le 500\)).
Вторая строка содержит n целых чисел \(b_1, b_2, …, b_n (–100 \le b_i \le 100 )\) .

Выходные данные
Выведите одно целое число: минимальное возможное расстояние от исходной до гармоничной последовательности.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 1 2 0 0	2

Исполнитель “Раздвоитель” преобразует натуральные числа. У него есть две команды: “Вычесть 1” и “Разделить на 2”, первая команда уменьшает число на 1, вторая команда уменьшает число в два раза, если оно чётное, иначе происходит ошибка.

Входные данные
Программа получает на вход два натуральных числа A и B (по одному числу в строке).

Выходные данные
Напишите алгоритм для Развоителя, который преобразует число A в число B и при этом содержит минимальное число команд. Команды алгоритма нужно выводить по одной в строке, первая команда обозначается, как -1, вторая команда как :2.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	21 2	-1 :2 :2 -1 :2

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	YES
2	4	YES
3	5	NO