Алгоритмы

Числовая последовательность задана рекуррентной формулой: ai+1=(k * ai + b) mod m. Найдите длину её наибольшей возрастающей подпоследовательности. 
mod - операция вычисления остатка от деления 

 

Программа получает на вход пять целых чисел: длину последовательности n (1≤n≤10⁵), начальный элемент последовательности a₁, параметры k, b, m для вычисления последующих членов последовательности (1≤m≤10⁴, 0≤k<m, 0≤b<m, 0≤a1<m).

 

Требуется вывести длину наибольшей возрастающей подпоследовательности данной последовательности.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 41 2 1 100	3

С целью подготовки к проведению олимпиады по информатике мэр решил обеспечить надежным электроснабжением все школы города. Для этого необходимо провести линию электропередач от альтернативного источника электроэнергии “Майбуття” к одной из школ города (к какой неважно), а также соединить линиями электропередач некоторые школы между собой.

Считается, что школа имеет надежное электроснабжение, если она напрямую связана с источником “Майбуття”, либо с одной из тех школ, которые имеют надежное электроснабжение.

Известна стоимость соединения между некоторыми парами школ. Мэр города решил выбрать одну из двух наиболее экономичных схем электроснабжения (стоимость схемы равняется сумме стоимостей соединений пар школ).

 

Напишите программу, которая вычисляет стоимость двух наиболее экономных схем альтернативного электроснабжения школ.

 

В первой строке входного файла находятся два натуральных числа, разделенных пробелом: N (3 <= N <= 100), количество школ в городе, и M – количество возможных соединений между ними. В каждой из последующих M строк находятся по три числа: Ai, Bi, Ci, разделенных пробелами, где Ci - стоимость прокладки линии электроснабжения (1 <= C_i <= 300) от школы Ai до школы Bi (i=1,2,…,N).

 

В единственной строке выходного файла должны содержаться два натуральных числа S1 и S2, разделенных пробелом – две наименьшие стоимости схем (S₁ <= S₂). S1=S2 тогда и только тогда, когда существует несколько схем надежного электроснабжения наименьшей стоимости.

 

Гарантируется, что для входных данных существует две различные схемы надёжного электроснабжения.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 8 1 3 75 3 4 51 2 4 19 3 2 95 2 5 42 5 4 31 1 2 9 3 5 66	110 121

Дядя Фёдор, кот Матроскин и Шарик решили обновить забор вокруг своего сада в Простоквашино. Матроскин и Шарик, недолго думая, вкопали N столбов вдоль одной из сторон участка. Это очень сильно расстроило Дядю Фёдора, так как его друзья забыли о самом главном — калитка должна находиться именно на этой стороне, и для неё необходимо было оставить проём шириной как минимум W. Теперь им придётся выкапывать некоторые столбы.

 

Чтобы работа не пропадала даром, выкопать надо как можно меньше столбов. Помогите Дяде Фёдору определить, какие именно столбы надо выкопать. После выкапывания столбов должен найтись промежуток (между двумя оставшимися столбами, или между оставшимся столбом и концом стороны участка, или между двумя концами стороны участка) ширины больше или равной W.

 

Первая строка содержит два целых числа N и W — количество вкопанных столбов и минимально необходимую ширину проёма для калитки соответственно. Гарантируется, что 0<=N<=30000 и что 0<=W<=60000.

 

Будем считать, что вдоль интересующей нас стороны участка введена ось координат. Во второй строке входного файла находятся два числа L и R — координаты левого и правого конца этой стороны (LR). Далее следуют N чисел — координаты вкопанных столбов. Все координаты (включая L и R) — различные целые числа, по модулю не превосходящие 30000. Гарантируется, что все столбы вкопаны между левым и правым концами стороны.

 

В первой строке выходного файла должно быть минимальное число столбов, которые надо выкопать. Далее должны следовать номера этих столбов. Столбы нумеруются в том порядке, как они указаны во входном файле, начиная с 1.

 

Если решений несколько, то вы можете вывести любое. Если решения нет, то выведите в выходной файл одну строку, содержащую число -1.
 

Ввод	Вывод
3 2 2 6 3 4 5	1 2
3 2 1 6 4 3 5	0
3 5 1 7 5 3 4	3 2 1 3

Недавно на лесопилку, где работает Вася, поступил новый заказ. Для постройки нового дома мэру соседнего города требуется a досок длины x футов и b досок длины y футов.

 

Поскольку на лесопилке имеется только неограниченный запас досок длины z футов, Васе поручили исполнить заказ клиента, распилив имеющиеся доски на меньшие. Вася хочет закончить работу как можно быстрее, поэтому он хочет выполнить заказ, сделав как можно меньше распилов. При этом количество использованных досок длины z роли не играет, кроме того, часть досок, образовавшихся в результате распила, может не требоваться для заказа и остаться на лесопилке.

 

Например, если на лесопилке имеются доски длины 80, а клиенту требуется две доски длины 30 и семь досок длины 20, то достаточно сделать семь распилов: одну доску распилить двумя распилами на доски длины 20, 30 и 30, одну тремя распилами на четыре доски длины 20 и одну двумя распилами на доски длины 20, 20 и 40. Доска длины 40 клиенту не нужна, она останется на лесопилке, остальные доски будут отправлены клиенту.

 

На вход программы поступают числа a, x, b, y и z. Все числа положительны и не превышают 300, x<=z, y<=z, x!=y.

 

Выведите  минимальное количество распилов, которые требуется сделать для того, чтобы выполнить заказ.
 

Ввод	Вывод
2 30 7 20 80	7

 

На столе лежат N камней. За ход игрок может взять:

- 1 или 2 камня, если N делится на 3;

- 1 или 3, если N при делении на 3 дает остаток один;

- 1, 2 или 3, если N при делении на 3 дает остаток два.

Каждый ход можно сделать при наличии достаточного количества камней. Проигрывает тот, кто хода сделать не может.

 

Входные данные: вводится целое число \(0 < N <= 100\).

 

Выходные данные: выведите 1 или 2 – номер игрока, который выиграет при правильной игре.

Группа юных археологов работает на раскопках здания древней библиотеки. Летом

они обнаружили остатки старой книги и, изучив их, сделали следующие выводы.

Книга содержит несколько страниц, каждая страница содержит либо текст, либо

иллюстрацию. Первые k страниц книги точно содержат иллюстрации. Все страницы книги

пронумерованы, но номер страницы написан только на страницах, содержащих текст. Сумма

номеров страниц с текстом равна s.

К сожалению, ни общее количество страниц в книге, ни количество иллюстраций

установить не удалось. Тем не менее, юных археологов заинтересовал вопрос, какое

минимальное количество иллюстраций могло быть в книге.

Например, если k = 1, а s = 8, то страницы книги могли иметь следующее содержание

(буквой «Т» обозначена страница, содержащая текст, а буквой «И» — страница, содержащая

иллюстрацию):

- И Т И И И Т, пронумерованы страницы 2 и 6, 4 иллюстрации;

- И И Т И Т, пронумерованы страницы 3 и 5, 3 иллюстрации;

- И И И И И И И Т, пронумерована страница 8, 7 иллюстраций.

Минимальное количество иллюстраций равно 3.

Требуется написать программу, которая по заданным целым числам k и s определяет

минимальное количество иллюстраций, которое могло быть в книге.

Формат входных данных

Первая строка входных данных содержит целое число k (0 ≤ k ≤ 10⁹).

Вторая строка входных данных содержит целое число s (k + 1 ≤ s ≤ 10¹²).

Формат выходных данных

Требуется вывести одно целое число — минимальное количество иллюстраций в

книге.

Ввод	Вывод
1 8	3

 

В ряд выписаны натуральные числа от 1 до n и задано натуральное число k.

Выполняется один или несколько шагов по удалению чисел в этом ряду. На

очередном шаге оставшиеся числа просматриваются в возрастающем порядке, и каждое k-е число удаляется. Если после очередного шага осталось меньше k чисел, то процесс удаления чисел завершается.

Необходимо определить, на каком шаге будет удалено число n, или выяснить, что оно не будет удалено до завершения процесса.

Например, пусть n = 13, k = 2.

- На первом шаге будут удалены числа 2, 4, 6, 8, 10 и 12, останутся числа 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

- На втором шаге будут удалены числа 3, 7 и 11, останутся числа 1, 5, 9 и 13.

- На третьем шаге будут удалены числа 5 и 13, останутся числа 1 и 9.

- На четвертом шаге будет удалено число 9, останется число 1. Поскольку осталось одно число, процесс завершается.

Таким образом, число 13 будет удалено на третьем шаге.

Требуется написать программу, которая по заданным числам n и k определяет, на каком шаге будет удалено число n.

Первая строка входных данных содержит целое число n (3 ≤ n ≤ 10¹⁸).

Вторая строка входных данных содержит целое число k (2 ≤ k ≤ 100, k < n).

Требуется вывести одно целое число — номер шага, на котором будет удалено число n, или число 0, если число n не будет удалено.
 

Ввод	Вывод
13 2	3

 

В современном многоэтажном офисе крупной компании установлен новый лифт. В

компании работает n сотрудников. Для проверки эффективности системы управления

лифтом требуется провести моделирование его работы в конце рабочего дня, когда все

сотрудники должны покинуть здание и спуститься на первый этаж.

В здании m этажей, пронумерованных от 1 до m снизу-вверх. Известно, что i-й

сотрудник подходит к лифту в секунду ti на этаже ai, чтобы спуститься на первый этаж.

На каждом этаже могут находиться люди, ожидающие лифт. Когда очередной

сотрудник подходит к лифту, он вызывает лифт, если на этом этаже лифт еще не вызван,

либо присоединяется к ожидающим лифт. Таким образом, помимо вызвавшего лифт, вместе

с ним лифт могут ожидать и другие сотрудники.

В каждый момент времени не более одного вызова является активным.

Изначально лифт свободен и находится на первом этаже. Когда поступает первый

вызов, этот вызов становится активным и лифт отправляется на соответствующий этаж. Если

несколько вызовов поступает одновременно, активным становится вызов от сотрудника с

меньшим номером.

Лифт перемещается между этажами со скоростью один этаж в секунду. Когда лифт

оказывается на этаже, откуда был сделан активный вызов, в него заходят все, кто уже

ожидает лифт на этом этаже, и лифт отправляется вниз на первый этаж, со скоростью один

этаж в секунду.

При движении вниз лифт останавливается на тех этажах, в которых был сделан вызов

на момент проезда лифта мимо этого этажа. Все ожидающие лифт сотрудники заходят в него

и вызов на этом этаже сбрасывается. Когда лифт завершает движение на первом этаже, все

люди выходят из лифта, а лифт ожидает следующего вызова.

Если в момент, когда лифт освободился, есть хотя бы один необслуженный вызов,

активируется вызов, который поступил раньше других. Если несколько вызовов поступило

одновременно, активируется вызов от сотрудника с меньшим номером. Лифт продолжает

обслуживание описанным образом, пока все n сотрудников не окажутся на первом этаже.

Будем считать, что люди входят и выходят из лифта мгновенно. Каждую секунду

сначала люди подходят и вызывают лифт, а затем выполняются соответствующие действия

(лифт перемещается на соседний этаж, в него входят или из него выходят люди, принимается

решение, на какой вызов лифт должен отреагировать).

Требуется написать программу, которая по описанию вызовов лифта для каждого

сотрудника определяет, в какой момент этот сотрудник окажется на первом этаже.

Формат входных данных

Первая строка входных данных содержит целые числа n и m — количество людей,

вызывающих лифт, и количество этажей в здании (1 ≤ n ≤ 10⁵, 2 ≤ m ≤ 10⁹).

Следующие n строк описывают сотрудников, i-я из этих строк содержит два целых

числа ti и ai — секунду, в которую i-й сотрудник подходит к лифту, и номер этажа, на

котором это происходит (1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ … ≤ tn ≤ 10⁹, 2 ≤ ai ≤ m)

 

Выходные данные должны содержать n целых чисел, для каждого сотрудника

требуется вывести секунду, в которую он выйдет из лифта на первом этаже.
 

Ввод	Вывод
5 4 2 3 2 4 5 2 5 3 9 3	6 12 6 12 12

 

Пример работы лифта по шагам показан в следующей таблице. 


Использованные в пояснении к примеру обозначения

В лаборатории теории чисел одного университета изучают связь между

распределением квадратов и кубов натуральных чисел.

Пусть задано целое неотрицательное число k. Рассмотрим множество натуральных

чисел от a до b, включительно. Будем называть k-плотностью этого множества количество

пар натуральных чисел x и y, таких, что a ≤ x² ≤ b, a ≤ y³ ≤ b, причем |x²– y³| ≤ k.

Например, 2-плотность множества натуральных чисел от 1 до 30 равна 3, так как

подходят следующие пары:

Требуется написать программу, которая по заданным натуральным числам a и b, а

также целому неотрицательному числу k, определяет k-плотность множества натуральных

чисел от a до b, включительно.

Входные данные содержат три строки. Первая строка содержит натуральное число a,

вторая строка содержит натуральное число b, третья строка содержит целое неотрицательное

число k (1 ≤ a ≤ b ≤ 10¹⁸, 0 ≤ k ≤ 10¹⁸).

Выходные данные должны содержать одно целое число: искомую k-плотность

множества натуральных чисел от a до b, включительно.

 

Ввод	Вывод
1 30 2	3

Дед Мороз очень любит раздавать «подарочки» и если он долго их не раздаёт, то начинает грустить и поедать печеньки (не факт, что печеньки не олени). И он начинает толстеть, но когда он дарит хотя бы один подарочек, то возвращается к начальному весу (Т-Т ©Маша). На какой максимальный вес потолстеет Дед Мороз, если на одном отрезке он дарит по 1 подарку на каждый целый индекс, а всего он обойдёт m домов. Даны n отрезков пути для Деда Мороза на его траектории раздачи подарочков и сами отрезки. Также дано количество домов, которое он обойдёт.

Изначальный вес Деда Мороза 227 ± 1 кг.

Ввод	Вывод
3 12 2 6 3 9 3 4	3

Вася загадал число от 1 до N. За какое наименьшее количество вопросов (на которые Вася отвечает "да" или "нет") Петя может угадать Васино число?

 

Вводится одно число N

 

Выведите наименьшее количество вопросов, которого гарантированно хватит Пете, чтобы угадать Васино число.
 

Ввод	Вывод
5	3

Рабочий день закончился, и сотрудники бизнес-центра собрались по домам. Бизнесцентр представляет собой N-этажное здание, этажи пронумерованы от 1 до N снизу вверх. Все сотрудники хотят спуститься на парковку, которая расположена в подвальном помещении на один этаж ниже первого. Бизнес-центр оборудован лифтом, который может перевозить не более K человек одновременно. Лифт перемещается вверх или вниз на один этаж за одну секунду, посадка и высадка пассажиров происходят мгновенно. Изначально лифт расположен на уровне парковки. Известно, сколько людей хотят спуститься на парковку с каждого

из N этажей. Определите, какое минимальное время потребуется, чтобы перевезти на парковку всех сотрудников бизнес-центра.
 

Первая строка входных данных содержит наибольшее возможное число людей в лифте K, 1 ≤ K ≤ 10⁹

Вторая строка содержит число этажей в бизнес-центре N, 1 ≤ N ≤ 10⁵

 

Следующие N строк содержат целые неотрицательные числа – число людей, ожидающих лифт на 1, 2, … , N-м этаже соответственно, эти числа не превосходят 10⁹  каждое. В здании находится хотя бы один человек. 

Программа должна вывести ровно одно целое число – наименьшее время в секундах, за которое всех людей можно перевезти на парковку.

Ввод	Вывод	Примечание
2 3 3 0 1	8	Лифт перевозит 2 человек, в здании 3 этажа. Лифт поднимается на первый этаж за 1 с, забирает 2 человек и за 1 с спускается на парковку, затем лифт поднимается на первый этаж, забирает 1 человека, вместе с ним поднимается на третий этаж, забирает 1 человека и спускается на парковку. Подъём на третий этаж занимает 3 с, спуск – ещё 3 с.

В зале ожидания на вокзале стоят N рядов из M кресел. Чтобы ожидающие не скучали, вместо некоторых кресел установлено K мощных Wi-Fi роутеров. Ожидающие стараются занять места ближе к роутерам, так как тогда они смогут смотреть ролики с Youtube или VK с более высоким разрешением, без задержек. Если пассажир сидит на месте с номером c в ряде r, а i-й роутер расположен на месте C_i в ряде R_i, то расстояние до i-го роутера вычисляется как max(|r−R_i|,|c−C_i|), где |x| – абсолютное значение x. Креслам в зале ожидания был присвоен приоритет от 1 до N⋅M−K, меньшие номера получили кресла с меньшим расстоянием до ближайшего роутера, среди кресел с одинаковым расстоянием до роутеров более удобными считаются кресла, стоящие в ряду с меньшим номером, а среди них — с меньшим номером места в ряду. На рисунке показан приоритет кресел в зале ожидания с 4 рядами из 7 кресел, в котором установлены 2 роутера (их позиции помечены черным цветом). Темно-серым цветом выделены кресла, стоящие на расстоянии 1 от роутеров, светло-серым — на расстоянии 2, белым — 3.
 

Напишите программу, которая вычисляет расстояние до ближайшего роутера от кресла с некоторым заданным приоритетом.

Первая строка ввода содержит четыре целых чисел — количество рядов N (2 ≤ N ≤ 10⁹) и мест в ряду M (2 ≤ M ≤ 10⁹), количество роутеров K (1 ≤ K ≤ 100, K < N⋅M), количество запросов Q (1 ≤ Q ≤ 100). Далее следует K строк, содержащих два целых числа — местонахождение роутеров: номер ряда Ri (1 ≤ R_i ≤ N) и номер места в ряду C_i (1 ≤ С_i ≤ M). Среди них нет совпадающих. Далее следует строка, содержащая Q целых чисел в диапазоне от 1 до N⋅M−K – приоритеты кресел.

Вывести для каждого запроса на отдельной строке одно целое число — расстояние до ближайшего роутера от кресла с заданным приоритетом.
 

Ввод	Вывод
4 7 2 4 2 5 4 4 1 6 16 26	1 1 2 3

Дробь \({m \over n}\) называется правильной несократимой, если \(0 < m < n\) и \(НОД (m, n) = 1\). Найдите количество правильных несократимых дробей со знаменателем n.

 

Входные данные 
В первой строке задается число знаменателей для которых надо найти количество правильных несократимых дробей N (\(N <=100\)). Каждая последующая строка число n (\(n < 10^9\)). 
 

Выходные данные 
Для каждого n в отдельной строке вывести ответ на поставленную задачу.

В небоскребе n этажей. Известно, что если уронить стеклянный шарик с этажа номер p, и шарик разобьется, то если уронить шарик с этажа номер p+1, то он тоже разобьется. Также известно, что при броске с последнего этажа шарик всегда разбивается.

 

Вы хотите определить минимальный номер этажа, при падении с которого шарик разбивается. Для проведения экспериментов у вас есть два шарика. Вы можете разбить их все, но в результате вы должны абсолютно точно определить этот номер.

 

Определите, какого числа бросков достаточно, чтобы заведомо решить эту задачу.

 

Программа получает на вход количество этажей в небоскребе n.

 

Требуется вывести наименьшее число бросков, при котором можно всегда решить задачу.

 

Комментарий к первому примеру. Нужно бросить шарик со 2-го этажа. Если он разобьется, то бросим второй шарик с 1-го этажа, а если не разобьется - то бросим шарик с 3-го этажа.

 

1. Как следует действовать, если шарик был бы только один?

2. Пусть шариков два и мы бросили один шарик с этажа номер k. Как мы будем действовать в зависимости от того, разобьется ли шарик или нет?

3. Пусть f(n) - это минимальное число бросков, за которое можно определить искомый этаж, если бы в небоскребе было n этажей. Выразите f(n) через значения f(a) для меньших значений a.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4	2
2	7	3