Алгоритмы

Фермер Джон нанимает нового вожака стада для своих коров. Для этого он интервьюирует \(N\) (\(2 \leq N \leq 10^5\)) коров на эту позицию. После интервью \(i\)-го кандидата он назначает целое число "уровень компетенции" \(c_i\) от \(1\) дo \(C\) включительно (\(1 \leq C \leq 10^9\)).

Поскольку ФД интервьюировал много коров, он не помнит все \(c_i\). Однако он помнит \(Q\) (\(1 \leq Q < N\)) пар чисел \((a_j, h_j)\) где корова \(h_j\) компетенция которой была строго больше, чем уровень компетенции коров от \(1\) до \(a_j\) (\(1 \leq a_j < h_j \leq N\)).

ФД говорит Вам последовательность \(c_1, \dots, c_N\) (где \(c_i = 0\) означает, что он забыл уровень компетенции коровы \(i\), и \(Q\) пар \((a_j, h_j)\). Помогите ему определить лексикографически минимальную последовательность уровней компетенции, соответствующую этой информации или указать, что такой последовательности не существует. Последовательность чисел называется лексикографически меньше другой последовательности если в ней меньшее число не первой позиции, где эти последовательности различаются.

Каждый ввод содержит \(T\) \((1 \leq T \leq 20)\) независимых подтестов. Гарантируется, что сумма \(N\) по всем подтестам не превысит \(3 \cdot 10^5\).

Беси сортирует массив целых чисел собственным алгоритмом. У неё есть куча из \(N\) \((1 \leq N \leq 2\cdot 10^5)\) целых чисел \(a_1,a_2,\dots,a_N\) \((1 \leq a_i \leq 10^{11})\), которые она хочет перенести в другой массив в отсортированном порядке. Она постоянно ищет минимальный элемент в куче, удаляет его и добавляет в конец массива. Беси требуется \(p\) секунд, чтобы найти минимальный элемент в куче из \(p\) целых чисел.

ФД выделил Беси в помощь неограниченное количество коров. Беси использует их следующим образом. Она разделила все свои целые числа на две кучи: куча Беси и куча Помощниц. Для каждого числа в своей куче она выполняет алгоритм как обычно. Для каждого целого числа в куче Помощниц Беси назначает его отдельной корове. И предлагает ей поступать так. Когда корова помощница получает число \(a_i\), она должна подождать \(a_i\) секунд и затем добавить это число в конец массива. Если Беси и корова-помощница добавляют число в одно и то же время, то сначала добавляется число Беси. Если нескольким коровам-помощницам было дано одно и то же число, они добавляют копии этого числа в одно и то же время.

Помогите Беси поделить её числа так, чтобы финальный массив был отсортирован, а время сортировки было минимально.

У Фермера Джона важная задача - решить какой тип сена купить для своих коров.

У Фермера Джона есть \(N\) коров (\(2 \le N \le 10^5\)) пронумерованных от \(1\) до \(N\). Каждая корова любит ровно один тип сена \(h_i\) (\(1 \le h_i \le N\)). ФД хочет, чтобы все его коровы любили один тип сена.

Чтобы это случилось, ФД может сформировать фокус-группы. Фокус-группа состоит из всех коров в непрерывном интервале от \(i\) до \(j\), включительно. Если в фокус-группе более половины коров любит один и тот же некоторый тип сена, то все коровы начинают любить этот тип сена, иначе ни у одной коровы не изменяется любимый тип сена. Например, если фокус группа состоит из 16 коров, 9 или более из которых любят один и тот же тип сена, то и остальные 7 коров теперь будут любить этот же тип сена.

ФД хочет узнать, какие типы сена могут стать любимыми всем коровами. В один момент времени он может создать только одну фокус группу, но он может последовательно создавать сколько угодно фокус-групп, чтобы все коровы полюбили один и тот же тип сена.

Штамп-живопись это раскрашивание чёрным и белым цветом холста размером \(N \times N\) ячеек, где определённые ячейки закрашиваются, а другие - нет. Этот холст может быть представлен массивом символов \(N\times N\) (\(1\le N\le 20\)). The \(i\)-ый вход \(j\)-ой колонки массива равен символу '*', если холст содержит чернила в этой ячейке и символ '.' в противном случае.

У Беси есть план рисунка, а Фермер Джон дал ей штамп размером \(K\times K\) (\(1\le K\le N\)) который она может использовать для закраски холста размером \(N \times N\). Беси может поворачивать штамп на \(90^{\circ}\) по часовой стрелке и применять его для закраски холста в любом месте, если штамп помещается целиком на холсте. Формально, Беси выбирает такие целые числа \(i,j\), что \(i \in [1,N-K+1]\) и \(j \in [1, N-K+1]\); и затем для каждого \((i',j')\) такого, что \(1 \le i', j' \le K\), ячейка холста \((i+i'-1, j+j'-1)\) закрашивается в чёрный цвет, если в штампе было чернило в позиции \((i', j')\). Беси может поворачивать свой штамп в любой момент между закрашиваниями. Если ячейку закрасили она остаётся закрашенной навсегда.

ФД интересно может ли Беси создать свой рисунок, используя его штамп. Для каждого из \(T\) (\(1 \le T \le 100\)) подтестов помогите ФД получить ответ.

Фермер Джон вырастил \(N\) (\(1 \leq N \leq 2\cdot 10^5\)) аспарагусов на своей ферме. Однако некоторые из этих растений имеют генетические отличия, поэтому некоторые растения растут быстрее чем другие. Изначальная высота \(i\)-го растения равна \(h_i\) дюймов и после каждого дня \(i\)-ое растение вырастает на \(a_i\) дюймов.

ФД любит некоторые растения больше чем другие, и он хочет, чтобы некоторые растения были выше чем другие. Он дал Вам массив различных целых чисел \(t_1,\dots,t_N\), содержащих все целые числа от \(0\) до \(N-1\) и хочет, чтобы \(i\)-ое растение имело ровно \(t_i\) растений, которые выше этого. Определите минимальное количество дней, чтобы требование ФД было удовлетворено или укажите, что это невозможно.

Заметим, что тесты этой задачи могут потребовать использования 64-битного целого типа (например, "long long" в C/C++).

Фермер Джон выстроил в ряд свои \(N\) коров (\(1 \leq N \leq 3\cdot 10^5\)). К несчастью, стала распространяться болезнь.

Изначально некоторые коровы инфицированы. Каждую ночь инфицированная корова распространяет болезнь на коров соседних слева и справа, если они есть. Однажды инфицированная корова остаётся инфицированной.

После некоторого количества ночей ФД понял, что ситуация выходит из-под контроля поэтому он проверил своих коров, чтобы определить больных коров. Определите минимальное количество коров, которые могли быть больными в самом начале.

Коровы Фермера Джона любят конфетные трости. У ФД \(N\) коров с определённой начальной высотой. Он хочет скормить им \(M\) конфетных тростей, различной высоты (\(1\le N,M\le 2\cdot 10^5\)).

ФД планирует кормить коров конфетными тростями одну за одной в порядке, в котором они заданы на вводе. Чтобы кормить коров ФД вывешивает конфетные трости так, чтобы изначально они касались земли. Коровы выстраиваются одна за одной в порядке, как они заданы на входе. Каждая ест до своей высоты (потому что выше не достаёт). Трость остаётся на месте где она изначально была подвешена и не опускается к земле, даже после того как её нижняя часть съедена. Возможно, что когда подойдёт очередь некоторой коровы она ничего не сможет съест, если нижняя часть трости уже выше высоты этой коровы. После того как пройдёт очередь всех коров, они подрастают на высоту равную количеству единиц трости, которую съела корова, а ФД вывешивает новую конфетную трость и коровы повторяют процесс опять (корова 1 всегда начинает есть первой).

Каждая вершина \(i\) в этом дереве ассоциируется с породой, имеющей целое число пятен \(s_i\). Дисбалансом такого дерева называется максимум \(|s_i-s_j|\) по всем парам \((i,j)\) таким, что \(j\) есть предок \(i\).

Фермер Джон не знает точное значение \(s_i\) для каждой породы, но он знает нижнюю и верхнюю границу этих величин. Ваша задача - назначить значения \(s_i \in [l_i,r_i]\) (\(0\le l_i\le r_i\le 10^9\)) каждой вершине так, чтобы минимизировать дисбаланс этого дерева.

К несчастью, возможна ситуация противоречивости ответов всех коров. Это означает, что не все коровы говорили правду. Вычислите минимальное количество коров, которые солгали.

ФД попросил Эльзу записывать количество раз, когда Беси засыпала на каждом занятии. Всего было \(N\) занятий (\(2\le N\le 10^5\)), и Эльза зафиксировала \(a_i\) (\(1\le a_i\le 10^{18}\)) засыпаний на \(i\)-ом занятии. Общее количество засыпаний на всех занятиях не превышает \(10^{18}\).

Эльза хочет представить дело так, что Беси засыпала одинаковое количество раз на каждом занятии.

Единственный способ Эльзы модифицировать свои записи - объединить два соседних занятия или разъединить одно занятие на два. Например, если \(a=[1,2,3,4,5],\) тогда если Эльза объединит второе и третье занятие, то лог станет \([1,5,4,5]\) Если Эльза выберет разделить третье занятие на два, то лог может стать одним из \([1,5,0,4,5]\), \([1,5,1,3,5]\), \([1,5,2,2,5]\), \([1,5,3,1,5]\), or \([1,5,4,0,5]\).

По заданным \(Q\) (\(1\le Q\le 10^5\)) кандидатам \(q_1,\ldots,q_Q\) для наименее любимых Беси чисел (\(1\le q_i\le 10^{18}\)), для каждого из них помогите Эльзе вычислить минимальное количество модификаций лога, чтобы все числа в нём стали одинаковыми.

ФД собирается делать так. Он выбирает положительное целое число \(X\). А затем повторяет следующую процедуру каждый день:

1. Предположим, что ФД уже отдал Беси \(G\) галлонов молока, он вычисляет \(\frac{N-G}{X}\) с округлением вверх. Назовём это число \(Y\).
2. Если \(Y\) меньше чем \(M\), то устанавливает \(Y\) равным \(M\).
3. Даёт Беси \(Y\) галлонов молока.

Определите максимальное \(X\) такое, что если ФД будет следовать этой процедуре, то ФД отдаст Беси не менее \(N\) галлонов молока после \(K\) дней (\(1\le K\le 10^{12}\)).

У Беси есть сеть ловить змеек, распределённых в \(N\) групп на линии \((1 \leq N \leq 400)\). Беси должна поймать каждую змейку в каждой группе. Каждый раз, когда Беси ловит группу она может переложить змеек в клетку и начать пустой сеткой ловить следующую группу.

Сеть размером \(s\) означает, что Беси может поймать любую группу, которая содержит \(g\) змеек, где \(g \leq s\). Однако каждый раз, когда Беси ловит группу змеек размером \(g\) сетью размером \(s\), она тратит впустую \(s - g\) пространства. Беси может начинать с сети любого размера и Беси может изменять размер своей сети \(K\) раз \((1 \leq K < N)\).

Выведите минимальное количество потерянного пространства, которого может добиться Беси после вылавливания всех групп змеек.

В настоящий момент коровы выстроились в линию в порядке \(p_1, p_2, p_3, \dots, p_N\), и ФД стоит перед коровой \(p_1\). Он хочет переупорядочить коров так, чтобы они стали в порядке \(1, 2, 3, \dots, N\), с коровой \(1\) перед ФД.

Фермера Джона слышит только корова, которая стоит перед ним. В этот момент ФД может сказать ей перейти на \(k\) позиций назад (\(k\) в интервале \(1 \ldots N-1\).). \(k\) коров, которых она проходит, двигаются вперёд, освобождая место для неё, в которое она и становится.

Например, пусть \(N=4\) и коровы стоят в таком порядке

 ФД: 4, 3, 2, 1 

Единственная корова, которая слышит ФД, это корова \(4\). Если он скажет ей сдвинуться на 2 позиции, порядок станет таким:

 ФД: 3, 2, 4, 1 

Теперь ФД слышит только корова \(3\). Теперь ей можно давать инструкцию и т.д.

Определите последовательность инструкций (с минимальным их количеством), которые должен дать ФД, чтобы отсортировать всех коров.

Главное поле фермы представлено прямой, на которой каждая корова занимает некоторое положение в целочисленной координате. Изначально все \(N\) коров находятся в различных позициях. ФД хочет, чтобы они заняли соседние позиции (например 3,4,5,6,7,8).

В любой момент времени ФД может давать команду только одной из двух "крайних" коров (находящейся или в минимальной или в максимальной позиции среди всех коров). Когда ФД перемещает корову, он говорит ей перейти на любую незанятую позицию, так чтобы эта корова перестала быть крайней. Такие перемещения "сближают" коров вплоть до нужного результата.

Определите минимальное и максимальное количество таких перемещений, чтобы коровы заняли \(N\) последовательных позиций.

Главное поле фермы можно представить в виде числовой прямой, и каждая корова находится в целочисленной координате. Все три координаты различны. ФД хочет переместить их так, чтобы они заняли последовательные координаты (например, 6,7,8).

В любой момент времени ФД может заставить корову двигаться только, если она находится в "конечной" точке (минимальной или максимальной позиции среди всех коров). Когда он перемещает корову, он говорит ей двигаться на любую незанятую целую позицию, так чтобы она перестала быть в конечной точке. С течением времени такие передвижения обеспечивают сближение коров.

Определите минимальное и максимальное количество перемещений, которое возможно сделать прежде чем коровы расположатся в трёх последовательных позициях.