Алгоритмы на графах

Даны несколько точек на плоскости, некоторые из которых соединены отрезками. Множество точек называется связанным, если из любой его точки можно перейти в любую точку, перемещаясь только по отрезкам (переходить с отрезка на отрезок возможно только в точках исходного множества). Можно за определенную плату добавлять новые отрезки (стоимость добавления равна длине добавляемого отрезка). Требуется за минимальную стоимость сделать данное множество связанным.

Входные данные
В первой строке входных данных содержится одно целое число N
 (1 ≤ N ≤ 50) – количество точек. Далее в N строках записано по 2 натуральных числа – координаты точек (координаты не превышают 100). Все точки различны. Далее дано число M – количество уже существующих отрезков. В следующих M строках записаны по 2 числа – номера начала и конца соответствующего отрезка.

Выходные данные
Вывести единственное число – минимально возможную стоимость дополнения с точностью 5 знаков после запятой.

Дан неориентированный граф без кратных ребер и петель. В нем уже содержится некоторое (возможно, нулевое) количество ребер. Можно за определенную плату добавлять в него новые ребра (плата своя для каждого ребра). Требуется за наименьшую плату сделать граф связным.

Входные данные
В первой строке входных данных содержится одно целое число N (1 ≤ N ≤ 50) – количество вершин в исходном графе. Далее в N строках записано по N положительных целых чисел в каждой ( j -е число в i -й строке соответствует стоимости добавления ребра, соединяющего вершины i и j ), числа не превышают 100. В следующих N строках записаны по N чисел, каждое из которых является единицей или нулем (1, если вершины соединены, и 0, если не соединены). Обе матрицы симметричны.

Выходные данные
Вывести единственное число – минимально возможную стоимость дополнения данного графа до связного.

На полигоне, на котором проводятся военные учения сухопутных войск Флатландии, вырыты n окопов. Каждый окоп вырыт вдоль границы прямоугольника со сторонами, параллельными направлениям север–юг и запад–восток. При этом окопы могут иметь общие точки, но никакие два окопа не имеют общего участка ненулевой длины.

Очередные учения должны продемонстрировать способность солдат быстро и незаметно перемещаться из точки A в точку B.

Во время учений солдаты могут перемещаться либо по окопам, либо по траншеям, которые они могут прокапывать между окопами. При этом по окопам и выкопанным траншеям солдат может бегать настолько быстро, что временем перемещения от одной точки до другой можно пренебречь (будем считать его равным нулю). Траншеи же солдат копает со скоростью 1 метр в час.

Заданы точки A и B. Требуется определить, за какое минимальное время солдат во время учений сможет переместиться из А в B. Шириной траншей и окопов можно пренебречь.

Формат входных данных

Первая строка содержит число n — количество окопов на полигоне (1 ≤ n ≤ 500). Введем систему координат на полигоне таким образом, чтобы ось OX была ориентирована с запада на восток, а ось OY — с юга на север. Следующие n строк описывают окопы, каждый окоп описывается четырьмя целыми числами x₁, y₁, x₂, y₂ — координатами юго-западного и северо-восточного углов, соответственно (–10⁴ ≤ x₁ < x₁ ≤ 10⁴, –10⁴ ≤ y₁ < y₂ ≤ 10⁴).

Последние две строки содержат по два целых числа: x_A, y_A — координаты точки A и x_B, y_B — координаты точки B, соответственно (–10⁴ ≤ x_A, y_A, x_B, y_B ≤ 10⁴). Гарантируется, что точки A и B находятся в окопах. Все координаты заданы в метрах.

Формат выходных данных

Выведите одно вещественное число — количество часов, которое потребуется солдату, чтобы добраться из точки A до точки B. Ответ должен отличаться от правильного не более чем на 10^-6.

Рассмотрим таблицу, состоящую из N строк и M столбцов. Если в каждой ячейке такой таблицы стоит целое число, назовем такую таблицу целочисленной матрицей. Скажем, что эта матрица кратна чиcлу p, если все числа в ее ячейках кратны p.

Рассмотрим теперь суммы элементов матрицы по строкам и столбцам соответственно. Обозначим сумму чисел i-й строки за Hi, а сумму чисел j-го столбца за Vj. Упорядоченный набор чисел (H₁, H₂, …, H_N, V₁, V₂, …, V_M) назовем профилем матрицы. Скажем, что матрица почти кратна p, если все числа, входящие в ее профиль, кратны p. Почти кратная 5 матрица и ее профиль изображены на рисунке 1.


Если две матрицы A и B имеют одинаковый размер, причем элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j
-го столбца в матрице A отличается от соответствующего элемента матрицы B не более чем на p, скажем, что A отличается от B не более чем на p. Скажем, что матрица B похожа на матрицу A относительно числа p, если

1. отличается от не более чем на p
2. профили B и A совпадают.

На рисунке 2 изображены две похожие относительно числа 5 матрицы, первая из них почти кратна 5, а вторая кратна 5. Третья матрица на рисунке 2 тоже кратна 5, но непохожа на первую (хотя похожа на вторую).

Дано число p и почти кратная p матрица A. Ваша задача - найти такую матрицу B, чтобы она была кратна p и похожа на A относительно p.

Входные данные
В первой строке входных данных задаются целые числа p (1 <= p <= 10), N и M (1 <= N, M <= 30). Следующие N строк содержат по M целых неотрицательных чисел, не превышающих 1000, которые являются элементами исходной матрицы A.

Выходные данные
Выведите матрицу B по строкам - сначала M элементов первой строки, затем M элементов второй, и т. д. Разделяйте числа пробелами и/или переводами строк. Заботиться о красивом форматировании таблицы не надо. Если искомой матрицы не существует, выведите единственное число - "-1". Если решений несколько, выведите любое из них.

Андрюше на день рождения подарили хомячка. Пока Андрюша не купил для него клетку, он решил сделать ему клетку из подручных средств. Для изготовления клетки он решил использовать набор кубиков, подаренный ему на прошлый день рождения. Однако, неожиданно выяснилось, что сестра Андрюши склеила кубики суперклеем, и отделить их друг от друга не представляется возможным.

Все кубики оказались склеены в две фигуры. Любые два кубика в каждой из фигур либо не имеют общих точек, либо имеют общую грань, либо имеют общее ребро, но в последнем случае есть кубик, с которым каждый из них имеет общую грань. Каждую фигуру можно положить на стол так, что каждый кубик будет касаться стола одной из своих граней.

Теперь Андрюша хочет положить эти две фигуры на стол так, чтобы получилась клетка для хомячка. Фигуры должны быть положены таким образом, чтобы каждый кубик касался стола гранью. Стороны нижних граней кубиков должны быть параллельны сторонам стола. Любые два кубика, принадлежащие различным фигурам, должны либо не касаться друг друга, либо иметь общую грань, либо иметь общее ребро. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать.


Положив фигуры, Андрюша собирается выпустить хомячка на стол. Чтобы он не упал со стола, у него не должно быть возможности добраться от точки, в которую Андрюша его выпустит, до края стола. Хомячок не может перелезать через кубики, и, в частности, не может пролезть между двумя кубиками, имеющими общее ребро. Стол существенно больше каждой из фигур.

Андрюша хочет, чтобы площадь, по которой может бегать хомячок, была как можно больше. Помогите ему выяснить, какая максимальная площадь может быть у территории, до которой сможет добраться хомячок. Площадь грани кубика будем считать равной единице.

Например, две фигуры, показанные на рисунке выше, можно расположить как показано на следующем рисунке. Если выпустить хомячка в точку, отмеченную стрелкой, то доступная ему территория будет иметь площадь, равную четырем.

Входные данные
В первой строке вводятся два числа: h₁ и w₁ (1 <= h₁, w₁ <= 10). Следующие h₁
строк содержат по w₁ символов и описывают первую фигуру, вид сверху. Каждый из этих символов - либо "*" (звездочка), либо "." (точка), звездочка обозначает кубик, а точка – пустое место.

Далее в отдельной строке вводятся два числа: h₂ и w₂  (1 <= h₂,  w₂ <= 10). Следующие h₂ строк содержат по w₂ символов и описывают вторую фигуру в формате, аналогичном формату первой. Каждая из фигур связна и содержит хотя бы один кубик.

Выходные данные
Выведите одно число – максимальную площадь, которая может быть доступна хомячку. Если сделать клетку для хомячка невозможно, выведите 0.

Государство Флатландия представляет собой прямоугольник размером M × N, состоящий из единичных квадратиков. Флатландия разделена на K провинций (2 <= K <= 100). Каждая провинция представляет собой связное множество квадратиков, т.е. из каждой точки провинции можно дойти до любой другой ее точки, при этом разрешается переходить с квадратика на квадратик, только если они имеют общую сторону (общей вершины недостаточно). Во Флатландии нет точки, которая граничила бы более чем с тремя провинциями (т.е. четыре квадратика, имеющие общую вершину, не могут принадлежать четырем разным провинциям).

Каждая провинция имеет свой символ. Столица Флатландии находится в провинции, которой принадлежит символ A (заглавная латинская буква A). Провинция называется пограничной, если она содержит граничные квадратики. Провинция, в которой находится столица Флатландии, не является пограничной.

Король соседнего с Флатландией королевства Ректилания решил завоевать Флатландию. Для этого он хочет захватить столицу Флатландии. Однако он знает, что сил его армии недостаточно, чтобы сделать это сразу. Поэтому сначала он хочет окружить столичную провинцию, чтобы ослабить силы противника долгой блокадой, а потом захватить столицу.

Чтобы окружить провинцию, требуется захватить все провинции, с которыми она граничит. Две провинции граничат, если существует два квадратика, имеющие общую сторону, один из которых принадлежит первой из них, а другой - второй. Чтобы захватить провинцию, надо чтобы выполнялось одно из двух условий: либо она пограничная, либо граничит с какой-либо уже захваченной провинцией.

Чтобы сберечь силы своей армии, король Ректилании хочет установить блокаду столичной провинции, захватив как можно меньше провинций. Помогите ему выяснить, сколько провинций требуется захватить. Захватывать столичную провинцию нельзя, поскольку для этого сил армии Ректилании пока недостаточно.

Входные данные
В первой строке вводятся числа M и N (3 <= M, N <= 200). Следующие M строк содержат N символов каждая и задают карту Флатландии. Символ, находящийся в i + 1-й строке входных данных на j-м месте, представляет собой символ провинции, которой принадлежит квадратик (i, j). Все символы имеют ASCII-код больше 32 (пробела).

Выходные данные
Выведите единственное число - количество провинций, которые требуется захватить. Если установить блокаду невозможно, выведите "-1".

В точке (0, 0) координатной плоскости расположена лампочка, которая представляет собой точечный источник света. Неподалеку от лампочки находится дом Пети, который представляет собой выпуклый многоугольник с N вершинами. Сам Петя находится в точке с координатами (x, y).

Петя хочет увидеть свет. Для этого ему необходимо оказаться в такое точке, что отрезок, соединяющей ее с началом координат, не пересекается с домом Пети (но может его касаться, в частности, проходить вдоль стороны многоугольника дома).

Петя может перемещаться по плоскости со скоростью v. Разумеется, Петя не может проходить сквозь дом (хотя он может двигаться по его границе).

Выясните, какое минимальное время требуется Пете, чтобы оказаться в освещенной точке.


Входные данные
В первой строке вводятся координаты Пети – два неотрицательных вещественных числа, не превышающих 1000, и его скорость v – вещественное число, 10^-2≤ v≤ 10⁴.

Вторая строка содержит N – число вершин в многоугольнике, задающем Петин дом ( 3≤N≤100). Далее в N строках вводится по два вещественных числа – координаты вершин многоугольника в порядке их обхода против часовой стрелки. Все координаты неотрицательны и не превышают 1000.

Гарантируется, что входные данные корректны, в частности, многоугольник выпуклый, и никакие три его последовательные вершины не лежат на одной прямой. Также гарантируется, что и Петя, и лампочка находятся снаружи от многоугольника, в частности, не находятся на его границе. Расстояние от точки, где находится Петя, до многоугольника и от начала координат до многоугольника не меньше 10^-2, расстояние от Пети до начала координат не меньше 10^-2.

Выходные данные
Выведите минимальное время, за которое Петя сможет попасть в освещенную точку. Ваш ответ должен отличаться от правильного не более чем на 10^-4.

В столице одной Очень Демократической Страны все жители в 8 часов утра одновременно выходят со станций метро, ближайших к месту своей работы, и дальше добираются до работы на автобусах. Мэр города хочет построить еще одну станцию метро так, чтобы после этого время, к которому все люди доберутся до места своей работы (то есть время, когда последний работник окажется на работе), было наименьшим возможным.

Автобусное сообщение в столице устроено следующим образом. Есть N автобусных остановок, в частности, возле каждой станции метро расположено по остановке. Между N – 1 парой остановок постоянно курсируют автобусы, время движения от одной остановки до другой – 1 минута. Временем ожидания и пересадки можно пренебречь. Автобусное сообщение в столице организовано так, что от любой автобусной остановки до любой другой можно добраться на автобусах (возможно, с пересадками).

Входные данные
В первой строке входных данных содержатся два числа N и M – количество автобусных остановок и станций метро соответственно (2 ≤ N ≤ 50 000, 1 ≤ M ≤ 1 000, M < N).

Во второй строке задаются через пробел M чисел – номера автобусных остановок, рядом с которыми есть станции метро (каждая – не более одного раза).

В следующих N – 1 строках записано по два числа – номера автобусных остановок, между которыми курсирует автобус. (Автобус ходит в обоих направлениях. Каждый маршрут указан один раз.)

Выходные данные
Выведите два числа – сначала наибольшее время за которое кто-то будет и после строительства добираться на работу, а затем номер автобусной остановки, рядом с которой следует построить новую станцию метро. (Строить можно возле тех автобусных остановок, возле которых еще нет станций метро). Если решений несколько, выведите одно из них.
 

В ежегодном чемпионате Флатландии (которая, естественно, является плоским миром) по космическим гонкам "Формула-3" участвуют N космических скутеров, имеющие форму треугольников. До начала гонок скутеры занимают положение в стартовой зоне согласно результатам жеребьевки.


Скутеры стартуют строго по порядку. Каждый скутер,получив команду «старт», уезжает в положительном направлении оси Ox. Следующий скутер стартует лишь тогда, когда предыдущий покинет стартовую зону. Скутеры уезжают строго параллельно оси Ox, скутеры в стартовой зоне не поворачивают и не разворачиваются.

Естественно, что если в момент старта на пути скутера окажется другой скутер, то произойдет авария (даже если скутер заденет лишь угол другого скутера своим углом).

Для уменьшения опасности столкновения скутеров на старте строго соблюдается следующее правило: прямые, параллельные оси Ox и пересекающие какой-то скутер, должны в совокупности пересекать не более 100 других скутеров (прямая, проходящая через одну точку скутера также считается прямой, пересекающей скутер). Например, на приведенном рисунке прямые, параллельные Ox и пересекающие скутер 2, проходят через 2 других скутера (1 и 3), а прямые, проходящие через скутер 1, проходят только через один другой скутер (номер 2).

Главный Судья гонок хочет определить порядок, в котором должны стартовать скутеры, чтобы аварии не произошло. Например, в ситуации, приведенной на рисунке, сначала должен стартовать скутер номер 2 (если попытается стартовать скутер номер 1 или 3, то он столкнется со скутером номер 2). После этого скутеры 1 и 3 могут стартовать в любом порядке (они друг другу не мешают).

Помогите Главному Судье — напишите программу, которая определит какой-нибудь порядок старта скутеров, чтобы аварии не произошло.

Входные данные
В первой строке вводится натуральное число N( 1 ≤ N ≤ 30 000).

В каждой из следующих N строк содержится по 6 чисел: x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ – координаты трех вершин скутера на старте, целые числа, не превосходящие по модулю 10⁶. В начальный момент скутеры не задевают друг друга.

Выходные данные
Выведите через пробел N чисел – номера скутеров в том порядке, в котором они могут стартовать. Если решений несколько, выведите одно любое из них. Если решений нет, выведите одно число -1.

Примечание
Первый тест соответствует приведенному рисунку. Ответ 2 3 1 в этом тесте также является правильным
 

В Тридесятом государстве есть N фирм, занимающихся разработкой программного обеспечения. Однажды известный олигарх Тридесятого государства Иванушка решил монополизировать эту отрасль. Для этого он хочет купить максимальное число программистских фирм Тридесятого государства.

Он разослал предложения всем N компаниям и через некоторое время получил от каждой их них согласие или отказ. Однако он знает, что в бизнесе очень многое зависит от взаимного доверия партнеров.

В результате небольшого исследования Иванушка установил, между какими компаниями существует взаимное доверие (причем всегда если компания доверяет компании B, то компания B доверяет компании A).

Теперь, при желании, Иванушка может повторно разослать предложения всем компаниям, включив в письма список компаний, давших согласие участвовать в его проекте. При этом каждая компания, независимо от своего первоначального мнения дает согласие, если в списке есть хотя бы одна компания, которой она доверяет, и отказ в противном случае. Таким образом, некоторые компании, которые изначально не согласились участвовать в проекте, могут теперь дать свое согласие, а некоторые из давших согласие — наоборот отказаться. В результате этого у Иванушки формируется новый список, который он опять может разослать фирмам. Он может сколь угодно долго повторять операцию, каждый раз рассылая текущий список. Иванушка может остановить процесс в любой момент и заключить договора с теми, кто после последней рассылки дал согласие.

Напишите программу, которая определит, какое максимальное число компаний может объединить Иванушка под своим началом.

Будем считать, что Иванушка — честный предприниматель и он никогда не подтасовывает рассылаемые им списки.

Входные данные
В первой строке входных данных содержится число N — количество фирм (1≤N≤2000). Далее идут N чисел, описывающих ответ фирмы на первое предложение Иванушки (1 — согласие, 0 — отказ). Далее задается число M (0≤M≤200000) — количество пар компаний, между которыми существует доверие. Далее следуют M пар чисел, задающих номера фирм, между которыми существует взаимное доверие (числа в паре не могут быть одинаковыми). Любая пара компаний упоминается в этом списке не более одного раза.

Выходные данные
Выведите  одно число — максимальное число фирм, которое сможет купить Иванушка.

Напомним, что ориентированный граф называется транзитивным, если для любых трех различных вершин u, v и w из того, что из u в вершину v ведет ребро и из вершины v в вершину w ведет ребро, следует, что из вершины u в вершину w ведет ребро.

Проверьте, что заданный ориентированный граф является транзитивным.

Входные данные
Сначала вводится число n ( 1≤n≤100 ) – количество вершин в графе, а затем n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1, – его матрица смежности.

Выходные данные
Выведите  «YES», если граф является транзитивным, и «NO» в противном случае.

Напомним, что граф называется транзитивным, если всегда из того, что вершины u и v соединены ребром и вершины v и w соединены ребром следует, что вершины u и w соединены ребром.

Проверьте, что заданный неориентированный граф является транзитивным.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100 ) – количество вершин в графе и \(m (1 \leq m \leq n (n-1)/2)\)  – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите  «YES», если граф является транзитивным, и «NO» в противном случае.

Ориентированный граф называется турниром, если между любой парой его различных вершин существует ровно одно ребро. Для заданного списком ребер графа проверьте, является ли он турниром.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100 ) – количество вершин в графе и \(m ( 1 \leq m \leq n (n-1))\)  – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите  «YES», если граф является турниром, и «NO» в противном случае.

Ориентированный граф называется полуполным, если между любой парой его различных вершин есть хотя бы одно ребро. Для заданного списком ребер графа проверьте, является ли он полуполным.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100 ) – количество вершин в графе и \(m (1 \leq m \leq n (n-1))\)  – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите  «YES», если граф является полуполным, и «NO» в противном случае.

Неориентированный граф с кратными рёбрами называется полным, если любая пара его различных вершин соединена хотя бы одним ребром. Для заданного списком ребер графа проверьте, является ли он полным.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100 ) – количество вершин в графе и \(m ( 1 \leq m \leq n (n-1)/2)\)  – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите  «YES», если граф является полным, и «NO» в противном случае.

Неориентированный граф называется регулярным, если все его вершины имеют одинаковую степень. Для заданного списком ребер графа проверьте, является ли он регулярным.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100) – количество вершин в графе и \(m (0 \leq m \leq n (n - 1)/2)\)  – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите  «YES», если граф является регулярным, и «NO» в противном случае.

Напомним, что вершина ориентированного графа называется истоком, если в нее не входит ни одно ребро и стоком, если из нее не выходит ни одного ребра.

Ориентированный граф задан матрицей смежности. Найдите все вершины графа, которые являются истоками, и все его вершины, которые являются стоками.

Входные данные
Сначала вводится число n ( 1≤n≤100) – количество вершин в графе, а затем n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1, – его матрица смежности.

Выходные данные
Вначале выведите k – число истоков в графе и затем k чисел – номера вершин, которые являются истоками, в возрастающем порядке. Затем выведите информацию о стоках в том же порядке.

Ориентированный граф задан списком ребер. Найдите степени всех вершин графа.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100 ) –  количество вершин в графе и \(m (1 \leq m \leq n (n-1))\) – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите  n пар чисел – для каждой вершины сначала выведите полустепень захода и затем полустепень исхода.

Ориентированный граф задан матрицей смежности. Найдите полустепени захода и полустепени исхода всех вершин графа.

Входные данные
Сначала вводится число n ( 1≤n≤100) – количество вершин в графе, а затем n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1, – его матрица смежности.

Выходные данные
Выведите  n пар чисел – для каждой вершины сначала выведите полустепень захода и затем полустепень исхода.

Неориентированный граф задан списком ребер. Найдите степени всех вершин графа.

Входные данные
Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤100 ) – количество вершин в графе и \(m (1 \leq m \leq n (n - 1) / 2)\)  – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выходные данные
Выведите n чисел – степени вершин графа.