Алгоритмы на графах

337 задачвместе с подтемами
Число у задачи — рейтинг сложности, слово рядом — насколько она трудна по сравнению с другими задачами такого же типа. Шкалы задач с ответом и задач с кодом между собой не сравниваются. Рядом — счётчики попыток: ✓ успешные, ✗ неуспешные.
РейтингЛюбойдо 800800–11991200–15991600+Без рейтинга
СначалаПодходящиеНовыеПопулярныеПростыеСложные
Количество дорог#33226
Напишите программу, которая считает количество дорог в городе Новые Васюки. Схема дорог задана как матрица смежности графа. На некоторых дорогах введено одностороннее движение.
 
Входные данные
В первой строке вводится количество перекрёстков в Новых Васюках N ( 1 ≤ N ≤ 1000 ). В следующих N строках записано по N чисел, разделённых пробелами – элементы матрицы смежности графа, который описывает схему дорог.
 
Выходные данные
Программа должна вывести одно число – количество дорог в Новых Васюках. Дороги с двусторонним движением нужно считать только один раз.

Ввод Вывод
5
0 1 1 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 0 1 0
 7

Алгоритмы на графах
✓ 434✗ 310500лёгкаяВойти и решать
Банкет#33147
На банкет были приглашены N Очень Важных Персон (ОВП). Были поставлены 2 стола. Столы достаточно большие, чтобы все посетители банкета могли сесть за любой из них. Проблема заключается в том, что некоторые ОВП не ладят друг с другом и не могут сидеть за одним столом. Вас попросили определить, возможно ли всех ОВП рассадить за двумя столами.
 
Входные данные: В первой строке входных данных содержатся два числа: N и M (1 <= N,M <= 100), где N – количество ОВП, а M – количество пар ОВП, которые не могут сидеть за одним столом. В следующих M строках записано по 2 числа – пары ОВП, которые не могут сидеть за одним столом.
 
Выходные данные: Если способ рассадить ОВП существует, то  выведите YES в первой строке и номера ОВП, которых необходимо посадить за первый стол, во второй строке. В противном случае в первой и единственной строке выведите NO.

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
3 2
1 2
1 3
 YES
1
Обход в глубину
✓ 434✗ 501600лёгкаяВойти и решать
Баобаб#33146
Дан неориентированный невзвешенный граф. Необходимо определить, является ли он деревом.
 
Формат входных данных
В первой строке содержится одно натуральное число N (N ≤ 100) - количество вершин в графе. Далее в N строках по N чисел - матрица смежности графа: в i-ой строке на j-ом месте стоит 1, если вершины i и j соединены ребром, и 0, если ребра между ними нет. На главной диагонали матрицы стоят нули. Матрица симметрична относительно главной диагонали.
 
Формат выходных данных
Вывести "YES", если граф является деревом, и "NO" иначе.
Обход в глубину
✓ 596✗ 878500лёгкаяВойти и решать
Двудольный граф#33138
Граф называется двудольным, если его вершины можно раскрасить в два цвета так, что нет ребер, соединяющих вершины одинакового цвета (то есть каждое ребро идет из вершины 1-го цвета в вершину 2-го).
Дан граф. Требуется проверить, является ли он двудольным, и если да, то раскрасить его вершины.
 
Входные данные
В первой строке задано сначала число N - количество вершин графа (не превышает 100). Далее идет матрица смежности - матрица размером NxN из 0 и 1 (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие). Граф неориентированный, без петель.
 
Выходные данные 
В первую строку выведите одно из сообщений YES или NO (в зависимости от того, является ли граф двудольным или нет). В случае ответа YES, во второй строке выведите N чисел - цвета, в которые нужно раскрасить вершины: для первого цвета используйте значение 1, для второго цвета - значение 2. Первая вершина должна иметь цвет 1.
 
Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
3
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 NO
2
3
0 1 1
1 0 0
1 0 0
YES
1 2 2
Применение обхода в глубину
✓ 744✗ 1 444500лёгкаяВойти и решать
Долой списывание!#33137
Во время контрольной работы профессор Флойд заметил, что некоторые студенты обмениваются записками. Сначала он хотел поставить им всем двойки, но в тот день профессор был добрым, а потому решил разделить студентов на две группы: списывающих и дающих списывать, и поставить двойки только первым.
 
У профессора записаны все пары студентов, обменявшихся записками. Требуется определить, сможет ли он разделить студентов на две группы так, чтобы любой обмен записками осуществлялся от студента одной группы студенту другой группы.
 
Входные данные: В первой строке находятся два числа N и M - количество студентов и количество пар студентов, обменивающихся записками (1<=N<=100, 0<=M<=(N(N−1))/2. Далее в M строках расположены описания пар студентов: два числа, соответствующие номерам студентов, обменивающихся записками (нумерация студентов идёт с 1). Каждая пара студентов перечислена не более одного раза.

Выходные данные: Необходимо вывести ответ на задачу профессора Флойда. Если возможно разделить студентов на две группы - выведите YES; иначе выведите NO.

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
3 2
1 2
2 3
 YES
2
3 3
1 2
2 3
1 3
 NO
Применение обхода в глубину
✓ 613✗ 613500лёгкаяВойти и решать
Поиск компонент сильной связности#33136
Вам задан ориентированный граф с N вершинами и M ребрами (1<=N<=20000, 1<=M<=200000). Найдите компоненты сильной связности заданного графа и топологически отсортируйте его конденсацию.
 
Входные данные
Граф задан во входном файле следующим образом: первая строка содержит числа N и M. Каждая из следующих M строк содержит описание ребра — два целых числа из диапазона от 1 до N — номера начала и конца ребра.
 
Выходные данные
На первой строке выведите число K — количество компонент сильной связности в заданном графе. На следующей строке выведите N чисел — для каждой вершины выведите номер компоненты сильной связности, которой принадлежит эта вершина. Компоненты сильной связности должны быть занумерованы таким образом, чтобы для любого ребра номер компоненты сильной связности его начала не превышал номера компоненты сильной связности его конца.

Ввод Вывод
10 19
1 4
7 8
5 10
8 9
9 6
2 6
6 2
3 8
9 2
7 2
9 7
4 5
3 6
7 3
6 7
10 8
10 1
2 9
2 7
2
1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 

Компоненты сильной связности
✓ 48✗ 50700средняяВойти и решать
От списка ребер к матрице смежности, неориентированный вариант#33132
Простой неориентированный граф задан списком ребер, выведите его представление в виде матрицы смежности.
 
Формат входных данных
В первой строке задаются числа n (\(1<=n<=100\)) – количество вершин в графе и m (\(1<=m<=n(n - 1)/2\)) – количество ребер. Далее следует m пар чисел – ребра графа (каждая пара чисел в отдельной строке).
 
Формат выходных данных
Выведите матрицу смежности заданного графа.
Способы задания графа
✓ 1 302✗ 860300лёгкаяВойти и решать
От матрицы смежности к списку ребер, неориентированный вариант#33131
Простой неориентированный граф задан матрицей смежности, выведите его представление в виде списка ребер.
 
Формат входных данных
Входные данные включают число n (\( 1<=n<=100\)) – количество вершин в графе, а затем n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1, – его матрицу смежности.
 
Формат выходных данных
Выведите  список ребер заданного графа (в любом порядке).
Способы задания графа
✓ 1 091✗ 584300лёгкаяВойти и решать
Проверка на неориентированность#33130
По заданной квадратной матрице n×n из нулей и единиц определите, может ли данная матрица быть матрицей смежности простого неориентированного графа.
 
Формат входных данных
В первой строке задается число n (\(1<=n<=100\)) – размер матрицы. Затем задается сама матрица - n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1.
 
Формат выходных данных
Выведите «YES», если приведенная матрица может быть матрицей смежности простого неориентированного графа, и «NO» в противном случае
Способы задания графа
✓ 1 184✗ 2 205400лёгкаяВойти и решать
Петли#33129
По заданной матрице смежности неориентированного графа определите, содержит ли он петли.
 
Формат входных данных
В первой строке задается число n (\(1<=n<=100\)) – количество вершин графа. Затем задается матрица смежности - n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1.
 
Формат выходных данных
Выведите  «YES», если граф содержит петли, и «NO» в противном случае.
Способы задания графа
✓ 1 292✗ 819300лёгкаяВойти и решать
Космическое путешествие#32966
В MMORPG "Космические торговцы online" скорость перемещения игрока между звёздами ограничена одним парсеком в секунду. С такой скоростью можно быстро добраться до ближайших звёзд, но на путешествие с одного края галактики до другого может потребоваться несколько часов. Для ускорения таких долгих путешествий создатели игры сделали несколько "кротовых нор" — туннелей, соединяющих две точки в пространстве, которые позволяют мгновенно перемещаться между этими точками туда и обратно.

Напишите программу, которая вычисляет минимальное время путешествия, используя информацию о "кротовых норах".

В первой строке ввода содержится целое число N (1 ≤ N ≤ 100). Далее следует строка, содержащая 6 целых чисел — координаты начальной (xs,ys,zs) и конечной (xt,yt,zt) точки путешествия. Далее следует N строк, содержащих 6 целых чисел — координаты концов "кротовых нор". Все координаты измеряются в парсеках и находятся в диапазоне от 0 до 10000, и нет точек с совпадающими координатами.

Вывести минимальное время путешествия в секундах с точностью не менее 10−6.
Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
1
0 0 0 100 100 0
1 1 1 50 100 10
 52.722246
Алгоритм Флойда
✓ 82✗ 193900средняяВойти и решать
Дорогие дороги#31930
Президент Берляндии обратился к вам за помощью! В его стране есть n городов. Между некоторыми парами городов есть двусторонние дороги. Совсем скоро откроется туристический сезон, но дороги Берляндии совсем не готовы к такому испытанию.
Президент хочет отремонтировать некоторое множество дорог так, чтобы суммарная стоимость ремонта была минимальной и из любого города Берляндии можно было бы добраться до любого другого, пользуясь только отремонтированными дорогами.
Найти множество дорог, которые нужно отремонтировать, вам поможет ваш друг. Вам только требуется подсчитать минимальную стоимость ремонта.
Гарантируется, что всегда найдется необходимое множество дорог.

Входные данные:
В первой строке задано два целых числа - n и m (2 <= n <= 300000, n - 1  <= m <= 300000).
В следующих m строках содержатся три числа - u, v и w (1 <= u, v <= n, 0 <= w <= 109) - дорога между городами u и v, стоимость ремонта которой w.

Ввод Вывод
3 3
1 2 1
1 2 3
1 3 4
 5
2 4
1 2 0
1 2 1
1 2 2
1 2 3
 0

(с) Ибрахим Ахмад, 2018

Минимальный каркас
✓ 7✗ 9900средняяВойти и решать
Расчет асимптотики - 8#31796
Для приведенного ниже кода, найдите асимптотику: 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector < vector<int> > g;
vector <int> color;

void dfs(int v, int p)
{
	color[v] = 1;
	for (int i = 0; i < g[v].size(); i++)
	{
		int to = g[v][i];
		if (to == p)
			continue;
		if (color[to] == 1)
		{
			cout << "YES";
			exit(0);
		}
		if (color[to] == 0)
			dfs(to, v);
	}
	color[v] = 2;
}

int main()
{
	int n, m, a, b;
	cin >> n >> m;

	g.resize(n);
	color.resize(n);

	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		cin >> a >> b;
		a--; b--;
		g[a].push_back(b);
		g[b].push_back(a);
	}
	
	dfs(0, -1);
	cout << "NO";
	return 0;
}
 
1) O(n)            2) O(m)          3) O(n + m)      4) O(nm)
Обход в глубину
800лёгкаяВойти и решать
Заполнение конем#31784
Дана шахматная доска nхn. Пусть конь стоит на клетке (1,1). Необходимо найти такую последовательность ходов коня, при которой он побывает на каждой клетке доски ровно по одному разу.
 
Входные данные
На вход программе подается натуральное число n (n ≤ 8).
 
Выходные данные
Если обход невозможен, то выведите в выходной файл 0, если возможен, то 1, а на следующих строчках выведите матрицу nn, иллюстрирующую порядок обхода. Выравнивать числа по столбцам не обязательно.
 
Примечание. Скорость работы рекурсивной программы в этой задаче существенно зависит от порядка, в каком будут рассматриваться варианты хода коня из очередной клетки. Одним из удачных порядков является размещение всех восьми вариантов хода "по кругу".
 
Ввод Вывод
3 0
5
1
1 20 17 12 3 
16 11 2 7 18 
21 24 19 4 13 
10 15 6 23 8 
25 22 9 14 5 
Обход в глубинуРекурсия
✓ 26✗ 1141 000средняяВойти и решать
Вирус#30719
В лаборатории биоинформатики ученые проводят эксперименты по распространению искусственно созданных вирусов. Для эксперимента используется специальная лабораторная установка, представляющая собой таблицу из n × m ячеек. В каждую ячейку помещается живая клетка. Ученые заражают вирусом некоторые клетки, всего исходно заражается не более 8 клеток.
Каждую секунду среди незараженных клеток, имеющих зараженную клетку в соседней по стороне ячейке, ровно одна клетка заражается вирусом.
Ученые заинтересовались, какие конфигурации зараженных клеток могут получиться через t секунд. Для начала они хотят посчитать число таких конфигураций. Помогите им это сделать.

Формат входных данных
В первой строке входного файла находятся целые числа n, m и t (1 ≤ n, m ≤ 100, 1 ≤ t ≤ 6) — размеры таблицы и количество секунд. Каждая из следющих n строк содержит m символов. Символ «.» означает, что в изначальной конфигурации клетка не заражена, а символ «*» — что заражена. Количество «*» в таблице не превышает 8. Гарантируется, что незараженных клеток в исходной конфигурации не меньше t.

Формат выходных данных
Выведите количество различных возможных конфигураций таблицы после t секунд.
 
Ввод Вывод
2 2 1
*.
..		 2
2 2 2
*.
..		 3
2 2 3
*.
..		 1
Двумерные массивыЗадача на реализациюСпособы задания графа
✓ 1✗ 9—Войти и решать
Защищенное соединение#30707

В свете недавних новостей о прослушке каналов связи, два непримиримых интернет-гиганта Урагании <<Laim.UR>> и <<Xenda>> решили подписать соглашение об установлении защищенного канала связи между дата-центрами друг друга. В Урагании \(n\) городов, но, к сожалению, ни в одном городе нет дата-центров обоих гигантов. Поэтому для формирования защищенного канала придется прокладывать междугородние линии связи.

Специалисты компаний определили \(m\) пар городов, которые можно соединить, проложив сегмент канала связи, и оценили стоимость создания такого сегмента для каждой из этих пар.

Результирующий канал может состоять из нескольких сегментов. Он должен начинаться в одном из городов, где находится дата-центр первой компании, может проходить через промежуточные города и должен заканчиваться в городе, где находится дата-центр второй компании.

Теперь необходимо определить минимальную стоимость защищенного канала, соединяющего два дата-центра компаний.

Формат входных данных
В первой строке находятся целые числа \(n\) и \(m\) (\(2 \le n \le 5\,000\), \(1 \le m \le 10^5\)) — количество городов и количество пар городов, которые можно соединить сегментом канала связи.

Во второй строке находятся \(n\) целых чисел \(a_i\) (\(0 \le a_i \le 2\)). Если \(a_i = 0\), то в \(i\)-м городе нет дата-центра ни одного из гигантов. Если \(a_i = 1\), то в \(i\)-м городе есть дата-центр <<Laim.UR>>, а если \(a_i = 2\), то в \(i\)-м городе находится дата-центр <<Xenda>>. Гарантируется, что среди этих чисел есть как минимум одна единица и одна двойка.

В каждой из следующих \(m\) строк находится по три целых числа — \(s_i\), \(t_i\) и \(c_i\), которые означают, что города \(s_i\) и \(t_i\) (\(1 \le s_i, t_i \le n\), \(s_i \ne t_i\)) можно соединить сегментом канала связи стоимостью \(c_i\) (\(1 \le c_i \le 10^5\)). Каждую пару городов можно соединить не более чем одним сегментом канала.

Формат выходных данных
Если соединить защищенным каналом связи два дата-центра разных интернет-гигантов возможно, то выведите в выходной файл три числа: \(x\), \(y\) и \(d\), означающие, что между городами \(x\) и \(y\) возможно провести канал связи суммарной стоимостью \(d\). В городе \(x\) должен находиться дата-центр <<Laim.UR>>, в городе \(y\) — дата-центр <<Xenda>>. Если существует несколько оптимальных ответов, выведите любой. Если провести искомый канал невозможно, выведите \(-1\).

 

В первом примере оптимально построить канал связи из двух сегментов: \(3-2\) и \(2-4\).

Алгоритм Дейкстры
✓ 68✗ 1621 000средняяВойти и решать
Заправки-2#30702
В стране N городов, некоторые из которых соединены между собой дорогами. Для того, чтобы проехать по одной дороге, требуется один бак бензина. Помимо этого у вас есть канистра для бензина, куда входит столько же топлива, сколько входит в бензобак.
 
В каждом городе бак бензина имеет разную стоимость. Вам требуется добраться из первого города в N-й, потратив как можно меньшее денег.
 
В каждом городе можно заправить бак, заправить бак и канистру или же перелить бензин из канистры в бак. Это позволяет экономить деньги, покупая бензин в тех городах, где он стоит дешевле, но канистры хватает только на одну заправку бака!

Формат входных данных
В первой строке вводится число N (1<=N<=100), в следующей строке идет N чисел, i-е из которых задает стоимость бензина в i-м городе (всё это целые числа из диапазона от 0 до 100). Затем идет число M – количество дорог в стране, далее идет описание самих дорог. Каждая дорога задается двумя числами – номерами городов, которые она соединяет. Все дороги двухсторонние (то есть по ним можно ездить как в одну, так и в другую сторону), между двумя городами всегда существует не более одной дороги, не существует дорог, ведущих из города в себя.
 
Формат выходных данных
Требуется вывести одно число – суммарную стоимость маршрута или -1, если добраться невозможно.
 
Алгоритм Дейкстры
✓ 133✗ 443900средняяВойти и решать
Количество способов топологической сортировки#29453
Дан связный ациклический ориентированный граф. Каждая вершина данного графа кроме листьев имеет по 2 сына.
Найдите количество способов топологически отсортировать, зная только количество вершин.
 
Входные данные
Входная строка содержит одно натуральное число n - кол-во вершин (n <= 1000).

Выходные данные  
Выведите ответ на задачу.
 
Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1 7 48
Топологическая сортировка
✓ 76✗ 293800средняяВойти и решать
Лексикографически минимальная топологическая сортировка#29452
Дан связный ациклический ориентированный граф. Найдите его лексикографически минимальную топологическую сортировку.
 
Входные данные
В первой строке вводится количество вершин n (1 <= n <= 10000). Во второй строке водится n чисел ai (0 <= ai <= n, ai != i). Значение ai - предок вершины с номером i (вершины нумеруются с 1). Если ai = 0, то вершина i является корнем и не имеет предков, гарантируется, что таких вершин ровно 1.
 
Выходные данные
Решение должно вывести n чисел - лексикографически минимальную топологическую сортировку.
 
Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
4
2 0 1 2
 2 1 3 4
Топологическая сортировка
✓ 40✗ 136900средняяВойти и решать
Расписание для 9И#29451
В августе Владлена Александровна решила составить расписание для 9 «И» класса. Она считает, что уроков в один день должно быть N (2<=N<=8). От учителей она получила M (1<=N) запросов. Так как Владлена Александровна учитель географии, то с компьютером опыт работы у нее не такой как у вас, она просит вас о помощи, решите эту «невыполнимую» задачу, соблюдая запросы учителей.

Входные данные:  В первой строке входных данных содержится число N – кол-во уроков и число M – количество последовательных пар уроков наверное.
В следующих M строках задаются 2 слова, которые обозначают названия предметов.
Известно что, граф не может зациклиться и предметы не могут быть в расписании 2 раза
Слова, которые можно вводить: PE,Math, Russian, Biology,Geometry, Literature, Science, Geography
 
Выходные данные: Задача — выстроить предметы в подходящем для всех пар порядке.
 
Ввод Вывод
3 2
PE Math
Math Literature		 PE
Math
Literature

(c) Бганцова А., 2018 г.
Топологическая сортировка
✓ 14✗ 19700средняяВойти и решать
Поделиться
Класснуть