Алгоритмы на графах

Новый премьер-министр решил проехать по России от Москвы до Владивостока по железной дороге, а затем вернуться обратно. Он поручил своим помощникам разработать маршрут так, чтобы не пришлось два раза проезжать через один и тот же город. Однако помощники сообщили, что для Российских железных дорог это невозможно. Определите, в каких городах премьер-министр будет вынужден побывать дважды.

Входные данные
В первой строке входного файла находятся числа N - количество российских городов, соединенных железными дорогами в единую сеть и М - количество железнодорожных перегонов, соединяющих пары городов (1 <= N <= 20000, 1 <= M <= 200000). Города имеют номера от 1 до N. В каждой из следующих M строк находится пара натуральных чисел, описывающая между какими двумя городами проходит соответствующая железнодорожная ветка. В последней строке находятся два целых числа S и Е (1 <= S != E <= N) - номера Москвы и Владивостока по версии РЖД.

Выходные данные
В первой строке выведите число B - количество городов, которые премьер-министру придется посетить дважды. В следующих В строках выведите B целых чисел - номера этих городов в возрастающем порядке.

 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 2 1 2 2 3 3 1	1 2

Маленький мальчик делает бусы. У него есть много пронумерованных бусинок. Каждая бусинка имеет уникальный номер - целое число в диапазоне от 1 до N. Он выкладывает все бусинки на полу и соединяет бусинки между собой произвольным образом так, что замкнутых контуров не образуется. Каждая из бусинок при этом оказывается соединенной с какой-либо другой бусинкой. Требуется определить, какое максимальное количество последовательно соединенных бусинок присутствует в полученной фигуре.

Входные данные
В первой строке записано число N (1 ≤ N ≤ 2500) - количество бусинок . В последующих N - 1 строках по два целых числа - номера, соединенных бусинок.

Выходные данные
Вывести одно число - искомое количество бусинок.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2 1 2	2
2	5 2 1 2 3 2 4 2 5	3

Спелестологический клуб «Залезь и посмотри» часто привлекается к поиску заблудившихся в каменоломнях незадачливых путешественников. Заблудившиеся в темноте и тесноте паникуют, хаотично перемещаются, ходят кругами и осложняют этим поисковые работы. Гораздо удобнее было бы, если бы потерявшиеся сидели в каком-нибудь зале и никуда не двигались.
Каменоломни представляют собой набор из N залов, занумерованных числами от 1 до N и M проходов между ними. Проходы могут быть как двусторонними, так и односторонними (например, с сильным вертикальным уклоном). Ни один проход не соединяет зал сам с собой. Пара залов может соединяться максимум одним проходом. Гарантируется, что двигаясь только по односторонним проходам, нельзя попасть в тот зал, из которого вышли путешественники.
Чтобы избежать хождения заблудившихся по кругу, члены клуба решили нанести на двусторонние проходы специальные аварийные стрелки так, чтобы идя по этим стрелкам нельзя было попасть в уже посещенное место, откуда бы ни началось движение и, в итоге, потерявшиеся оказались бы в одном из залов, из которого нельзя уйти, двигаясь по стрелочкам — там их и найдут спелестологи.
Для каждого двустороннего прохода определите допустимое направление движения.

Формат входных данных
В первой строке входных данных задается два числа N (2 ≤ N ≤ 100000) и M (1 ≤ M ≤ 100000) — количество залов и проходов между ними.
В следующих M строках задаются описания проходов. Каждое описание состоит из трёх чисел A, B и D (1 ≤ A, B ≤ N). Числа A и B задают номера соединенных проходом залов. Если D = 1, то проход односторонний из зала A в зал B. Если D = 2, то проход двусторонний.

Формат выходных данных
Для каждого двустороннего прохода из входных данных выведите пару чисел, описывающих соединяемые этим проходом залы. Движение может осуществляться из первого зала во второй.
Если правильных ответов несколько — выведите любой из них. Порядок вывода описания проходов не важен. Гарантируется, что ответ всегда существует.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 5 1 2 1 2 4 2 2 3 1 3 4 1 4 1 2	2 4 1 4

Беззработный Дэйв от скуки  соорудил в собственной гостиной лабиринт из картонных коробок. Лабиринт содержит  K входов. Когда его подружка Энни вернулась, лабиринт невероятным образом разросся изнутри, а сам горе-изобретатель там заблудился и не может выбраться.
Единственное, что нашла Энни в комнате это карту лабиринта, который имеет размеры NхM клеток. На карте было обозначено место, в котором находится Дэйв (как так вышло никто не знает). Клетки лабиринта либо пустые, по которым можно пройти, либо в них находится стена и по ним проходить нельзя. У клетки может быть до 4-х смежных клеток, в которую можно пройти из текущей.
Энни пригласила вас помочь ей определить, с какого входа нужно начать свой путь, чтобы побыстрее дойти до Дейва. Если таких входов несколько, Энни пойдет со входа с наименьшим номером.

Входные данные

Программа получает на вход несколько строк. В первой строке - 2 числа N и M (1<= N, M <= 100, NxM <= 100), размеры лабиринта. Далее следует N строк по M символов в каждой - описание лабиринта. 0 означает, что клетка свободна; 1, что в клетке находится стена. Символ * обозначает клетку с Дэйвом.
В (N+2)-й строке находится число K (1<=K<=NxM) -- количество входов в лабиринт. Далее в K строках содержатся координаты входов. В i-й строке содержатся числа xi и yi, означающие,что i-й вход расположен в xi-й строке и в yi-м столбце (1<=xi<=N,1<=yi<=M).
Координаты входов попарно различны, все входы расположены в пустых клетках. Ни один из входов не находится в клетке с Дэйвом.

Выходные данные

Выведите одно число - номер входа (нумерация начинается с 1). Если до Дэйва невозможно добраться, выведите -1.
 

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 5 00000 00000 10*00 01111 00000 4 1 1 1 5 4 1 5 5	1
2	3 3 010 1*1 010 4 1 1 1 3 3 1 3 3	-1

Генеалогическое древо — это графическая схема, описывающая родственные связи в пределах одной семьи. Начало такого дерева — это один предок (родоначальник) или супруги и далее цепочка строится вниз. По заданному генеалогическому древу, определите у каждого элемента число его потомков (не считая самого элемента). 

Входные данные
Программа получает на вход число элементов в генеалогическом древе N. Далее следует N−1 строка, задающие родителя для каждого элемента древа, кроме родоначальника. Каждая строка имеет вид имя_потомка имя_родителя.

Выходные данные

Программа должна вывести список всех элементов древа в лексикографическом порядке. После вывода имени каждого элемента, необходимо вывести число его потомков.
 

Пример

№	Входные данные	Выходные данные
1	9 Alexei Peter_I Anna Peter_I Elizabeth Peter_I Peter_II Alexei Peter_III Anna Paul_I Peter_III Alexander_I Paul_I Nicholaus_I Paul_I	Alexander_I 0 Alexei 1 Anna 4 Elizabeth 0 Nicholaus_I 0 Paul_I 2 Peter_I 8 Peter_II 0 Peter_III 3

Штирлиц ехал на машине, увидел голосующего Бормана, и проехал мимо. Через некоторое время он снова увидел голосующего Бормана, и снова проехал мимо. Вскоре он опять увидел голосующего Бормана.
 - Издевается! - подумал Борман.
 - Кольцевая! - догадался Штирлиц.

В городе N площадей. Любые две площади соединены между собой ровно одной дорогой с двусторонним движением. В этом городе живет Штирлиц. У Штирлица есть хобби - он любит воскресным утром выйти из дома, сесть в машину, выбрать какой-нибудь кольцевой маршрут, проходящий ровно по трем площадям (то есть сначала он едет с какой-то площади на какую-то другую, потом - на третью, затем возвращается на начальную, и опять едет по этому маршруту). Он воображает, что где-то на этом пути стоит Борман. И так вот ездит Штирлиц все воскресенье, пока голова не закружится, и радуется...

Естественно, что Штирлицу хочется проезжать мимо точки, в которой, как он воображает, стоит Борман, как можно чаще. Для этого, естественно, выбранный Штирлицем маршрут должен быть как можно короче. Напишите программу, которая выберет оптимальный для Штирлица маршрут.

Входные данные
В первой строке задается  число N (3 <= N <= 100). В последующих строках содержится матрица NxN расстояний между площадями (число в позиции i,j обозначает длину дороги, соединяющей i-ую и j-ую площади). Все числа в матрице (кроме стоящих на главной диагонали) - натуральные, не превышающие 1000. Матрица симметрична относительно главной диагонали, на главной диагонали стоят 0.

Выходные данные
Требуется вывести три числа — номера площадей в оптимальном маршруте. Если маршрутов несколько, выведите любой из них.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 0 1 9 9 2 1 0 9 9 9 9 9 0 9 9 9 9 9 0 9 2 9 9 9 0	1 2 5

На стандартной шахматной доске (8х8) живут 2 шахматных коня: Красный и Зеленый. Обычно они беззаботно скачут по просторам доски, пощипывая шахматную травку, но сегодня особенный день: у Зеленого коня День Рождения. Зеленый конь решил отпраздновать это событие вместе с Красным. Но для осуществления этого прекрасного плана им нужно оказаться на одной клетке. Заметим, что Красный и Зеленый шахматные кони сильно отличаются от черного с белым: они ходят не по очереди, а одновременно, и если оказываются на одной клетке, никто никого не съедает. Сколько ходов им потребуется, чтобы насладиться праздником?

Входные данные
На вход программы поступают координаты коней, записанные по стандартным шахматным правилам (т.е. двумя символами - маленькая латинская буква (от a до h) и цифра (от 1 до 8), задающие столбец и строку соответственно).

Выходные данные
Требуется вывести наименьшее необходимое количество ходов, либо число -1, если кони не могут встретиться.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	a1 a3	1

Дана таблица, состоящая из N строк и M столбцов. В каждой клетке таблицы записано одно из чисел: 0 или 1. Расстоянием между клетками (x1, y1) и (x2, y2) назовем сумму |x1-x2|+|y1-y2|. Вам необходимо построить таблицу, в клетке (i, j) которой будет записано минимальное расстояние между клеткой (i, j) начальной таблицы и клеткой, в которой записана 1. Гарантируется, что хотя бы одна 1 в таблице есть.

Формат входных данных
В первой строке вводятся два натуральных числа N и M, не превосходящих 500. Далее идут N строк по M чисел - элементы таблицы.

Формат выходных данных
Требуется вывести N строк по M чисел - элементы искомой таблицы.

В Тридевятом Царстве было N городов, некоторые из которых были соединены дорогами. К сожалению, в последнее время добраться из одного города в другой стало очень сложно из-за возникших автомобильных пробок. В целях борьбы с пробками было решено все дороги сделать односторонними, т.е. разрешить проезд по каждой дороге только в одном направлении. При этом требуется, чтобы по-прежнему можно было из любого города попасть в любой другой.

Входные данные
Во входном файле записано сначала число N — количество городов (1≤N≤1000). Затем записано число M — количество дорог (1≤M≤100000). Далее идет M пар чисел, задающих дороги (каждая дорога описывается номерами городов, которые она соединяет). Не бывает дорог из некоторого города в тот же город. Между двумя городами может быть несколько дорог. Гарантируется, что до введения одностороннего движения можно было попасть из любого города в любой другой.

Выходные данные
В выходной файл нужно выдать M пар чисел, соответствующих дорогам (дороги должны быть выданы в том же порядке, в котором они заданы во входном файле). Для каждой дороги сначала должен быть записан номер города, из которого по ней можно будет уехать после введения одностороннего движения, а затем — номер города, куда эта дорога ведет.

Если ввести одностороннее движение так, чтобы можно было из любого города попасть в любой другой, нельзя, выходные данные содержать одно число 0.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 6 1 2 1 2 2 3 2 4 4 3 1 4	2 1 2 1 3 2 4 2 4 3 1 4

На тропическом острове в разгар туристического сезона особой популярностью пользуется квас. Раньше весь квас импортировался из России, но с увеличением популярности этого напитка встал вопрос о производстве кваса прямо на месте. На острове расположено N курортных городов, все города расположены на побережье. Вдоль побережья проходит единственная на острове кольцевая дорога, соединяющая все города. Движение по дороге возможно в любом направлении. Для каждого города известно, сколько бочек кваса требуется ему ежедневно.

Планируется построить всего один завод в каком-нибудь городе, и развозить продукцию по остальным городам. Перевозка одной бочки в соседний город стоит один тугрик (местная валюта).

Ваша задача состоит в том, чтобы определить, в каком из городов следует построить завод, чтобы минимизировать транспортные расходы.

Входные данные
Первая строка входных данных содержит число N – количество городов ( N ≤ 10) и еще N чисел – количество кваса, требуемое ежедневно 1-м, 2-м, …, N -м городом (города нумеруются подряд вдоль кольцевой дороги).

Выходные данные
Выведите одно число – номер города, в котором следует построить завод. Если подходящих городов окажется несколько – выведите номер любого из них.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	3 5 3 10	3
2	6 4 4 1 5 1 3	2	На острове 6 городов, потребность каждого города указана в кружочках, номер города рядом с кружочком. Если построить завод во 2-м городе (он выделен серым), то потребуется заплатить 4 + 1 (стоимость перевозки в 1-й и 3-й города) + 5*2 + 3*2 (в 4-й и 6-й) + 1*3 (в 5-й см. рисунок). Во 2-й вообще ничего не везем. Это будет 24 тугрика. Легко проверить, что если построить завод в других городах, сумма будет больше. Например, если построить в 4-м городе, то сумма составит 1 + 1 + 3*2 + 4*2 + 4*3 = 28 тугриков.

Гурман Яблочков работает редактором известного гастрономического издания. Он разъезжает по всему миру, дегустируя новые изыски именитых шеф-поваров самых фешенебельных ресторанов высокой кухни. У Яблочкова есть свой фирменный способ ревью: в каждом заведении Яблочков заказывает два набора блюд в разные дни. Все заказанные блюда разные, так как Яблочков не любит есть одно и то же. Для каждой пары блюд из разных наборов он точно помнит, какое из них лучше по его ощущениям, или что они одинаковы по вкусовым качествам. Затем гурман оценивает каждое блюдо положительным целым числом.

Однажды, во время очередной ревизии, ресторан кельтской средневековой кухни «Пуассон», подающий суп из каштанов с пихтой, теплый содовый хлеб, пряный лимонный пирог и другую народную еду, очень приятно удивил гурмана своим разнообразным меню, и эксперт заказал слишком много. Поэтому ему нужна помощь в оценке блюд.

Гурман в первый день дегустировал набор из n блюд, во второй день набор из m блюд. Он составил таблицу ощущений a размером nm, в которой описал свои впечатления. Если по мнению эксперта блюдо i из первого набора лучше блюда j из второго набора, то a_ij равно « > », в противоположном случае a_ij равно « < ». Блюда также могут быть равны по уровню, тогда a_ij равно « = ».

Теперь Яблочков хочет, чтобы вы помогли ему оценить каждое блюдо в наборах целым положительным числом. Так как Яблочков очень строгий дегустатор, то постарается оценить блюда так, чтобы максимальная из оценок была как можно меньше. В то же время Яблочков очень справедливый, поэтому никогда не оценивает блюда так, чтобы это шло вразрез с его ощущениями. Другими словами, если a_ij равно « < », то оценка блюда i из первого набора должна быть меньше оценки блюда j из второго набора, если a_ij равно « > », то должна быть больше, а если a_ij равно « = », то должна совпадать.

Помогите Яблочкову выставить оценки каждому блюду из обоих наборов так, чтобы это согласовывалось с его ощущениями, или определите, что это невозможно.

Входные данные
В первой строке заданы два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 1000 ) — количества блюд в каждый из двух дней.

Каждая из следующих n строк содержит строку из m символов. j-й символ в i-й строке задаёт значение aij. Все строки состоят только из символов « < », « > » и « = ».

Выходные данные
В первой строке выведите « Yes » (без кавычек), если можно сделать корректную оценку всем блюдам и « No » (без кавычек), если иначе.

В случае, если сделать корректную оценку можно, во второй строке выведите n целых чисел — оценки блюд первого набора, а в третьей строке m целых чисел — оценки блюд второго набора.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснения
1	3 4 >>>> >>>> >>>>	Yes 2 2 2  1 1 1 1	Все блюда первого дня лучше всех блюд второго дня. Значит, самой высокой оценкой будет 2 для всех блюд первого дня.
2	3 3 >>> <<< >>>	Yes 3 1 3  2 2 2
3	3 2 == =< ==	No	Таблица противоречива: нет ни одного набора оценок, который удовлетворял бы ей.

В стране из предыдущей задачи много специалистов не только по защите детей, но и про проектированию городов. Поэтому, чтобы решить проблему пробок в перенаселенной столице раз и навсегда, было решено построить новую столицу и перенести все правительство туда. Сказано — сделано.

Улицы в новой столице образуют правильную прямоугольную сетку, в которой все улицы пересекаются ровно через одну местную единицу длины. Вертикально идущие улицы называются улицами, а горизонтально идущие — аллеями. Всего в городе получилось 2000 улиц и 2000 аллей, поэтому, чтобы не придумывать много новых названий, их все просто пронумеровали. Улицы пронумеровали с запада на восток числами от −1000 до 999, а аллеи — с юга на север, тоже числами от −1000 до 999. Центром города считаются кварталы на пересечении улиц и аллей с номерами от −100 до 100.

Чтобы увеличить пропускную способность дорог в городе, было решено сделать все улицы и аллеи односторонними. По улицам с четными номерами разрешается ехать только с севера на юг, а по улицам с нечетными номерами — только с юга на север. Аналогично, по аллеям с четными номерами можно ехать только с востока на запад, а с нечетными — только с запада на восток.

Сколько местных единиц длины придется проезжать мэру новой столицы каждый вечер, возвращаясь из мэрии города домой? И мэрия, и дом мэра находятся в центре города. Мэр едет домой кратчайшим путем, соблюдая, впрочем, правила дорожного движения.

Входные данные
В первой строке даны два числа x1 и y1 — номер улицы и номер аллеи, на пересечении которых находится мэрия. В второй строке даны два числа x2 и y2 — номер улицы и номер аллеи, на пересечении которых находится дом мэра. Все числа целые и не превосходят по модулю 100.

Выходные данные
Выведите одно число: длину кратчайшего пути от мэрии до дома мэра на автомобиле.-
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	0 0 1 1	4
2	3 5 2 4	4

Метрополитен состоит из нескольких линий метро. Все станции метро в городе пронумерованы натуральными числами от 1 до N. На каждой линии расположено несколько станций. Если одна и та же станция расположена сразу на нескольких линиях, то она является станцией пересадки и на этой станции можно пересесть с любой линии, которая через нее проходит, на любую другую (опять же проходящую через нее).

Напишите программу, которая по данному вам описанию метрополитена определит, с каким минимальным числом пересадок можно добраться со станции A на станцию B. Если данный метрополитен не соединяет все линии в одну систему, то может так получиться, что со станции A на станцию B добраться невозможно, в этом случае ваша программа должна это определить.

Входные данные
Сначала вводится число N — количество станций метро в городе (2≤N≤100). Далее следует число M — количество линий метро (1≤M≤20). Далее идет описание M линий. Описание каждой линии состоит из числа P_i — количество станций на этой линии (2≤P_i≤50) и P_i чисел, задающих номера станций, через которые проходит линия (ни через какую станцию линия не проходит дважды).

Затем вводятся два различных числа: A — номер начальной станции, и B — номер станции, на которую нам нужно попасть. При этом если через станцию A проходит несколько линий, то мы можем спуститься на любую из них. Так же если через станцию B проходит несколько линий, то нам не важно, по какой линии мы приедем.

Выходные данные
Выведите минимальное количество пересадок, которое нам понадобится. Если добраться со станции A на станцию B невозможно, программа должна вывести одно число –1 (минус один).
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 2 4 1 2 3 4 2 5 3 3 1	0
2	5 5 2 1 2 2 1 3 2 2 3 2 3 4 2 4 5 1 5	2
3	10 2 6 1 3 5 7 4 9 6 2 4 6 8 10 7 3 8	1
4	4 2 2 1 2 2 3 4 1 3	-1

Витя хочет придумать новую игру с числами. В этой игре от игроков требуется преобразовывать четырехзначные числа не содержащие нулей при помощи следующего разрешенного набора действий:

1. Можно увеличить первую цифру числа на 1, если она не равна 9.
2. Можно уменьшить последнюю цифру на 1, если она не равна 1.
3. Можно циклически сдвинуть все цифры на одну вправо.
4. Можно циклически сдвинуть все цифры на одну влево.

Например, применяя эти правила к числу 1234 можно получить числа 2234, 1233, 4123 и 2341 соответственно. Точные правила игры Витя пока не придумал, но пока его интересует вопрос, как получить из одного числа другое за минимальное количество операций.

Входные данные: на вход подаются два различных четырехзначных числа, каждое из которых не содержит нулей. Каждое число с новой строки

Выходные данные: Программа должна вывести последовательность четырехзначных чисел, не содержащих нулей. Последовательность должна начинаться первым из данных чисел и заканчиваться вторым из данных чисел, каждое последующее число в последовательности должно быть получено из предыдущего числа применением одного из правил. Количество чисел в последовательности должно быть минимально возможным.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1234 4321	1234 2234 3234 4323 4322 4321

Одна из Сверхсекретных организаций, чье название мы не имеем право разглашать, представляет собой сеть из N подземных бункеров, соединенных равными по длине туннелями, по которым из любого бункера можно добраться до любого другого (не обязательно напрямую). Связь с внешним миром осуществляется через специальные засекреченные выходы, которые расположены в некоторых из бункеров.

Организации понадобилось составить план эвакуации персонала на случай экстренной ситуации. Для этого для каждого из бункеров необходимо узнать, сколько времени потребуется для того, чтобы добраться до ближайшего из выходов. Вам, как специалисту по таким задачам, поручено рассчитать необходимое время для каждого из бункеров по заданному описанию помещения Сверхсекретной организации. Для вашего же удобства бункеры занумерованы числами от 1 до N.

Формат входных данных
В первых двух строках вводятся два натуральных числа N, K (\(1 <= N <= 100000\), \(1 <= K <= N\)) — количество бункеров и количество выходов соответственно. В третьей строке через пробел записаны K различных чисел от 1 до N, обозначающих номера бункеров, в которых расположены выходы. В четвертой строке идёт число M (\(1 <= M <= 100000\)) — количество туннелей. В следующих M  строках вводятся пары чисел – номера бункеров, соединенных туннелем.
По каждому из туннелей можно двигаться в обе стороны. В организации не существует туннелей, ведущих из бункера в самого себя, зато может существовать более одного туннеля между парой бункеров.

Формат выходных данных
Выведите N чисел, разделенных пробелом — для каждого из бункеров минимальное время, необходимое чтобы добраться до выхода. Считайте, что время перемещения по одному туннелю равно 1.

Вам дано описание дорожной сети страны. Ваша задача – найти длину кратчайшего пути между городами А и B.

Формат входных данных
Сеть дорог задана во входном файле следующим образом: первая строка содержит числа N и K (1<=N<=100000, 0<=K<=300000), где K – количество дорог. Каждая из следующих K строк содержит описание дороги с двусторонним движением – три целых числа ai, bi и li (1aibiN, 1li106). Это означает, что имеется дорога длины li, которая ведет из города ai в город bi. В последней строке находятся два числа А  и В  – номера городов, между которыми надо посчитать кратчайшее расстояние (1<=A,B<=N )

Формат выходных данных
Вы должны вывести в выходной файл единственное число – расстояние между требуемыми городами. Если по дорогам от города А  до города В  доехать невозможно, выведите –1.