Алгоритмы на графах

Ориентированный граф задан списком ребер. Проверьте, содержит ли он параллельные ребра.

Сначала вводятся числа n ( 1≤n≤1001≤𝑛≤100 ) – количество вершин в графе и m ( 1≤m≤10,0001≤𝑚≤10,000 ) – количество ребер. Затем следует m пар чисел – ребра графа.

Выведите  «YES», если граф содержит параллельные ребра, и «NO» в противном случае.

Каждый раз, когда в мире происходит значимое событие, наша реальность разветвляется на несколько — в зависимости от исхода этого события. После этого существует уже не только наша основная реальность, но и ответвившиеся от неё в моменты появления разных исходов.

Однажды один архимаг решил сделать мир лучше. Такая грандиозная задача не под силу одному архимагу, поэтому он решил найти самого себя ещё в \(K\) реальностях и выполнить эту задачу вместе. Проведённое теоретическое исследование показало, что, кроме реальности, в которой находится именно он, существует ещё \(N - 1\) реальностей. Для удобства они были занумерованы числами от \(1\) до \(N\), при этом его собственная реальность имеет номер \(1\), а посетить ему необходимо реальности с номерами \(2, 3, \ldots, K + 1\).

Как уже говорилось, каждая реальность когда-то ответвилась от некоторой другой, за исключением одной Начальной реальности, которая существовала всегда (её номер может оказаться каким угодно; считается, что она появилась в момент времени \(0\)). Исследование показало, что реальность с номером \(i\) ответвилась от реальности с номером \(P_i\) в момент времени \(T_i\). Из каждой реальности с номером \(i\) архимаг может переместиться

• в любую ответвившуюся от неё, то есть в любую \(j\), такую что \(P_j = i\);

• в \(P_i\), если \(i\) — не Начальная реальность.

Другими словами, возможны лишь переходы вида \(i \leftrightarrows P_i\). На каждый такой переход в любую сторону архимаг затрачивает \(T_i-T_{P_i} > 0\) условных единиц энергии.

Требуется найти минимальное количество энергии, которое потребуется архимагу, чтобы, начав в реальности с номером \(1\), посетить все реальности с номерами от \(2\) до \(K + 1\) (в любом порядке) и затем вновь вернуться в \(1\). Любую реальность при этом разрешается посещать сколько угодно раз.
Формат входных данных

Сначала вводятся два целых числа \(N\) и \(K\) (\(0 \leqslant K < N \leqslant 100\,000\)): количество доступных реальностей и количество реальностей, которые необходимо посетить. Далее идёт \(N\) пар целых чисел, \(i\)-я пара — это \(P_i\) и \(T_i\) (\(1 \leqslant P_i \leqslant N\), \(0 \leqslant T_i \leqslant 10^6\); для Начальной реальности \(P_i=T_i=0\)).

Гарантируется, что ответвившаяся реальность появилась строго позже породившей (\(T_i > T_{P_i})\), и что маг может при желании добраться до любой из \(N\) реальностей.

Формат выходных данных
Выведите единственное число \(E\) — минимальную возможную энергию, которая потребуется архимагу для путешествия.

В первом классе Глеб увлекался шахматами. К тому моменту он знал только лишь как ходит пешка: она может бить по диагонали влево-наверх и вправо-наверх, и ходить на клетку вверх только если та клетка не занята другой фигурой. Поэтому он придумал свой вариант шахмат.

Игра идёт на доске с \(N\) строками и \(M\) столбцами (\(1 \le N \le 100\), \(1 \le M \le 100\)) по следующим правилам. В нижней строке, имеющей номер 1, стоит \(P\) белых пешек, белых фигур на доске больше нет. На остальной части доски стоят разные чёрные фигуры (их названия Глеб не знает). Ходят только белые, цель — достичь хотя бы одной пешкой самой верхней строки, имеющей номер \(N\) (Глеб слышал, что в этой ситуации из пешки можно сделать ферзя, а с такой силой он безусловно сможет побить все остальные чёрные фигуры).

Как и в настоящих шахматах, если пешка Глеба бьёт чёрную фигуру, то она становится на её место, а побитая фигура убирается с доски. Считается, что Глеб выиграл, если он сумел достичь хотя бы одной пешкой самой верхней строки, в противном случае он проиграл. Помогите ему по заданной конфигурации всех фигур определить, сможет ли он выиграть.

Формат входных данных
Сначала вводятся четыре целых числа \(N\), \(M\), \(P\), \(K\) (\(1 \le N \le 100\), \(1 \le M \le 100\), \(0 \le P \le M\), \(1 \le K \le (N - 1)M\). Далее записано \(P\) различных чисел — номера столбцов \(p_j\) (\(1 \le p_j \le M\)), в которых стоят белые пешки. Далее идут \(K\) различных пар целых чисел — номера строк и столбцов чёрных фигур \(r_i\), \(c_i\) (\(2 \le r_i \le N\), \(1 \le c_i \le M\)).

Формат выходных данных
Если хотя бы одна пешка сможет достичь последнего ряда, выведите YES, в противном случае выведите NO.

На клетчатой доске размером \(n \times m\), состоящей из \(n\) строк и \(m\) столбцов, в клетке \((r, c)\), то есть на пересечении \(r\)-й сверху строки и \(c\)-го слева столбца, расположена фишка. На этой доске вам предстоит сыграть против компьютера в игру, в которой можно перемещать фишку и удалять клетки поля.

Каждый ход устроен следующим образом.

1. Компьютер называет целое число \(k > 0\).

2. Вы ровно \(k\) раз некоторым образом выбираете одну из еще не удаленных клеток, соседних по стороне (имеющих общую сторону) с той, в которой фишка находится в текущий момент, и перемещаете фишку в эту клетку. Вы можете перемещать фишку на клетку, в которой она уже была. Если не существует еще не удаленных клеток, соседних по стороне с текущей, перемещение не производится.

3. Компьютер называет координаты \((i, j)\) произвольной еще не удаленной клетки поля, после чего она сразу же удаляется.

Если компьютер удаляет клетку, на которой находится фишка, игра заканчивается вашей победой. Ваша цель — победить как можно раньше. При этом вы не сообщаете компьютеру свои перемещения, поэтому можете играть нечестно: вместо реального перемещения фишки по полю вы можете следить за всеми возможными ее положениями. Иными словами, если в какой-то момент при удалении клетки \((i, j)\) существует последовательность перемещений фишки, при которой в данный момент фишка находится в точности в клетке \((i, j)\), вы можете сообщить компьютеру, что игра завершена, и вы победили.

Разумеется, компьютер следит за соблюдением правил, поэтому если вы сообщаете ему о своей победе при удалении клетки, на которой фишка не могла в этот момент находиться, вы автоматически проигрываете.

Определите как можно меньший номер хода, после которого вы можете сообщить комьютеру о своей победе, то есть после которого фишка могла оказаться на удаляемой клетке. Чем ближе ваш ответ к минимальному возможному, тем больше баллов вы получите.

Формат входных данных
В единственной строке ввода даны четыре целых числа \(n\), \(m\), \(r\) и \(c\) — размеры доски и координаты изначального расположения фишки (\(1 \le r \le n \le 1000\); \(1 \le c \le m \le 1000\)).

Во второй строке ввода дано максимальное количество баллов, которое можно получить за соответствующую группу тестов. Ваше решение это значение может игнорировать.

В следующих \(n \cdot m\) строках даны ходы, которые последовательно собирается сделать компьютер. Описание \(t\)-го хода задается тремя целыми числами \(k_t\), \(i_t\) и \(j_t\) — количеством перемещений фишки, которые вам понадобится совершить, и координатами клетки поля, которую после этого требуется удалить (\(1 \le k_t \le 10^9\); \(1 \le i_t \le n\); \(1 \le j_t \le m\)).

Гарантируется, что все удаляемые клетки различны, то есть никакая клетка не удаляется дважды.

Формат выходных данных
Выведите одно целое число от \(1\) до \(n \cdot m\) — номер хода, после которого вы сообщите компьютеру о своей победе.

В первом примере можно, например, первым ходом передвинуть фишку из \((1, 1)\) в \((1, 2)\), а вторым — из \((1, 2)\) в \((2, 2)\) и затем в \((2, 1)\), тем самым поместив ее на удаляемую клетку.

• 2 ≤ N ≤ 2000
• 0 ≤ M ≤ min(2000, N*(N-1)
• 1 ≤ Ai, Bi ≤ N
• Ai не равно Bi.
• Пары (Ai,Bi) уникальны.
• Все значения во входных данных целые числа.

• 2 ≤ N ≤ 2×105
• 0 ≤ M ≤ 2×105
• 1 ≤ Ai < Bi ≤ N
• Пары (Ai,Bi) уникальны.
• Все значения во входных данных целые числа.

Бинарное дерево — это набор вершин, у каждой из которых может быть левый и правый ребёнок. Одна из вершин является корнем дерева, она не является ребёнком какой-то другой. Начав в корне и каждый раз переходя в одного из детей, можно дойти до любой вершины. Множество вершин, до которых можно дойти из заданной, называется её поддеревом.

У бинарного дерева есть три основных обхода: прямой (pre-order), центрированный (in-order) и обратный (post-order).

Прямой обход дерева — это порядок его вершин, полученный следующим рекурсивным алгоритмом:

1. Добавить корень дерева в обход.

2. Если у корня есть левый ребёнок, выписать прямой обход его поддерева.

3. Если у корня есть правый ребёнок, выписать прямой обход его поддерева.

В центрированном обходе корень дерева выписывается между обходами поддеревьев его детей, в обратном — после обходов поддеревьев его детей.

Обобщим эти три варианта обхода: пусть в каждой вершине записано целое число \(x\) от \(-1\) до \(1\), обозначающее, в какой момент мы выписываем эту вершину, а именно:

• \(x = -1\): до обходов поддеревьев её детей;

• \(x = 0\): между обходами поддеревьев её детей;

• \(x = 1\): после обходов поддеревьев её детей.

Таким образом, если во всех вершинах записано \(-1\), обход является прямым, если \(0\) — центрированным, если \(1\) — обратным.

Рассмотрим дерево с \(n\) вершинами, пронумерованных от \(1\) до \(n\). Корень дерева — вершина \(1\). Изначально во всех вершинах записано число \(-1\).

В рамках исследования необходимо обработать \(q\) запросов одного из следующих типов:

1. Поменять числа в вершинах \(l, l+1, \dots, r\) на \(x\) (\(x\) равен \(-1\), \(0\) или \(1\)).

2. Сообщить, на какой позиции в текущем обходе будет стоять вершина \(i\).

Необходимо вывести ответы на все запросы второго типа.

В первой строке входных данных даны два целых числа \(n\) и \(q\) (\(1 \le n, q \le 100\,000\)).

В следующих \(n\) строках даны по два целых числа \(L_i\) и \(R_i\) (\(0 \le L_i, R_i \le n\)) — номер левого и правого ребёнка вершины \(i\) соответственно, либо \(0\), если соответствующий ребёнок отсутствует.

Гарантируется, что \(L_i\) и \(R_i\) задают корректное бинарное дерево.

Формат входных данных
В следующих \(q\) строках даны запросы. Первое число в строке \(t\) (\(t \in \{1, 2\}\)) — тип запроса.

В случае запроса первого типа далее даны целые числа \(l\), \(r\) и \(x\) (\(1 \le l \le r \le n\), \(x\) равен \(-1\), \(0\) или \(1\)) — границы отрезка вершин, в которых меняются числа, и новое значение.

В случае запроса второго типа далее дано число \(i\) (\(1 \le i \le n\)) — номер вершины, позицию которой в обходе необходимо вывести.

Формат выходных данных
На каждый запрос второго типа выведите единственное число от \(1\) до \(n\) — позицию соответствующей вершины в обходе.

Пусть \(q_1\) — количество запросов первого типа.

• \([1, 3, 5, 2, 4]\)

• \([5, 2, 3, 4, 1]\)

• \([5, 3, 2, 4, 1]\)

Участникам, использующим язык Python3, рекомендуется отправлять решения на проверку с использованием интерпретатора PyPy3.

Школьники Алиса и Ибрагим — лучшие друзья. У Ибрагима скоро день рождения, и по этому поводу Алиса решила подарить ему новый пазл. Пазл можно представить в виде матрицы из \(2\) строк и \(n\) столбцов, каждый элемент которой \(0\) или \(1\). За один ход можно поменять местами два элемента, стоящие в соседних клетках.

Более формально, будем считать, что строки матриц пронумерованы сверху вниз от \(1\) до \(2\), а столбцы — слева направо от \(1\) до \(n\). Обозначим клетку на пересечении строки \(x\) и столбца \(y\) за \((x, y)\). Будем считать две клетки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) соседними, если \(|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| = 1\).

Алисе не нравится, какой рисунок образуют клетки пазла в данный момент. Она придумала свой рисунок, с которым и планирует подарить Ибрагиму новый пазл, но для этого нужно привести пазл в соответствующее состояние.

В конце учебного года у Алисы очень плотное расписание, и она не хочет тратить на эту задачу много времени. Помогите Алисе найти минимальное количество ходов, за которое она может получить свой рисунок, или скажите, что это невозможно.

Формат входных данных
В первой строке вводится одно целое число \(n\) (\(1 \leq n \leq 200\,000\)) — количество столбцов в пазле.

Следующие две строки описывают рисунок, образованный пазлом в данный момент. В каждой строке вводятся \(n\) целых чисел, каждое из которых равно \(0\) или \(1\).

Следующие две строки описывают желаемый рисунок Алисы в том же формате.

Формат выходных данных
Если Алиса не ошиблась и её рисунок можно получить, найдите и выведите минимальное необходимое количество ходов, иначе выведите \(-1\).

В первом примере из условия подойдет следующая последовательность обменов:

\((2, 1), (1, 1)\)

\((1, 2), (1, 3)\)

\((2, 2), (2, 3)\)

\((1, 4), (1, 5)\)

\((2, 5), (2, 4)\)

Можно показать, что меньшим числом обменов обойтись нельзя, поэтому ответ равен \(5\).

Во втором примере из условия никакая последовательность ходов не приводит пазл к нужному виду.

Напишите программу, которая вычисляет значение арифметического выражения, записанного в виде символьной строки. В выражении используются целые числа, знаки арифметических операций, круглые скобки, вызовы функций ( sin , cos , abs , sqrt ) и имена переменных (только однобуквенные). Результат операции деления – вещественное число.

Первая строка содержит правильную запись арифметического выражения. В следующих нескольких строках записаны значения всех переменных, использованных в выражении. Каждая из этих строк имеет формат:

<имя переменной>=<значение>

Каждое имя переменной состоят из одной строчной буквы латинского алфавита.

Программа должна вывести значение переданного ей выражения как вещественное число. При выводе результата нужно оставить 3 знака в дробной части числа.

Примеры

cos(z+abs(sqrt(r*sin(x+4))))
r=5
z=10
x=3

0.729

Напишите программу, которая вычисляет значение арифметического выражения, записанного в виде символьной строки. В выражении используются целые числа, знаки арифметических операций, круглые скобки и вызовы функций ( sin , cos , abs , sqrt ). Результат операции деления – вещественное число.

На вход программы поступает символьная строка, содержащая правильную запись арифметического выражения.

Программа должна вывести значение переданного ей выражения как вещественное число. При выводе результата нужно оставить 3 знака в дробной части числа.

Примеры

12+cos(sqrt(12+sin(2)))

11.100

Напишите программу, которая вычисляет значение арифметического выражения, записанного в виде символьной строки. В выражении используются только целые числа, знаки арифметических операций (+-*/) и скобки произвольной вложенности. Результат операции деления – целое число.

На вход программы поступает символьная строка, содержащая правильную запись арифметического выражения, возможно, со скобками.

Программа должна вывести значение переданного ей выражения как целое число.

Примеры

(5+20)*(98-34)/(5*8-23)

94

• Пусть di - количество городов, непосредственно связанных с городом i (1<=i<=N), и этими городами будут города a_i,1, ..., ai,di,перечисленных в порядке возрастания.
• I-я строка (1<=i<=N) должна содержать di+1 целое число: di, ai,1,...,ai,di в указанном порядке, разделенные пробелами.

Примеры

Примеры

5 4
1 3
1 2
2 3
2 4

4
4
3
4
1

Примеры

4
11 10 11 11
1 2
2 3
2 4

Примеры

Примеры