Простые числа и разложение на множители

В далеком королевстве жил могучий маг по имени Максимус, который обладал уникальной способностью управлять волшебными кристаллами. Эти кристаллы были не простыми — на каждом из них написано целое число, колеблющееся от –100 000 до 100 000. Однажды, Максимус решил провести эксперимент и выяснить, сколько волшебных троек кристаллов он сможет найти.

Но не просто троек! В каждой тройке должно быть хотя бы одно число, которое таит в себе загадочную цифру 2. Кроме того, сумма чисел, записанных на этих трех кристаллах должна быть простым числом, потому что простые числа это любимые числа Максимуса. (Тройкой кристаллов Максимус считает три кристалла, которые лежат рядом.)

Итак, наш маг отправился в путешествие по своей коллекции кристаллов. Он проверял каждую тройку лежащих рядом кристаллов, проверяя каждую на наличие заветной цифры 2 и вычисляя их сумму. В конце концов, он хотел узнать, сколько таких волшебных троек ему удалось найти, и какая из них имела максимальную сумму.

Помогите Максимиусу в его приключении! Напишите программу, которая определит количество таких троек и вычислит максимальную сумму среди них. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных троек, затем максимальную сумму элементов таких троек.

Формат входных данных
В первой строке вводится число N (1<=N<=10 000)  - количество кристаллов, которые имеются у Максимуса. В следующих N строках, по одному в строке, вводятся N целых чисел - числа, которые записаны на кристаллах (все числа по модулю не более 100 000).


Формат выходных данных

В ответе запишите два числа в одной строке через пробел: сначала количество найденных троек чисел, затем максимальную сумму элементов таких троек.

Старец Летовец, известный своими суперскиллами, решил научить своих учеников создавать "Последовательность Трёх Сил". Он дал им список чисел и сказал: "Отсортируйте эти числа так, чтобы они образовали Последовательность Трёх Сил. Вот правила:"

1. Сила Тройки. Числа, которые делятся на 3, должны идти первыми.

2. Сила Порядка. Среди чисел, делящихся на 3, меньшие числа должны идти перед большими.

3. Сила Простоты. Среди чисел, не делящихся на 3, числа имеющие большее количество делителей должны идти раньше, чем числа имеющие меньшее количество делителей. При равном числе делителей, числа должны идти в порядке убывания.

Напишите программу, которая реализует это правило, и создаёт Последовательность Трёх Сил из любого списка целых чисел.

Формат входных данных
В первой строке записано натуральное число n (n <= 10⁵) - количество целых чисел в списке. Далее, в n строках записано по одному целому числу numi ( -10⁵ <= numi <= -10⁵).


Формат выходных данных
Выведите в одной единственной строке Последовательность Трёх Сил, составленную из исходного списка чисел.

Вывести все простые числа от M до N включительно.

Входные данные
В первой строке находятся разделённые пробелом M и N. 2 <= M <= N <= 1 000 000.

Выходные данные
Вывести числа в порядке возрастания, по одному в строке. Если между M и N включительно нет простых - вывести "Absent".

Задано число \(n\). Требуется найти число от 1 до \(n\), включительно, которое имеет максимальное число положительных целых делителей.

Например, если \(n = 20\), то искомое число — 12, у него 6 делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Формат входных данных
На вход подается одно число \(n\) (\(1 \le n \le 100\,000\))

Формат выходных данных
Выведите на первой строке число от 1 до \(n\), включительно, которое имеет максимальное число делителей. На второй строке выведите число его делителей.

Если есть несколько чисел от 1 до \(n\) с максимальным числом делителей, выведите любое из них.

Натуральное число \(p\) называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: \(1\) и \(p\). Например, числа \(2\), \(3\), \(5\) являются простыми. Число \(1\) простым не считается.

Целое число \(p\) будем называть квазипростым, если \(p\) или \(-p\) является простым. Например, числа \(-2\), \(2\), \(-3\), \(3\), \(-5\), \(5\) являются квазипростыми.

Хотя любое натуральное число можно единственным образом представить в виде произведения простых, для целых чисел и квазипростых это уже неверно. Например, число \(12\) можно тремя способами представить в виде произведения квазипростых: \(12=2\cdot 2\cdot 3\), \(12=(-2)\cdot 2\cdot (-3)\), \(12=(-2)\cdot (-2)\cdot 3\).

Задано целое число \(n\). Выведите все способы представить \(n\) в виде произведения квазипростых. Произведения, которые отличаются только порядком множителей, считаются одним способом.

Формат входных данных
На первой строке ввода находится число \(n\) (\(-10^9 \le n \le 10^9\), \(n \ne 0\), \(n \ne \pm 1\)).

Формат выходных данных
На первой строке выведите \(k\) — количество способов представить \(n\) в виде произведения квазипростых. В следующих \(k\) строках выведите все способы представить \(n\) в виде произведения квазипростых. Произведения можно выводить в любом порядке, множители в каждом произведении можно выводить в любом порядке.

Целое число \(x\) называется свободным от квадратов, если нет такого целого числа \(y > 1\), что \(x\) делится на \(y^2\), то есть \(x = y^2z\) для некоторого целого \(z\).

Даны числа \(l\) и \(r\). Требуется найти число пар целых чисел \((a, b)\), таких что \(l \le a < b \le r\), и числа \(a\), \(b\), а также их произведение \(ab\) свободны от квадратов.

Формат входных данных
На вход подается две строки, первая содержит целое число \(l\), а вторая "— целое число \(r\) (\(1 \le l < r \le 10^9\), \(r - l \le 1000\)).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — искомое число пар.

Примечание
В примере подходят пары \(a = 3, b = 5\), \(a = 5, b = 6\). Число \(4\) не может входить в пару, так как \(4 = 2^2\cdot 1\), а пара \(a = 3, b = 6\) не подходит, так как \(ab = 3\cdot 6 = 18 = 3^2\cdot 2\).

Будем называть два натуральных числа \(x\) и \(y\) непохожими, если они различны и нет двух различных отличных от \(1\) чисел \(a\) и \(b\), таких, что и \(x\) и \(y\) делятся как на \(a\), так и на \(b\). Например, 6 и 9 непохожи, так как единственное число, отличное от 1, на которое делятся оба числа "— 3. А вот числа 12 и 18 не являются непохожими, так как оба делятся на 2, 3 и 6.

Задано натуральное число \(x\), а также натуральные числа \(l\) и \(r\). Требуется найти все числа \(y\), такие что \(l \le y \le r\), и числа \(x\) и \(y\) непохожи.

Формат входных данных
На первой строке ввода задано число \(x\) (\(1 \le x \le 10^9\)).

На второй строке ввода задано число \(l\), на третьей строке ввода задано число \(r\) (\(1 \le l \le r \le 10^9\); \(r - l \le 1000\)).

Формат выходных данных
На первой строке выведите число \(k\) "— количество непохожих на \(x\) чисел на отрезке от \(l\) до \(r\), включительно.

На второй строке выведите все эти числа в возрастающем порядке.

У Деда Мороза есть N мешков с подарками. Каждый мешок имеет вес a1, a2, ..., aN. Для равномерной нагрузки на сани Деду Морозу необходимо, чтобы вес всех мешков был одинаковым. Чтобы этого добиться, Дед Мороз своим волшебным посохом может выполнить одну из следующих операций любое количество раз, возможно ноль раз.

• Дед Мороз может выбрать любой мешок и если его вес кратен двум, то уменьшить вес в два раза.
• Дед Мороз может выбрать любой мешок и если его кратен трем, то уменьшить вес в три раза.

На каждую операцию у Деда Мороза уходит 1 секунда.

Найдите минимальное общее количество секунд, которое необходимо Деду Морозу, для достижения одинакового веса всех мешков с подарками. Если нет способа достичь цели, выведите вместо этого значение -1.

Входные данные
Программа получает на вход в первой строке целое число N (2 <= N <= 1000). Во второй строке записаны N чисел ai - вес i-го мешка с подарками (1 <= ai <= 10⁹).


Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 1 4 3	3
2	3 2 7 6	-1
3	6 1 1 1 1 1 1	0

Пусть a₁ = 2, a₂ = 3, a_n = a_1·a₂·...·a_n-1 – 1 при n ≥ 3. Назовем числа ai псевдопростыми. Для заданного натурального числа X нужно ответить на вопрос: можно ли X однозначно представить в виде произведения псевдопростых чисел (представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми), и, если можно — выдать разложение.<

Входные данные
Вводится одно натуральное число X, 1 < X ≤ 10⁹.

Выходные данные
Выведите псевдопростые числа, произведение которых равно X, в произвольном порядке. Если разложения не существует или оно не единственно, выдать 0.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6	2 3
2	5	5
3	7	0

Для того чтобы проверить, как ее ученики умеют считать, Мария Ивановна каждый год задает им на дом одну и ту же задачу — для заданного натурального A найти минимальное натуральное N такое, что N в степени N (N, умноженное на себя N раз) делится на A. От года к году и от ученика к ученику меняется только число A.
Вы решили помочь будущим поколениям. Для этого вам необходимо написать программу, решающую эту задачу.
Формат входных данных
Во входном файле содержится единственное число A (1 ≤ A ≤ 1000000000 — на всякий случай; вдруг Мария Ивановна задаст большое число, чтобы кого-нибудь “завалить”).
Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число N.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8	4
2	13	13

У калькулятора есть две ячейки памяти: содержимое первой из них всегда отображается на табло, вторая является буфером. В начальный момент времени на табло калькулятора отображается целое число X, а в буфере записано число 0. У калькулятора работают только две клавиши: «+» и «=». При нажатии на «+» число, которое в данный момент отображено на табло, копируется в буфер. При нажатии на «=» число из буфера прибавляется к числу, отображенному на табло и результат отображается на табло, число в буфере при этом не меняется.

Требуется за наименьшее число нажатий клавиш на калькуляторе добиться того, чтобы на табло было отображено число Y.

Входные данные
Входной файл содержит два целых числа X и Y. Каждое из этих чисел по модулю не превышает 10⁹.

Выходные данные
В первую строку выходного файла выведите одно число — количество нажатий клавиш, которое потребуется для получения числа Y. Если из числа X получить число Y с помощью указанных операций невозможно, в выходной файл выведите одно число –1.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	-1 -8	6
2	2 16	6
3	0 0	0

Представьте число 2011 в виду суммы K последовательных простых чисел (то есть простых чисел, между которыми нет других простых чисел). Например, число 31 можно представить в виде суммы трех посдедовательных простых чисел следующим образом: 7 + 11 + 13 = 31.

Входные данные
Вводится одно натуральное число K (от 1 до 2011).

Выходные данные
Выведите слагаемые в порядке возрастания, разделяя их пробелом.

Если разложить в сумму K слагаемых невозможно, выведите NO SOLUTION (заглавными буквами).

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3	661 673 677
2	2	NO SOLUTION

Напишите программу, находящую количество троек целых чисел a, c, p таких, что p — простое число, числа удовлетворяют равенству: $$ \sqrt{a} - \sqrt{c} = \sqrt{p}. $$ Каждое из чисел a, c и p лежит в промежутке от N до M (то есть \(N<=a<= M,\ N<=c<= M,\ N<=p<= M\)).  

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1 8	1
2	5 20	1
3	1 7	0

–Т—Л–≤–µ–і–Є—В–µ –і–≤–∞–і—Ж–∞—В—М –њ–µ—А–≤—Л—Е –њ—А–Њ—Б—В—Л—Е —З–Є—Б–µ–ї
 

Формат входных данных

Формат входных данных