Комбинаторика

42 задачи
Число у задачи — рейтинг сложности, слово рядом — насколько она трудна по сравнению с другими задачами такого же типа. Шкалы задач с ответом и задач с кодом между собой не сравниваются. Рядом — счётчики попыток: успешные, неуспешные.
К Коле на день рождения придут n друзей.
По этому случаю он заготовил n бутылок различных напитков, а каждый из друзей принесет свой стакан.

Коля знает размеры стаканов каждого друга, однако, может случится так, что содержимое конкретной бутылки может не поместиться полностью в конкретный стакан, если объем бутылки больше объема стакана. При этом Коля не хочет, чтобы после угощения что-то осталось, поэтому будет разливать напитки только так, чтобы они полностью поместились в стаканы. Напиток полностью помещается в стакан, если объем, содержащей его бутылки, не превосходит объем стакана.

Коля хочет своеобразно оценить сколько способов есть разлить напитки по стаканам друзей так, чтобы все напитки полностью поместились в стаканы. Так как число способов может быть довольно большим, Коля хочет знать его по модулю 1 000 000 007. Помогите Коле посчитать это число.

 Входные данные
В первое строке дано число t - число тестовых наборов (1≤t≤100).
Каждый тестовый набор задается тремя строками. В первой из них дано число ni - число стаканов и бутылок напитков в i-ом наборе (1≤ni≤105).
Во второй строке даны ni чисел bi,j - объемы стаканов в i-м наборе (1≤ai,j,bi,j≤100).
В третьей строке заданы ni чисел ai,j - объемы бутылок в i-м наборе.
Гарантируется, что сумма ni по всем тестовым наборам не превосходит 3⋅105.

Выходные данные
Для каждого тестового набора выведите одно число - число способов разлить напитки по стаканам друзей так, чтобы все напитки полностью поместились в стаканы, взятое по модулю 1 000 000 007.
 
Примеры
Входные данные Выходные данные Пояснение
1 3
3
1 1 1
1 2 1
5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3
2 2 2
2 1 2
0
1
6
В первом тестовом наборе второй напиток не помещается ни в один стакан, поэтому ответ будет ноль. Во втором тестовом наборе, существует лишь один способ разлить напитки. В третьем наборе любой напиток можно налить в любой стакан.

Определите количество различных способов выплаты сдачи в размере n рублей купюрами 10 рублей и монетами 5, 2 и 1 рубль.

Например, 5 рублей можно выплатить четырьмя различными способами: 5 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Входные данные 
На вход программе подается натуральное число n <= 100 — размер сдачи, которую необходимо выплатить.
 
Выходные данные 
Выведите искомое количество способов выплаты.

 
Примеры
Входные данные Выходные данные
1 2 2
2 5 4

По данным числам n и k (0<=k<=n) вычислите \(С_n^k\) . Для решения используйте рекуррентное соотношение \(C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k\).

Решение оформите в виде функции C(n, k).

Входные данные: Вводятся целые числа n и k.
Выходные данные: Выведите ответ на задачу.

Примеры
Входные данные Выходные данные
1 4
2
6
Маленький Петя очень любит точки. Недавно мама подарила ему n точек, лежащих на прямой OX. Пете стало интересно, сколькими способами он может выбрать три различные точки так, чтобы расстояние между двумя самыми удаленными из выбранных точек не превышало d.
Обратите внимание, что порядок точек внутри выбранной тройки значения не имеет.

Входные данные
Первая строка содержит два целых числа: n и d (1 ≤ n ≤ 105; 1 ≤ d ≤ 109). Следующая строка содержит n целых чисел x1, x2, ..., xn, по модулю не превосходящих 109 — x-координаты точек, подаренных Пете.
Гарантируется, что координаты точек во входных данных строго возрастают.

Выходные данные
Выведите единственное целое число — количество троек точек, в которых расстояние между двумя самыми удаленными точками не превосходит d.
Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на С++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d.
 
Ввод Вывод
4 3
1 2 3 4
4
4 2
-3 -2 -1 0
2
5 19
1 10 20 30 50
1
 
В первом примере нам подходит любая тройка различных точек.
Во втором примере нам подходят всего 2 тройки: {-3, -2, -1} и {-2, -1, 0}.
В третьем примере нам подходит одна тройка: {1, 10, 20}.
 
Фермер Джон придумал игру для своих коров
 
Она играется на решётке R*C (2 <= R <= 750, 2 <= C <= 750), где каждый квадрат помечен целым числом от 1 до K (1 <= K <= R*C). Коровы выполняют последовательность прыжков, начиная в левом верхнем квадрате и заканчивая в правом нижнем квадрате и прыжок является корректным если и только если:
 
1) Вы прыгаете на квадрат c другим числом
 
2) Квадрат, куда Вы прыгаете, как минимум на одну строку ниже квадрата, в котором Вы сейчас стоите
 
3) Квадрат, в который Вы прыгаете как минимум на одну колонку правее квадрата, в котором Вы сейчас стоите
 
Пожалуйста, помогите коровам вычислить количество возможных различных последовательностей корректных прыжков из левого верхнего квадрата в правый нижний.
 
INPUT FORMAT:
Первая строка ввода содержит целые числа R, C, K. Каждая из следующих R строк содержит C целых чисел, каждое в интервале 1..K.
 
OUTPUT FORMAT
Выведите количество различных способов пропрыгать из левого верхнего угла в правый нижний, по модулю 1000000007.
 
Ввод Вывод
4 4 4
1 1 1 1
1 3 2 1
1 2 4 1
1 1 1 1
5
Ферма Джона представлена решёткой N×N полей (1≤N≤500). Каждое поле представлено символом латинского алфавита. Например:
ABCD
BXZX
CDXB
WCBA
Каждый день корова Беси прогуливается из верхнего левого угла в правый нижний, каждый раз двигаясь на один шаг вправо или вниз. Беси записывает в строку буквы, по которым прошлась. Она огорчится, если у неё получится палиндром (слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево), поскольку тогда она запутается, в каком направлении двигалась.
 
Пожалуйста, помогите Беси определить количество различных маршрутов которыми она может получить палиндромы. Различные пути, которыми получаются одинаковые палиндромы учитывать множество раз. Выведите свой ответ по модулю 1,000,000,007.
 
ФОРМАТ ВВОДА:
Первая строка ввода содержит N, и последующие N строк содержат N строк решётки, описывающей поля. Каждая строка содержит N символов в интервале A..Z.
 
ФОРМАТ ВЫВОДА:
Выведите количество различных путей Беси, формирующих палиндромы по модулю 1,000,000,007.
 
Ввод Вывод
4
ABCD
BXZX
CDXB
WCBA
12
Примечание:
Беси может сделать следующие палиндромы:
 
1 x "ABCDCBA"
1 x "ABCWCBA"
6 x "ABXZXBA"
4 x "ABXDXBA"
Boolean satisfiability problem (SAT) is known to be a very hard problem in computer science. In this problem you are given a Boolean formula, and you need to find out if the variables of a given formula can be consistently replaced by the values true or false in such a way that the formula evaluates to true. SAT is known to be NP-complete problem. Moreover, it is NP-complete even in case of 3-CNF formula (3-SAT). However, for example, SAT problem for 2-CNF formulae (2-SAT) is in P.

#SAT is the extension of SAT problem. In this problem you need to check if it is possible, and count the number of ways to assign values to variables. This problem is known to be #P-complete even for 2-CNF formulae. We ask you to solve #1-DNF-SAT, which is #SAT problem for 1-DNF formulae.
You are given a Boolean formula in 1-DNF form. It means that it is a disjunction (logical or) of one or more clauses, each clause is exactly one literal, each literal is either variable or its negation (logical not). Formally:
Your task is to find the number of ways to replace all variables with values true and false (all occurrences of the same variable should be replaced with same value), such that the formula evaluates to true.

Input
The only line of the input file contains a logical formula in 1-DNF form (not longer than 1000 symbols). Logical operations are represented by ‘|’ (disjunction) and ‘~’ (negation). The variables are ‘A’ . . . ‘Z’ and ‘a’ . . . ‘z’ (uppercase and lowercase letters are different variables). The formula contains neither spaces nor other characters not mentioned in the grammar.

Output
Output a single integer — the answer for #SAT problem for the given formula
 
Input Output
a 1
B|~B 2
c|~C 3
i|c|p|c 7

Для данного слова (последовательности строчных латинских букв) выведите следующее за ним (в лексикографическом порядке) слово, которое может быть получено из данного перестановкой букв (анаграмму). Если данное слово уже является последним среди всех своих анаграмм, то необходимо вывести первую возможную (в лексикографическом порядке) анаграмму.

Входные данные
В первой строке задается число N - количество слов. Далее идет последовательность из N слов, по одному слову в строке. Длина одного слова не превышает 50 символов.

Выходные данные
Необходимо вывести  результат для каждого полученного на вход слова.
 

 

Примеры
Входные данные Выходные данные
1 4
aab
aba
baa
aaa
aba
baa
aab
aaa
В государстве Чудаков N городов ( 2 <=N <= 16 ), обозначаемых заглавными латинскими буквами, начиная с A, по порядку. Между некоторыми из них проложены дороги, которые могут быть как односторонними, так и двусторонними, причем не обязательно, что из каждого города можно проехать в любой другой.

В государстве всего один маршрут автобуса – 'Ч', который совершает только один рейс каждый день. Выходя из некоторого города, он совершает ровно N переездов между городами так, чтобы вернуться в тот, из которого выехал. Других ограничений на его маршрут нет. В течение дня автобус может несколько раз проезжать один и тот же город или дорогу. В каждом городе существуют автобусные парки, из которых могут выезжать автобусы маршрута 'Ч'. Так что, хотя автобус каждый день возвращается в город, из которого стартовал в этот день, на следующий день начало маршрута 'Ч' может быть из любого другого города. Но рейс каждый день только один.

Маршрут обозначается N буквами, начиная с города, из которого происходит выезд. Например, BCDCE – допустимый маршрут для государства из 5 городов ссоответствующими дорогами: выехать из B, проехать в C, затем в D, вернуться в C, проехать в E и вернуться в изначальный город B (последний пункт маршрута, совпадающий с первым, в маршруте не указывается).

Маршрут автобуса меняется каждый день так, что список маршрутов по дням расположен в словарном порядке и содержит все возможные маршруты. Когда список кончается, его обход начинается сначала. В первый день введения маршрута 'Ч' автобус шёл по первому по порядку маршруту. Выведите его маршрут на день K работы маршрута. Пример: В государстве четыре города: A, B, C, D. Наличие дорог между ними задано матрицей, где элемент равен 1, если из города, соответствующего строке, в город, соответствующий столбцу, есть дорога, и 0 – иначе (на главной диагонали нули – дорог, ведущих назад в тот же город, не бывает).

 
откуда/куда A B C D
A 0 0 1 1
B 1 0 1 1
C 0 1 0 0
D 0 1 1 0


Полное расписание маршрутов в таком государстве выглядит так:
ADCB
BADC
BCBC
BCBD
BDBC
BDBD
CBAD
CBCB
CBDB
DBCB
DBDB
DCBA

Таким образом, например, маршрут на день 30 – это BDBD.

Формат входных данных
В первой строке указывается количество городов N ( 2<= N <= 16 ). Далее следует N строк по N элементов (цифр), разделенных пробелом, содержащих матрицу, задающую дороги между городами. Далее следует строка содержащая целое число D – номер дня, маршрут которого требуется определить ( 1<= D <= 264 ).

Формат выходных данных
В единственной строке указывается маршрут, т.е. порядок посещения городов, например BDBD (см. предыдущий пример).
 
Ввод Вывод
3
0 1 1
1 0 1
1 1 0
4
BCA

 
S.L.O.T.#27023
Вчера знаменитый певец S.L.O.T. исполнил на концерте свой лучший трек "10 марта" и множество других. Дамир ОЧЕНЬ захотел на этот концерт и уже купил билеты, как вдруг понял, что до концерта всего час, а ему нужно доехать до места проведения концерта (естественно, на трамвае). 
Трамвай необходимое расстояние преодолевает за 59 минут. Будем считать, что концерт проводится на трамвайной остановке, то есть Дамир вполне на него успевает, но ему подходит только ему подходят лишь трамваи, номера которых являются перестановками от 1 до n. При этом он только что увидел, как с его остановки уезжает трамвай с номером p. Однако Дамир - великий эстет, и он хочет сесть на трамвай, номер которого равен следующей перестановке после p. Поскольку трамваи подходят к его остановке мнгновенно, на концерт любимого исполнителя он успеет в любом случае. 

Вам дана последовательность из номеров трамваев, которые в ближайшем времени подойдут к остановке Дамира и Ваша задача состоит в том, чтобы сообщить порядковый номер трамвая, который подойдёт Дамиру(все номера нумеруются с единицы. то есть если на вход вам даётся 6 номеров, то их порядковые номера идут в таком порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 

Входные данные: 
В первой строке вводится число n - количество чисел в перестановке в номере трамвая 
Во второй строке ЧЕРЕЗ ПРОБЕЛ!! вводится n чисел, которые задают p - номер трамвая, который только что отошёл от остановки Дамира 
Третья строка содержит k - количество трамваев, которые скоро подъедут к остановке Дамира (гарантируется, что один из трамваев подходит Дамиру) 
Далее идут k строк, которые содержат по n чисел через пробел - номера трамваев 
(n <= 7, k <= 5) 

Выходные данные: 
выведите порядковый номер трамвая, который подходит Дамиру (если таких несколько, выведите наименьший из них, то есть порядковый номер того искомого трамвая, который подъедет к остановке Дамира раньше).

Ввод Вывод

1 2 

1 1 
1 4 
2 1 
1 2 
2 1
3


(c) Васильев Алексей

Как известно, в интернете достаточно часто взламывают аккаунты. Вот и Аркадию снова пришло уведомление, что его пытались взломать. Он хочет придумать сложный пароль, но такой, чтобы его было легко запомнить. Он легко запоминает пароль, если он состоит из его любимых слов и комбинаций цифр, и считает его достаточно сложным, если все его любимые слова чередуются с любимыми наборами цифр. У него есть список таких слов и наборов цифр, помогите ему подобрать максимальное число таких комбинаций таких. 
 
Ввод:
в первой строке вводится n - количество слов и наборов цифр, в следующих n строках вводятся слова / наборы цифр. (n<20, длина строк не превышает 20). 
Вывод:
Необходимо вывести все возможные перестановки слов и наборов цифр, если это невозможно, вывести "unreal".

Ввод Вывод
3
cat
123
215
123cat215
215cat123


(с) Вероника Пеутина

На уроке информатике Антон Витальевич задал придумать задачи на перестановки. Ребята в 43 кабинете очень обрадовались этому заданию и решили придумать n гробов для своего класса. Сложность каждой задачи – это число от 1 до n. Ребята хотят узнать насколько, они «загробили» контест, коэффициент «загробленности» (КЗ) считается, как номер перестановки, которую подали на ввод. Ребята радуются, если КЗ будет больше, чем сумма разниц между двумя подряд идущими элементами в данной перестановки по модулю умноженная на количество гробов в контесте.
 
Вывести “positumque loculum” (гроб), если ребята будут рады своей работе, иначе вывести наименьшую подходящую перестановку (элементы разделять пробелами), номер которой |КЗ – номер текущей| <= k, а если это невозможно, то вывести “easily”.
 
В первой строке вводится количество гробов в контесте n <= 7 и k, 0 <= k <= n!
 
Во второй строке вводится сама перестановка.
Ввод Вывод
7 2518
7 5 2 4 1 6 3
positumque loculum
4 1
3 2 4 1
easily
4 2
3 2 4 1
3 4 2 1


Приятного решения ♥♥
(с) Елизавета Ястреба

Вам даны две строки - S и одна из её перестановок - P. Требуется найти номер строки P среди всех перестановок строки S, отсортированных по убыванию в лексикографическом порядке.
 
Входные данные: 
На вход подаются две строки - S и P (1 =< |S| <= 9). В строках содержатся только строчные буквы латинского алфавита.
Выходные данные: 
Выведите одно число - номер перестановки P. 

Ввод Вывод
abcd dcba 1
abc abc 6

(с) Ахмад Ибрахим
В школьный набор из N предметов могут входить ручки, карандаши, ластики и тетрадки. Предметы одного типа друг от друга не отличаются. Сколько способов составить школьный набор так, чтобы ручек было больше, чем карандашей?
Порядок предметов в наборе не важен, т.е. наборы “ручка, ластик, ластик” и “ластик, ручка, ластик” считаются одинаковыми.

Формат входных данных
В первой строке входного файла записано натуральное число N> (1<=N<<=100).

Формат выходных данных
Вывести искомое количество наборов.
 
Ввод Вывод
2 3
 
 
Вам дана строка символов, состоящая из заглавных букв латинского алфавита. Подсчитайте сколько различных палиндромов можно составить, меняя местами буквы этой строки. Палиндромом называется строка, которая одинаково читается как справа налево, так и слева направо. Например, “ABCBA” - палиндром, а “ABCDA” - нет.

Формат входных данных
В первой строке входного файла содержится непустая строка, состоящая из заглавных букв латинского алфавита. Её длина не превосходит 35 символов.

Формат выходных данных
Вывести целое число - искомое количество различных палиндромов. Палиндромы считаются различными, если у них есть отличие хотя бы в одном символе.

Ввод Вывод
ABCBA 2
 
Болик добрался до музея, здание которого представляет собой квадрат N × N, разбитый на N2 равных квадратных залов. Вход в музей расположен в левом нижнем зале, а Лёлик ждет Болика в правом верхнем. Из каждого зала можно пройти в соседний с ним зал (два зала называются соседними, если у них есть общая стена). 
Теперь Болик хочет определить сколько возможных путей до Лёлика у него есть. Конечно, его интересуют только пути кратчайшей длины. 
 
Формат ввода
На вход подается одно натуральное число N (2 ≤   N ≤   22). 
 
Формат вывода
Выведите единственное натуральное число — количество различных путей наименьшей длины. 
 
Пример
Ввод Вывод
3 6

Вы разрабатываете систему, одной из задач которой является составление расписания работы над задачами, выполняемыми некоторой организацией, занимающейся разработкой программного обеспечения.

Известно, что организации необходимо выполнить n задач, пронумерованных натуральными числами от одного до n. На выполнение каждой задачи требуется ровно один день, и в каждый день может быть выполнена только одна задача. Таким образом, на выполнение всех задач потребуется n дней, а расписание выполнения задач выглядит как назначение определенного дня на выполнение каждой задачи. Для каждой задачи известно также число ai — номер дня, ранее которого не может быть начато выполнение этой задачи.

Ваша программа должна, имея информацию о количестве задач и днях, ранее которых выполнение задач не может быть начато, определить количество допустимых расписаний выполнения задач—  количество таких расписаний, при которых каждая задача выполняется не ранее указанного для нее дня.

Входные данные

В первой строке находится натуральное число n (1 ≤ n ≤ 8) — количество задач, которые необходимо выполнить.

Следующая строка содержит n натуральных чисел ai (1 ≤ ai ≤ n) — для каждой работы номер дня, ранее которого не может быть начато выполнение этой задачи. Числа отделены друг от друга одним пробелом.

Выходные данные

Выведите одно число — количество различных допустимых расписаний выполнения задач.

Пример входных и выходных данных

Ввод Вывод
5
2 4 4 2 1
4

Вы разрабатываете систему, одной из задач которой является составление расписания работы над задачами, выполняемыми некоторой организацией, занимающейся разработкой программного обеспечения.

Известно, что организации необходимо выполнить n задач, пронумерованных натуральными числами от одного до n. На выполнение каждой задачи требуется ровно один день, и в каждый день может быть выполнена только одна задача. Таким образом, на выполнение всех задач потребуется n дней, а расписание выполнения задач выглядит как назначение определенного дня на выполнение каждой задачи. Для каждой задачи известно также число ai — номер дня, не позднее которого эта задача должна быть выполнена.

Ваша программа должна, имея информацию о количестве задач и днях, не позднее которых должны быть выполнены задачи, определить количество допустимых расписаний выполнения задач—  количество таких расписаний, при которых каждая задача выполняется не позднее указанного для нее дня.

Входные данные

В первой строке находится натуральное число n (1 ≤ n ≤ 8) — количество задач, которые необходимо выполнить.

Следующая строка содержит n натуральных чисел ai (1 ≤ ai ≤ n) — для каждой работы номер дня, не позднее которого она должна быть выполнена. Числа отделены друг от друга одним пробелом.

Выходные данные

Выведите одно число — количество различных допустимых расписаний выполнения задач.

Пример входных и выходных данных

Ввод Вывод
5
2 4 4 2 5
4
Артем создает интерактивный сенсор для игры в кости. Сенсор встроен в стол и может считать суммарное число точек на гранях всех брошенных костей, прилегающих к сенсору (то есть, на нижних гранях). Позже Артем понял, что для игры нужно считать сумму не на нижних, а на верхних гранях. Артем хочет написать программу, которая по сумме на нижних гранях сможет находить количество различных возможных сумм на верхних гранях. Но так как Артем не силен в программировании, он поручает эту задачу вам.

Сенсор выдает число s равное суммарному числу точек на нижних гранях игральных костей.
Все бросаемые кости шестигранные и удовлетворяют условию правильной игральной кости, то есть сумма точек на противоположных гранях кубика равна семи (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4). Вам необходимо найти количество возможных сумм на верхних гранях кубиков.
 
Формат входных данных
В первой строке входного файла задано число s  сумма на нижних гранях костей (s <= 105).
 
Формат выходных данных
Выведите одно число: количество различных всевозможных сумм на верхних гранях костей.
 
Ввод Вывод
2 2
4 4
 
Пояснение к примеру
В первом примере на нижних гранях могло выпасть 1 + 1 или 2, суммы на верхних гранях 12 и
5, соответственно.
Перестановкой размера n называется упорядоченный набор из n чисел, в котором каждое число от 1 до n встречается ровно один раз. Например, (4, 2, 3, 5, 1) - это перестановка размера 5.
Нам дано число n и последовательность a, в которой k натуральных чисел.
Вычислите, сколько существует перестановок размера n, которые не начинаются на данную последовательность.

Формат входных данных
В первой строке содержатся два натуральных числа n и k (1 <= n <= 9,  1 <= k <= 100) .
Во второй строке содержатся k натуральных чисел,  составляющие последовательность a. Каждое из этих чисел не превышает 100.
Формат выходных данных
Выведите количество перестановок размера n- которые не начинаются на данную последовательность a.
Ввод Вывод
3 2
2 1
5
5 2
4 4
120
5 6
2 3 9 5 6 6
120
Поделиться
Класснуть