Экзамены и диагностики

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.

Игра завершается, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 176. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой суммарно 176 камней или больше. В начальный момент в первой куче 14 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 161. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно: Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от ходов Вани. В ответе запишите два числа в порядке возрастания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.

Игра завершается, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 165. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой суммарно 165 камней или больше. В начальный момент в первой куче 14 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 150. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после некоторого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.

Игра завершается, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой суммарно 154 камней или больше. В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 142. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.

Игра завершается, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 176. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой суммарно 176 камней или больше. В начальный момент в первой куче 14 камней, во второй — S камней; 1 ≤ S ≤ 161. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам квадратного поля размером N × N, заполненного числами. За один ход Робот может переместиться на одну клетку вправо или вниз.

В «угловых» клетках поля – тех, которые справа и снизу ограничены стенами, Робот не может продолжать движение, поэтому накопленная сумма считается итоговой. Итоговой, может считаться только сумма, кратная 3, если в уголовой клетке число не кратное 3, оно не рассматривается. При этом Робот не подстраивает маршрут под кратность — кратность проверяется автоматически по факту собранной суммы, и маршруты с некратной суммой просто отбрасываются. Таких конечных клеток на поле может быть несколько, включая правую нижнюю клетку поля.

Определите максимальную и минимальную денежные суммы, среди всех возможных ито- говых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в конечную клетку маршрута. В ответе укажите сначала максимальное значение, затем минимальное через пробел.

Исходные данные записаны в прилагаемом файле электронной таблицы, каждая ячейка которой соответствует клетке поля.

Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам квадратного поля размером N × N, заполненного числами. За один ход Робот может переместиться на одну клетку вправо или вниз.

Маршрут Робота начинается в левой верхней клетке и должен обязательно завершиться в одной из нескольких финишных клеток, расположенных в самом нижнем ряду таблицы, номера столбцов которых делятся на 3.

Определите максимальную и минимальную денежную сумму, которую может собрать Ро- бот, пройдя по такому маршруту. В ответе укажите сначала максимальное значение, затем минимальное через пробел.

Исходные данные записаны в прилагаемом файле электронной таблицы, каждая ячейка которой соответствует клетке поля.

Исполнитель Робот стоит в левом верхнем углу поля, разлинованного на клетки. Он может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку; по команде вниз

• в соседнюю нижнюю. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние

стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

В «угловых» клетках поля – тех, которые справа и снизу ограничены стенами, Робот не мо- жет продолжать движение, поэтому накопленная сумма считается итоговой. Таких конечных клеток на поле может быть несколько, включая правую нижнюю клетку поля. При разных запусках итоговые накопленные суммы могут различаться. Определите максимальную и ми- нимальную денежные суммы, среди всех возможных итоговых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в конечную клетку маршрута.

Исходные данные записаны в файле в виде электронной таблицы, каждая ячейка которой соответствует клетке поля. В ответе запишите два числа – сначала максимальную сумму, которую может собрать Робот, затем – минимальную.

В файле содержится последовательность целых чисел от -10 000 до 10 000. Определите ко- личество пар идущих подряд элементов, в которых хотя бы одно число отрицательное, а их сумма больше количества чисел в файле, которые делятся на 27 без остатка. В ответе запи- шите два числа: сначала количество найденных пар, затем максимальную сумму элементов таких пар.

В файле содержится последовательность целых чисел. Определите количество пар идущих подряд элементов, в которых остаток от деления хотя бы одного элемента пары на 33 равен минимальному числу в последовательности. В ответе запишите два числа: сначала количе- ство найденных пар, затем максимальную сумму элементов таких пар.

В прилагаемом файле содержится последовательность целых чисел. Определите количество пар идущих подряд элементов, в которых элементы не равны друг другу, а абсолютная разность между ними кратна минимальному положительному элементу последовательности, который кратен 9. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных пар, затем максимальную сумму элементов таких пар.

В файле содержится последовательность целых чисел. Определите количество пар идущих подряд элементов, у которых сумма элементов меньше минимального числа из последова-

тельности, которое положительно и кратно 7. В ответе запишите два числа: сначала коли- чество найденных пар, затем абсолютное значение максимальной суммы.

В файле содержится последовательность целых чисел от 1 до 100 000. Определите коли- чество пар идущих подряд элементов, у которых сумма остатков от деления на 20 равна минимальному числу в файле. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных пар, затем максимальную сумму элементов таких пар.

В файле содержится последовательность целых чисел от -100 000 до 100 000. Определите количество пар идущих подряд элементов, в которых ровно одно число отрицательное, а их сумма меньше количества чисел в файле, которые делятся на 23 без остатка. В ответе запи- шите два числа: сначала количество найденных пар, затем максимальную сумму элементов таких пар.

Алгоритм вычисления функции F(n) для целого неотрицательного n задан соотношениями:

F(n) = n,                      при n ≤ 2;
F(n) = F(n − 2) + 3·n,        при n > 2 и n нечётном;
F(n) = (n + 5)·F(n − 1),       при n > 2 и n чётном.

Определите значение F(2026) / F(2025). В ответе запишите целую часть.

Алгоритм вычисления функции F(n) для натурального n задан соотношениями:

F(1) = 1;
F(n) = n · F(n − 1),   при n > 1.

Определите значение (F(3038) + 3·F(3037)) / F(3036). В ответе запишите целую часть.

Алгоритм вычисления функции F(n) для целого неотрицательного n задан соотношениями:

F(n) = n,                 при n < 10;
F(n) = n + F(n − 3),       при n ≥ 10.

Определите значение F(2566) / F(2557). В ответе запишите целую часть.

Алгоритм вычисления функции F(n) для натурального n задан соотношениями:

F(1) = 1;
F(n) = n · F(n − 1),   при n > 1.

Определите значение (F(3489) // 2 + F(3487)) / F(3486). В ответе запишите целую часть.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Задан отрезок B = [65; 85]. Для какого наибольшего натурального

числа A формула ДЕЛ(x,A)∨ ((x ∈ B)→ ДЕЛ(x, 15)) тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом целом положительном зна- чении переменной x?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A логическое выражение (x + y ≤ 33)∨ (y ≤ x + 9)∨ (y ≥ A) тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых положительных x и y?

Для какого наименьшего натурального числа A формула (y > 10)∨ (x · A > y + x) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых натуральных x и y?