Линейные структуры

Примеры

8 2
ABBAABCB
3 6
1 4

Дана последовательность вещественных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_N\) и целое число \(K\). Для каждого индекса \(i\), удовлетворяющего условию \(K+1 \le i \le N-K\), рассмотрим множество его \(2K\) соседей: \[S_i = \{ a_{i-K}, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_{i+K} \}.\] Вычислим среднее арифметическое элементов этого множества: \[\mu_i = \frac{1}{2K} \sum_{x \in S_i} x\] и их стандартное отклонение: \[\sigma_i = \sqrt{ \frac{1}{2K} \sum_{x \in S_i} (x - \mu_i)^2 }.\] Элемент \(a_i\) называется выбросом, если выполняется неравенство \[|a_i - \mu_i| > 2\sigma_i.\] Если \(\sigma_i = 0\) (все числа в \(S_i\) равны), то условие превращается в \(|a_i - \mu_i| > 0\), то есть \(a_i\) считается выбросом, когда он отличается от этого общего значения.

Требуется определить количество выбросов среди всех элементов, для которых определена окрестность (т. е. для \(i = K+1, K+2, \dots, N-K\)).

Напишите и сдайте программу на языке Python, которая по заданным данным вычисляет количество выбросов.

Входные данные
Первая строка содержит два целых числа \(N\) и \(K\) (\(1 \le K \le \lfloor N/2 \rfloor\), \(N \le 200\,000\)). Вторая строка содержит \(N\) вещественных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_N\), разделенных пробелами

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество выбросов.
 

Примеры

В деревне Летовецк, где живут мудрые старцы и их ученики, существует древняя игра, которая называется "Летовецкая дуэль". В этой игре два игрока сражаются друг с другом, используя стопку из 10 уникальных карточек, каждая из которых имеет значение от 0 до 9. Карточки раздаются поровну: каждому игроку достаётся по 5 карточек.

Правила игры просты:

1. Игроки одновременно открывают верхнюю карточку своей стопки.

2. Тот, чья крточка старше, забирает обе вскрытые карточки и кладёт их под низ своей стопки. При этом сначала кладётся карточка первого игрока, затем карточка второго.

3. Игра продолжается до тех пор, пока у одного из игроков не закончатся карточки. Этот игрок проигрывает.

4. Особое правило: карточка со значением 0 побеждает карточку со значением 9, даже если 9 обычно старше 0.

Напишите программу, которая определяет, кто побеждает в данной игре. Вам заранее известно номера карточек первого и второго игрока! 

Бизнесмен Василий готовится к уплате налогов за квартал (три месяца). Действующая налоговая система в государстве, в котором Василий ведет свой бизнес, устроена таким образом, что величина налога зависит от прибыли в конце каждого месяца. Чистая прибыль бизнесмена определяется как разница между доходом и расходом. Разумеется, если бизнес идет не очень удачно, прибыль бизнесмена может быть отрицательной —в этом случае речь идет об убытке.

Все доходы и расходы Василий записывал в журнал в виде целых чисел. Теперь Василий должен подать налоговую декларацию с суммой доходов на конец каждого месяца, другими словами ему необходимо поделить последовательность записей в журнале на три непустые части.

При этом Василий хочет сделать это таким образом, чтобы прибыль в каждой части была одинаковой (возможно даже отрицательной) — в этом случае сумма налога будет минимальной. Менять порядок записей в журнале нельзя.

По имеющимся данным определите количество способов выполнить такое разбиение.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится единственное целое число N — количество записей в журнале Василия (3 ≤ N ≤ 10⁵).

В следующих N строках записаны целые числа a_i, соответствующие записям в журнале (−10⁸ ≤ a_i ≤ 10⁸).

Выходные данные

Программа должна вывести единственное целое число — количество способов выполнить необходимое разбиение.

Примеры

Компания <<Flatland Dynamics>> разрабатывает прыгающего робота. Для испытания робота используется полигон, на котором организован круговой маршрут из \(n\) специальных платформ, пронумерованных от \(1\) до \(n\). Расстояние между \(i\)-й и \(i+1\)-й платформой равно \(d_i\), аналогично расстояние между \(n\)-й и \(1\)-й платформой равно \(d_n\).

Робот оснащен искусственным интеллектом и в процессе испытания учится прыгать все дальше. В любой момент времени робот характеризуется своей ловкостью — целым числом \(a\). Робот может перепрыгнуть с платформы \(i\) на платформу \(i+1\), если \(a \ge d_i\). Аналогично, прыжок с \(n\)-й платформы на \(1\)-ю возможен, если \(a \ge d_n\). При этом после каждого прыжка ловкость робота увеличивается на \(1\).

Разработчики робота выбирают одну из платформ в качестве стартовой. Они считают эксперимент удачным, если робот может, совершив \(n\) прыжков от текущей платформы к следующей, завершить полный круг и вернуться на ту же платформу. Разработчикам необходимо выяснить, для какого минимального значения начальной ловкости робота им удастся провести эксперимент и с какой платформы роботу следует начать прыжки.

Формат входных данных
На первой строке ввода находится число \(n\) (\(3 \le n \le 10^7\)).

Вторая строка содержит одно целое число \(f\), которое описывает формат, в котором задан массив расстояний между платформами.

Если \(f = 1\), то на третьей строке находятся \(n\) целых чисел \(d_1, d_2, \ldots, d_n\) (\(1 \le d_i \le 10^{9}\)).

Если \(f = 2\), то на третьей строке находится число \(m\) \(\left(2 \le m \le \min(n, 10^5)\right)\) и три целых числа \(x\), \(y\) и \(z\) (\(0 \le x, y, z \le 10^9\)). На четвертой строке находятся \(m\) целых чисел \(c_1, c_2, \ldots, c_m\) (\(1 \le c_i \le 10^9\)). Значения \(d_i\) вычисляются по следующим формулам.

Если \(1 \le i \le m\), то \(d_i = c_i\).

Если \(m + 1 \le i \le n\), то \(d_i = \left((x\cdot d_{i-2} + y\cdot d_{i-1} + z)\bmod 10^9\right) + 1\).

Здесь \(\bmod\) означает остаток от целочисленного деления, в языках C++, Java и Python он обозначается символом <<%>>.

Формат выходных данных
Требуется вывести два целых числа: минимальную допустимую начальную ловкость \(a\) и номер стартовой платформы, на которую можно разместить робота, чтобы успешно провести эксперимент.

Если возможных стартовых платформ для минимальной начальной ловкости несколько, можно вывести любую из них.

Замечание
Во втором примере массив расстояний между платформами равен \([1, 2, 3, 4, 5, 18, 45, 112, 273, 662]\). Значения от \(d_6\) до \(d_{10}\) вычисляются по формулам:

\(d_6 = \left((1\cdot d_4+2\cdot d_5 + 3) \bmod 10^9\right)+1 = \left((1\cdot 4+2\cdot 5+3)\bmod 10^9\right)+1=18\)

\(d_7 = \left((1\cdot d_5+2\cdot d_6 + 3) \bmod 10^9\right)+1 = \left((1\cdot 5+2\cdot 18+3)\bmod 10^9\right)+1=45\)

\(d_8 = \left((1\cdot d_6+2\cdot d_7 + 3) \bmod 10^9\right)+1 = \left((1\cdot 18+2\cdot 45+3)\bmod 10^9\right)+1=112\)

\(d_9 = \left((1\cdot d_7+2\cdot d_8 + 3) \bmod 10^9\right)+1 = \left((1\cdot 45+2\cdot 112+3)\bmod 10^9\right)+1=273\)

\(d_{10} = \left((1\cdot d_8+2\cdot d_9 + 3) \bmod 10^9\right)+1 = \left((1\cdot 112+2\cdot 273+3)\bmod 10^9\right)+1=662\)

Если увлечься темой кодирования информации, можно поймать себя на придумывании совершенно неожиданных алгоритмов. Сегодня вам предстоит разобраться в кодировании массива стеком.

Изначально вам дан пустой стек и пустой массив. Кодом массива \(a\) назовем последовательность действий вида

• \(\mathtt{push}(x)\) — положить число \(x\) на вершину стека;

• \(\mathtt{pop}\) — снять число с вершины стека;

• \(\mathtt{print}\) — выписать в конец массива все элементы стека по порядку от нижнего к верхнему,

приводящую к тому, что в изначально пустой массив оказываются выписаны все элементы \(a\) по порядку. При выполнении третьей операции стек не очищается.

Например, при выполнении последовательности действий \(\mathtt{push}(1)\), \(\mathtt{push}(2)\), \(\mathtt{print}\), \(\mathtt{print}\), \(\mathtt{pop}\) и \(\mathtt{print}\) в массив оказываются выписаны числа \([1, 2, 1, 2, 1]\), а на стеке остается лежать только число \(1\). То есть такая последовательность является кодом массива \([1, 2, 1, 2, 1]\) длины \(6\).

Вам дан массив \(a\) и \(q\) запросов: какой у отрезка массива \(a\) с \(l_i\)-го по \(r_i\)-й элемент включительно минимальный по количеству действий со стеком код?

Найдите для каждого запроса код соответствующего отрезка массива. Не требуется найти код наименьшей возможной длины, но чем меньше найденный код, тем больше баллов получит ваше решение.

Формат входных данных
В первой строке ввода даны четыре целых числа \(n\) и \(q\) — длина массива \(a\), про отрезки которого спрашивается в запросах, количество запросов, а также максимальный балл за тест и параметр \(\gamma\), указанный в системе оценивания, которые ваше решение может игнорировать \((1 \le n \le 2000\); \(1 \le q \le 10^4\)).

Во второй строке перечислены \(n\) целых чисел \(a_i\) — элементы массива \(a\) (\(1 \le a_i \le 10^9\)).

В \(i\)-й из следующих \(q\) строк даны два целых числа \(l_i\) и \(r_i\) — границы отрезка из \(i\)-го запроса (\(1 \le l_i \le r_i \le n\)).

Формат выходных данных
Для каждого запроса выведите в отдельной строке целое число \(k\) от \(1\) до \(n + 1\) — количество действий в вашем коде соответствующего отрезка массива, после чего в следующей строке выведите через пробел \(k\) целых чисел, описывающих эти действия в порядке их выполнения:

• для действия \(\mathtt{push}(x)\) выведите число \(x\) от \(1\) до \(10^9\);

• для действия \(\mathtt{pop}\) выведите число \(-1\);

• для действия \(\mathtt{print}\) выведите число \(0\).

Если в результате выполнения выведенных действий происходит попытка снять число с вершины пустого стека или в конце не получается массив, равный заданному отрезку массива \(a\), ваше решение получает вердикт Wrong Answer. Также вы получите вердикт Wrong Answer, если в вашем коде будет больше \(n + 1\) действия.

Физрук формирует дистанцию для забега школьников на уроке. Согласно требованиям, длина дистанции должна быть от \(L\) до \(R\) метров.

Дистанция пройдет вдоль дорожки в парке около школы. Вдоль дорожки растет \(n\) деревьев, первое дерево находится на расстоянии \(d_1\) метров от начала дорожки, \(i\)-е дерево находится на расстоянии \(d_i\) метров от предыдущего дерева для \(i > 1\). Для удобства физрук хочет, чтобы дистанция начиналась либо в начале дорожки, либо около какого-либо дерева, и заканчивалась также около какого-либо дерева.

Если подходящих вариантов организовать дистанцию несколько, физрук хочет выбрать из них тот, в котором финиш находится как можно ближе к началу дорожки. Если подходящих вариантов все еще несколько, он хочет выбрать тот, где старт находится как можно ближе к началу дорожки.

Помогите физруку выбрать точки начала и конца дистанции.

Формат входных данных
Первая строка ввода содержат два целых числа \(L\) и \(R\) (\(1 \le L \le R \le 3 \cdot 10^{14}\)). Обратите внимание, что для считывания \(L\) и \(R\) необходимо хотя бы 64-битный тип данных (<<long long>> в C++).

Вторая строка ввода содержит целое число \(n\) (\(1 \le n \le 300\,000\)).

Третья строка ввода содержит \(n\) целых чисел \(d_1, d_2, \ldots, d_n\) (\(1 \le d_i \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите два целых числа: \(s\) и \(t\) — расстояние от начала дорожки до начала и конца дистанции, соответственно. Должны выполняться условия: \(0 \le s < t\), \(L \le t - s \le R\), \(s = 0\) или \(s\) совпадает с позицией некоторого дерева, \(t\) совпадает с позицией некоторого дерева.

Если выбрать организовать дистанцию не получится, выведите \(s = -1\), \(t = -1\).

Задан массив натуральных чисел \(A = [a_1, a_2, \ldots, a_n]\). Отрезком массива \(A\) с \(l\) по \(r\) будем называть массив \([a_l, a_{l+1}, \ldots, a_r]\).

Для заданного массива \(A\) и числа \(k\) требуется найти количество пар \((l, r)\), таких что \(l \le r\) и сумма чисел на отрезке массива \(A\) с \(l\) по \(r\) делится на \(k\) без остатка.

На первой строке ввода заданы целые числа \(n\) "— число элементов массива \(A\) и \(k\) (\(1 \le n \le 200\,000\), \(2 \le k \le 10^9\)).

На второй строке заданы целые числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — элементы массива \(A\) (\(1 \le a_i \le 10^9\)).

Выведите одно число: количество пар \((l, r)\), таких что \(l \le r\), и сумма чисел на отрезке массива \(A\) с \(l\) по \(r\) делится на \(k\) без остатка.

В примере подходят следующие отрезки:

• \(l = 1\), \(r = 3\), отрезок \([1, 2, 3]\)

• \(l = 1\), \(r = 4\), отрезок \([1, 2, 3, 4]\)

• \(l = 2\), \(r = 2\), отрезок \([2]\)

• \(l = 2\), \(r = 5\), отрезок \([2, 3, 4, 5]\)

• \(l = 3\), \(r = 5\), отрезок \([3, 4, 5]\)

• \(l = 4\), \(r = 4\), отрезок \([4]\)

Следующий больший элемент некоторого элемента x в массиве - это первый больший элемент, который находится справа от x в том же массиве.

Вам даны два различных целочисленных массива nums1 и nums2 с индексами 0, где nums1 является подмножеством nums2.

Для каждого 0 <= i < nums1.length найдите индекс j такой, что nums1[i] == nums2[j] и определите следующий больший элемент nums2[j] в nums2. Если следующего большего элемента нет, то ответом на этот запрос будет -1.

Выведите n чисел таких, что каждое из них будет являться следующим большим элементом, как описано выше.

Входные данные
В первой строке записано натуральное число n - размер массива nums1. Вторая строка содержит n чисел - элементы массива nums1. В третьей строке записано натуральное число m - размер массива nums2. Четвертая строка содержит m чисел - элементы массива nums2.

Ограничения на входные данные

• 1 <= nums1.length <= nums2.length <= 50000
• 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 109
• Все числа в массивах nums1 и nums2 уникальны.
• Все числа массива nums1 содержатся в nums2.

a.length - размер массива a

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 

Примеры

3
4 1 2
4
1 3 4 2

-1 3 -1

2
2 4 
4
1 2 3 4

3 -1

Примеры

Примеры

Примеры

5
3 1 4 1 5
4
1 5 1
2 4 3
1 5 2
1 3 3

2
0
0
1