Дерево отрезков, RSQ, RMQ

Для сборки лаборатории-поселения на Венеру доставлены \(n\) блоков. Блоки расположены в ряд, \(i\)-й блок имеет высоту \(h_i\).

Сборку будет осуществлять специальный робот. В процессе сборки последовательные сегменты блоков будут постепенно объединяться. При этом порядок блоков в ряду не будет меняться.

Исходно каждый блок представляет собой отдельный сегмент, сегменты пронумерованы от \(1\) до \(n\) в том же порядке, что и блоки. Если есть два соседних сегмента, составленных из блоков: сегмент из блоков \(A = [i, i+1, \ldots, i+p-1]\) и сегмент из блоков \(B = [i+p, i+p+1, \ldots, i+p+q-1]\), то после их объединения в один получается сегмент \(AB = [i, i+1, \ldots, i+p-1, i+p, i+p+1, \ldots, i+p+q-1]\).

Инструкция по сборке состоит из \(n-1\) инструкций. Каждая инструкция характеризуется одним числом, \(j\)-я инструкция характеризуется числом \(k_j\). После выполнения этой инструкции сегменты с номерами \(k_j\) и \(k_j + 1\) объединяются в один, получившийся сегмент занимает место в последовательности сегментов на месте двух объединенных сегментов, и вводится новая нумерация на сегментах в том порядке, в котором они расположены — номера сегментов, начиная с \(k_j + 2\), уменьшаются на один. После выполнения всех инструкций все сегменты окажутся объединены в один общий сегмент.

На Венере постоянно идут кислотные дожди, поэтому в процессе сборки важно для каждого сегмента блоков понимать, сколько жидкости может скопиться в этом сегменте. Пусть сегмент состоит из блоков высотой \(h_l, h_{l+1}, \ldots, h_r\). Для \(p\), где \(l \le p \le r\) определим глубину блока c высотой \(h_p\) в этом сегменте следующим образом. Посчитаем величины \(l_p = \max \{ h_l, \ldots, h_p \}\), \(r_p = \max \{ h_p, \ldots, h_r\}\). Это самые высокие блоки в сегменте слева и справа от \(p\)-го. Тогда глубина блока \(p\) в его сегменте равна \(d_p = \min(l_p, r_p) - h_p\), заметим, что \(d_p \ge 0\). Емкостью сегмента будем называть сумму глубин блоков этого сегмента, то есть \(w = d_l + d_{l+1} + \ldots + d_r\).

Задана последовательность объединений сегментов. После каждого объединения выведите емкость получившегося сегмента.

Рисунок на следующей странице показывает процесс выполнения инструкции из примера, над каждым блоком указана его глубина, а для нового сегмента показана его емкость.

Формат входных данных
Первая строка содержит одно целое число \(n\) — количество блоков (\(2 \leq n \leq 10^5\)).

Во второй строке записано \(n\) чисел \(h_1, \ldots, h_n\) (\(1 \leq h_i \leq 10^9\)).

В третьей строке записаны \(n - 1\) чисел — инструкции по объединению сегментов. Каждая инструкция характеризуется одним числом \(k_j\) (\(1 \leq k_j \leq n - j\)).

Формат выходных данных
Выведите \(n-1\) чисел — после каждого объединения сегментов выведите емкость получившегося объединенного сегмента.

После тяжелого контеста бывает полезно выпить немного кофе. У настоящих программистов есть множество различных сортов кофе, которые постепенно добавляются в одну кружку. При этом мы будем рассматривать кофе с определенной особенностью: разные сорта кофе держатся в кружке <<слоями>> и не перемешиваются.

Напиток из таких сортов кофе можно описать следующим образом: всего в кружку налито \(n\) сортов, \(i\)-й сорт характеризуется уровнем крепости \(p_i\) и высотой слоя, который он занимает в кружке, \(h_i\). При этом если \(i < j\), то слой кофе \(i\)-го сорта находится ниже кофе \(j\)-го сорта. Также известно, что высота кружки равна \(\sum\limits_{i=1}^n h_i\), то есть верхний край самого верхнего слоя кофе находится ровно на уровне верхней границы кружки.

Для разнообразия иногда хочется получить из такого <<коктейля>> напиток определенного суммарного уровня крепости. Суммарный уровень крепости определяется как среднее взвешенное уровней налитых в кружку сортов, то есть как \[P = \frac{\sum\limits_{i=1}^n p_i \cdot h_i}{\sum\limits_{i=1}^n h_i} \text{.}\]

Чтобы как-то изменять \(P\), можно

1. выбрать трубочку произвольной высоты \(h\);

2. один или более раз выполнить следующее: погрузить ее в напиток на любую глубину от \(0\) до \(h\) включительно относительно верхнего края кружки (не относительно текущего уровня жидкости) и отпить произвольное (не обязательно целое) количество кофе с того уровня, на который попал нижний конец трубочки.

При выпивании какого-то количества кофе из одного слоя высота этого слоя уменьшается на соответствующую величину, а все верхние слои опускаются на ту же величину вниз.

Ваша задача — ответить на запросы вида: можно ли из текущего напитка сделать напиток крепости \(t_i\), и если можно, то какая минимальная высота трубочки для этого понадобится. Поскольку идеально точную необходимую высоту трубочки вычислить может быть сложно, достаточно определить минимальное количество верхних слоев кофе, достаточное, чтобы, отпив какое-то количество кофе из некоторых из них, можно было добиться суммарной крепости напитка \(t_i\).

Формат входных данных
В первой строке ввода даны два целых числа \(n\) и \(q\) — количество слоев кофе в кружке и количество запросов (\(1 \le n, q \le 2 \cdot 10^5\)).

Следующие \(n\) строк содержат по два целых числа \(p_i\) и \(h_i\) — уровень крепости и высоту \(i\)-го снизу кружки слоя кофе (\(1 \le p_i, h_i \le 10^9\)). Гарантируется, что сумма \(p_i \cdot h_i\) по всем \(i\) не превосходит \(10^{18}\).

В \(i\)-й из следующих \(q\) строк дано единственное целое число \(t_i\), определяющее \(i\)-й запрос (\(1 \le t_i \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите \(q\) строк, в \(i\)-й из которых содержится единственное целое число от \(0\) до \(n\) — ответ \(i\)-й запрос. Если для какого-то запроса ответ такой, что нельзя добиться требуемого уровня крепости, выведите в качестве ответа на этот запрос число \(-1\).

Замечание
Для примера из условия:

1. В первом запросе, чтобы получить напиток крепости \(1\), достаточно выпить верхние два слоя кофе.

2. Во втором запросе достаточно выпить часть кофе со второго сверху слоя.

3. В третьем запросе понадобится выпить первый и третий слой кофе.

4. В четвертом запросе невозможно добиться уровня крепости \(4\).

Бинарное дерево — это набор вершин, у каждой из которых может быть левый и правый ребёнок. Одна из вершин является корнем дерева, она не является ребёнком какой-то другой. Начав в корне и каждый раз переходя в одного из детей, можно дойти до любой вершины. Множество вершин, до которых можно дойти из заданной, называется её поддеревом.

У бинарного дерева есть три основных обхода: прямой (pre-order), центрированный (in-order) и обратный (post-order).

Прямой обход дерева — это порядок его вершин, полученный следующим рекурсивным алгоритмом:

1. Добавить корень дерева в обход.

2. Если у корня есть левый ребёнок, выписать прямой обход его поддерева.

3. Если у корня есть правый ребёнок, выписать прямой обход его поддерева.

В центрированном обходе корень дерева выписывается между обходами поддеревьев его детей, в обратном — после обходов поддеревьев его детей.

Обобщим эти три варианта обхода: пусть в каждой вершине записано целое число \(x\) от \(-1\) до \(1\), обозначающее, в какой момент мы выписываем эту вершину, а именно:

• \(x = -1\): до обходов поддеревьев её детей;

• \(x = 0\): между обходами поддеревьев её детей;

• \(x = 1\): после обходов поддеревьев её детей.

Таким образом, если во всех вершинах записано \(-1\), обход является прямым, если \(0\) — центрированным, если \(1\) — обратным.

Рассмотрим дерево с \(n\) вершинами, пронумерованных от \(1\) до \(n\). Корень дерева — вершина \(1\). Изначально во всех вершинах записано число \(-1\).

В рамках исследования необходимо обработать \(q\) запросов одного из следующих типов:

1. Поменять числа в вершинах \(l, l+1, \dots, r\) на \(x\) (\(x\) равен \(-1\), \(0\) или \(1\)).

2. Сообщить, на какой позиции в текущем обходе будет стоять вершина \(i\).

Необходимо вывести ответы на все запросы второго типа.

В первой строке входных данных даны два целых числа \(n\) и \(q\) (\(1 \le n, q \le 100\,000\)).

В следующих \(n\) строках даны по два целых числа \(L_i\) и \(R_i\) (\(0 \le L_i, R_i \le n\)) — номер левого и правого ребёнка вершины \(i\) соответственно, либо \(0\), если соответствующий ребёнок отсутствует.

Гарантируется, что \(L_i\) и \(R_i\) задают корректное бинарное дерево.

Формат входных данных
В следующих \(q\) строках даны запросы. Первое число в строке \(t\) (\(t \in \{1, 2\}\)) — тип запроса.

В случае запроса первого типа далее даны целые числа \(l\), \(r\) и \(x\) (\(1 \le l \le r \le n\), \(x\) равен \(-1\), \(0\) или \(1\)) — границы отрезка вершин, в которых меняются числа, и новое значение.

В случае запроса второго типа далее дано число \(i\) (\(1 \le i \le n\)) — номер вершины, позицию которой в обходе необходимо вывести.

Формат выходных данных
На каждый запрос второго типа выведите единственное число от \(1\) до \(n\) — позицию соответствующей вершины в обходе.

Пусть \(q_1\) — количество запросов первого типа.

• \([1, 3, 5, 2, 4]\)

• \([5, 2, 3, 4, 1]\)

• \([5, 3, 2, 4, 1]\)

Примеры

<
>
>
?
>

Примеры