Алгоритмы

Дана прямоугольная доска N × M (N строк и M столбцов). В левом верхнем углу находится шахматный конь, которого необходимо переместить в правый нижний угол доски. При этом конь может ходить ТОЛЬКО на две клетки вниз и на одну клетку вправо, либо на две клетки вправо и на одну клетку вниз (смотри рисунок).

 

 

Необходимо определить, сколько существует различных маршрутов, ведущих из левого верхнего в правый нижний угол.

 

Входные данные
Во входной строке находятся два натуральных числа N и M (\(1 <= N,\ M <= 50\)).  

 

Выходные данные 
Выведите единственное число количество способов добраться конём до правого нижнего угла доски.

На далекой планете Тау Кита есть непонятные нам обычаи. Например, таукитяне очень необычно для землян выбирают имена своим детям. Родители так выбирают имя ребенку, чтобы оно могло быть получено как удалением некоторого набора букв из имени отца, так и удалением некоторого набора букв из имени матери. Например, если отца зовут «abacaba», а мать — «bbccaa», то их ребенок может носить имена «a», «bba», «bcaa», но не может носить имена «aaa», «ab» или «bbc». Возможно, что имя ребенка совпадает с именем отца и/или матери, если оно может быть получено из имени другого родителя удалением нескольких (возможно, ни одной) букв.

 

Пусть отец по имени X и мать по имени Y выбирают имя своему новорожденному ребенку. Так как в таукитянских школах учеников часто вызывают к доске в лексикографическом порядке имен учеников, то есть в порядке следования имен в словаре, то они хотят выбрать своему ребенку такое имя, чтобы оно лексикографически следовало как можно позже.

 

- Формально, строка S лексикографически больше строки T, если выполняется одно из двух условий: строка T получается из S удалением одной или более букв с конца строки S;

- первые (i - 1) символов строк T и S не различаются, а буква в i-й позиции строки T следует в алфавите раньше буквы в i-й позиции строки S.

Требуется написать программу, которая по именам отца и матери находит лексикографически наибольшее имя для их ребенка.

 

Первая строка входного файла содержит X — имя отца. Вторая строка входного файла содержит Y — имя матери. Каждое имя состоит из строчных букв латинского алфавита, включает хотя бы одну букву и имеет длину не более 105 букв.

 

Выходной файл должен содержать искомое лексикографически наибольшее из возможных имен ребенка. В случае, если подходящего имени для ребенка не существует, выходной файл должен быть пустым.
 

Ввод	Вывод
abcabca abcda	ca
ccba accbbaa	ccba

На одном из московских вокзалов билеты продают N касс. Каждая касса работает без перерыва определенный промежуток времени по фиксированному расписанию (одному и тому же каждый день). Требуется определить, на протяжении какого времени в течение суток работают все кассы одновременно.

 

Сначала вводится одно целое число N (0<N<=10000).

 

В каждой из следующих N строк через пробел расположены 6 целых чисел, первые три из которых обозначают время открытия кассы в часах, минутах и секундах (часы — целое число от 0 до 23, минуты и секунды — целые числа от 0 до 59), оставшиеся три — время закрытия в том же формате. Числа разделены пробелами.

 

Время открытия означает, что в соответствующую ему секунду касса уже работает, а время закрытия — что в соответствующую секунду касса уже не работает. Например, касса, открытая с 10 ч 30 мин 30 с до 10 ч 35 мин 30 с, ежесуточно работает 300 секунд.

 

Если время открытия совпадает с временем закрытия, то касса работает круглосуточно. Если первое время больше второго, то касса начинает работу до полуночи, а заканчивает — на следующий день.

 

Требуется вывести одно число — суммарное время за сутки (в секундах), на протяжении которого работают все N касс.
 

Ввод	Вывод
3 1 0 0 23 0 0 12 0 0 12 0 0 22 0 0 2 0 0	7200
2 9 30 0 14 0 0 14 15 0 21 0 0	0
2 14 0 0 18 0 0 10 0 0 14 0 1	1

Граф называется двудольным, если его вершины можно раскрасить в два цвета так, что нет ребер, соединяющих вершины одинакового цвета (то есть каждое ребро идет из вершины 1-го цвета в вершину 2-го).

Дан граф. Требуется проверить, является ли он двудольным, и если да, то раскрасить его вершины.

 

Входные данные
В первой строке задано сначала число N - количество вершин графа (не превышает 100). Далее идет матрица смежности - матрица размером NxN из 0 и 1 (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие). Граф неориентированный, без петель.

 

Выходные данные 
В первую строку выведите одно из сообщений YES или NO (в зависимости от того, является ли граф двудольным или нет). В случае ответа YES, во второй строке выведите N чисел - цвета, в которые нужно раскрасить вершины: для первого цвета используйте значение 1, для второго цвета - значение 2. Первая вершина должна иметь цвет 1.

Во время контрольной работы профессор Флойд заметил, что некоторые студенты обмениваются записками. Сначала он хотел поставить им всем двойки, но в тот день профессор был добрым, а потому решил разделить студентов на две группы: списывающих и дающих списывать, и поставить двойки только первым.

 

У профессора записаны все пары студентов, обменявшихся записками. Требуется определить, сможет ли он разделить студентов на две группы так, чтобы любой обмен записками осуществлялся от студента одной группы студенту другой группы.

 

Входные данные: В первой строке находятся два числа N и M - количество студентов и количество пар студентов, обменивающихся записками (1<=N<=100, 0<=M<=(N(N−1))/2. Далее в M строках расположены описания пар студентов: два числа, соответствующие номерам студентов, обменивающихся записками (нумерация студентов идёт с 1). Каждая пара студентов перечислена не более одного раза.

Выходные данные: Необходимо вывести ответ на задачу профессора Флойда. Если возможно разделить студентов на две группы - выведите YES; иначе выведите NO.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 2 1 2 2 3	YES
2	3 3 1 2 2 3 1 3	NO

Вам задан ориентированный граф с N вершинами и M ребрами (1<=N<=20000, 1<=M<=200000). Найдите компоненты сильной связности заданного графа и топологически отсортируйте его конденсацию.

 

Входные данные

Граф задан во входном файле следующим образом: первая строка содержит числа N и M. Каждая из следующих M строк содержит описание ребра — два целых числа из диапазона от 1 до N — номера начала и конца ребра.

 

Выходные данные

На первой строке выведите число K — количество компонент сильной связности в заданном графе. На следующей строке выведите N чисел — для каждой вершины выведите номер компоненты сильной связности, которой принадлежит эта вершина. Компоненты сильной связности должны быть занумерованы таким образом, чтобы для любого ребра номер компоненты сильной связности его начала не превышал номера компоненты сильной связности его конца.

Ввод	Вывод
10 19 1 4 7 8 5 10 8 9 9 6 2 6 6 2 3 8 9 2 7 2 9 7 4 5 3 6 7 3 6 7 10 8 10 1 2 9 2 7	2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1

Простой неориентированный граф задан списком ребер, выведите его представление в виде матрицы смежности.

 

Формат входных данных
В первой строке задаются числа n (\(1<=n<=100\)) – количество вершин в графе и m (\(1<=m<=n(n - 1)/2\)) – количество ребер. Далее следует m пар чисел – ребра графа (каждая пара чисел в отдельной строке).

 

Формат выходных данных
Выведите матрицу смежности заданного графа.

По заданной квадратной матрице n×n из нулей и единиц определите, может ли данная матрица быть матрицей смежности простого неориентированного графа.

 

Формат входных данных
В первой строке задается число n (\(1<=n<=100\)) – размер матрицы. Затем задается сама матрица - n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1.

 

Формат выходных данных
Выведите «YES», если приведенная матрица может быть матрицей смежности простого неориентированного графа, и «NO» в противном случае

По заданной матрице смежности неориентированного графа определите, содержит ли он петли.

 

Формат входных данных
В первой строке задается число n (\(1<=n<=100\)) – количество вершин графа. Затем задается матрица смежности - n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1.

 

Формат выходных данных
Выведите  «YES», если граф содержит петли, и «NO» в противном случае.

В научной лаборатории разрабатывается новая архитектура суперкомпьютера,

позволяющая эффективно обрабатывать большие объемы данных.

Суперкомпьютер имеет 2^k ячеек памяти, пронумерованных от 0 до 2^{k– 1}. Отрезком

[L, R] называется последовательность подряд идущих ячеек памяти с номерами от L до R,

включительно.

Некоторые отрезки памяти являются корректными. Отрезок памяти [L, R] является

корректным, если его длина (R – L + 1) равна 2i для некоторого i, а число L делится на 2i.

Например, если k = 3, то ячейки памяти пронумерованы от 0 до 7, а корректными являются

отрезки [0, 7], [0, 3], [4, 7], [0, 1], [2, 3], [4, 5], [6, 7], [0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6,

6] и [7, 7].

Ключевой операцией в новой архитектуре является операция STORE, которая за одно

действие присваивает одно и то же значение всем ячейкам памяти некоторого корректного

отрезка.

Исходно все ячейки памяти содержат значение 0. В лаборатории планируют запустить

на суперкомпьютере программу обработки данных, но перед её запуском необходимо

инициализировать память определенным образом. А именно: первые с1 ячеек памяти

необходимо заполнить значениями v1, следующие c2 ячеек — значениями v2, и так далее,

последние cn ячеек памяти необходимо заполнить значениями vn, где 1 ≤ vi ≤ m.

Ученым надо выяснить, какое минимальное количество операций STORE необходимо

выполнить, чтобы проинициализировать память требуемым образом.

Например, если k = 3, n = 3, m = 2, c1 = 1, v1 = 1, c2 = 2, v2 = 2, c3 = 5, v3 = 1, то итоговое

содержимое памяти должно быть следующим: [1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1]. В этом случае для

инициализации памяти достаточно трех операций STORE:

- STORE([0, 7], 1), после этой операции все ячейки памяти содержат значение 1;

- STORE([1, 1], 2), после этой операции содержимое памяти [1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

- STORE([2, 2], 2) , после этой операции содержимое памяти [1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1],

как и требуется.

Заметим, что операцию STORE([1, 2], 2) выполнить нельзя, потому что [1, 2] не

является корректным отрезком памяти.

Требуется написать программу, которая по заданному содержимому памяти

определяет минимальное количество операций STORE, которое необходимо выполнить для

инициализации памяти заданным образом.

Ввод	Вывод
3 3 2 1 1 2 2 5 1	3

В лицее на уроках информатики ответы учеников оцениваются целым числом баллов от 2 до 5. Итоговая оценка по информатике выставляется как среднее арифметическое оценок на всех уроках, округленное до ближайшего целого числа. Если среднее значение находится ровно посередине между двумя целыми числами, то оценка округляется вверх.

Примеры округления оценок приведены в таблице.
 

Оценки на уроках	Среднее арифметическое	Итоговая оценка
2, 3, 5	\({ {2 + 3 + 5} \over 3 }= 3 {1 \over 3}\)	3
3, 3, 4, 4	\({ {3 + 3 + 4 + 4} \over 4 }= 3 {1 \over 2}\)	4
5, 5, 5, 3, 5	\({ {5 + 5 + 5 + 3 + 5} \over 5 }= 4 {3 \over 5}\)	5

 

Ввод	Вывод
2 0 0	2

 

Однажды, Вася взял без спроса у бабушки пульт от телевизора и выбежал во двор с прямого хода. Радиус двора - R метров. Прямой путь от парадного выхода до калитки - хорда AB, являющаяся диаметром этой окружности. Добежав до центра окружности, он увидел деда выскочившего ему наперерез. Василий принял решение сбежать через дырку в заборе. Но чтобы не портить бабушкины цветы и тем самым не добить её своим поступком, он подумал что лучше всего бежать по дорожкам. На картинке они обозначены.

Близжайщая тропинка ведущая до дырки - AC, к ней от центра ведёт дорожка ОН. 
 

Подсчитайте расстояние которое ему предстоит пробежать c момента как он выскочил из дома.

1 < R < AC < 10^18

Входные данные:

10 16

24.000

(с) Медведев Д., 2018

Однажды на огород к Ивану Петровичу (сыну Деда Мороза и Снегурочки) забежало целых три оленя. Известно, что олени — весьма агрессивное нечто, особенно когда речь идет о борьбе за вкусную зелень. Поэтому каждый из трех оленей, заметив других козлов, замер на месте и начал наблюдать за оставшимися оленями: одним глазом за одним оленем, другим — за оленем номер 2. Естественно, для этого оленю нужно “косить” глазами.

Определите наибольший угол, на который пришлось “раскосить” глазами этим странным животным. Причём тут Иван Петрович и мы, и как олени “раскосили” глаза, мы в душе не знаем. Своего дилера мы не сдадим.

Программа получает на вход координаты трех точек, в которых стоят олени (сначала координаты первого оленя, затем — второго и третьего). Координаты — пара целых чисел, не превосходящих 104 по модулю.
 

Ввод	Вывод
0 0 3 0 0 4	90.000000

 

Покупатель хочет приобрести товар стоимостью S рублей. У него есть N банкнот номиналом P1, P2, ..., PN рублей. У продавца есть M банкнот номиналом Q1, Q2, ..., QM. рублей. Определите, смогут ли они рассчитаться.

 

Входные данные: 
- в первой строке задается сумма S;
- во второй строке - число N;
- в третьей строке  - N чисел P1, P2, ..., PN;
- в четвертой строке - число M;
- в пятой строке - M чисел Q1, Q2, ..., QM.
Количество банкнот у продавца и покупателя и их номиналы не превосходят 100.

 

Выходные данные: если продавец сможет рассчитаться с покупателем, выведите номиналы банкнот, которые покупатель отдает продавцу и которые он получает в качестве сдачи. Выводите число со знаком “+”, если банкноту соответствующего номинала покупатель отдает продавцу и со знаком “-”, если покупатель получает эту банкноту на сдачу. Номиналы банкнот разделяйте пробелом.

Если они не могут рассчитаться, выведите строку Impossible.

На вход программы подаются произвольные алфавитно-цифровые символы. Ввод этих символов заканчивается точкой. Требуется написать программу, которая будет печатать последовательность строчных английских букв ('a' 'b'... 'z') из входной последовательности и частот их повторения. Печать должна происходить в алфавитном порядке.

Например, пусть на вход подаются следующие символы:

fhb5kbfыshfm.

В этом случае программа должна вывести

b2

f3

h2

k1

m1

s1

Дед Мороз и Снегурочка приходят на детские утренники с мешком конфет. Дед Мороз делит конфеты поровну между всеми присутствующими детьми (детей на утреннике никогда не бывает больше 100), а оставшиеся конфеты отдает Снегурочке. Снегурочка каждый раз записывает в блокнот количество полученных конфет. Если конфеты разделились между всеми детьми без остатка, Снегурочка ничего не получает и ничего не записывает. Когда утренники закончились, Деду Морозу стало интересно, какое число чаще всего записывала Снегурочка. Дед Мороз и Снегурочка – волшебные, поэтому число утренников N, на которых они побывали, может быть очень большим. Напишите программу, которая будет решать эту задачу. Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения задачи и укажите используемый язык программирования и его версию. Желательно, чтобы программа была эффективной как по времени работы, так и по используемой памяти. Программу будем считать эффективной по памяти, если используемая память не зависит от размера входных данных (то есть числа утренников). Программу будем считать эффективной по времени, если при увеличении размера входных данных N в t раз (t – любое число) время её работы увеличивается не более чем в t раз.

 

Входные данные

В первой строке вводится одно целое положительное число – количество утренников N. Каждая из следующих N строк содержит два целых числа: сначала D – количество пришедших на очередной утренник детей, а затем K – количество конфет в мешке Деда Мороза на этом утреннике. Гарантируется выполнение следующих соотношений: 1 ≤ N ≤ 10000, 1 ≤ D ≤ 100 (для каждого D), D ≤ K ≤ 1000 (для каждой пары D, K)

 

Выходные данные

Программа должна вывести одно число – то, которое Снегурочка записывала чаще всего. Если несколько чисел записывались одинаково часто, надо вывести большее из них. Если Снегурочка ни разу ничего не записывала, надо вывести ноль.

Ввод	Вывод
7 10 58 15 315 20 408 100 1000 32 63 32 63 11 121	31

Дана возрастающая последовательность целых чисел 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ... Она сформирована следующим образом: берется одно нечетное число, затем два четных, затем три нечетных и так далее. Выведите N-й элемент этой последовательности.

Программа должна работать быстрее, чем за линейный поиск
 

Одно целое число N (1 <= N <= 10⁹).

 

Выведите одно целое число - N-й элемент последовательности.
 

Ввод	Вывод
1	1
4	5