Алгоритмы

В деревне Круглая первые дома построены вдоль главной кольцевой дороги длиной M километров. Эти дома имеют номера от 1 до M. Василий ведет здоровый образ жизни и ежедневно проезжает на велосипеде K километров по этой дороге. Сегодня он начал движение от дома с номером S. Возле какого дома он сегодня закончит свой велопробег? Василий всегда двигается в сторону увеличения номеров домов.

Входные данные
Программа получает на вход три строки. В первой строке записано число M (1 <= M <= 100) -  протяженность главной кольцевой дороги. Во второй строке записано число K (1 <= K <= 10⁵) - количество километров, которые проезжает Василий по этой дороге. В третьей строке записано число S (1 <= S <= M) - номер дома, от которого начал движение Василий.

Выходные данные
Выведите на экран ответ ответ на задачу.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	12 2 3	5
2	12 12 1	1

Антон Б., суперспособный ученик 8 класса, обладает неудивительными математическими способностями. Побывав однажды на экскурсии в Колоколамске, он понял, что легко может написать программу, которая бы предсказывала стоимость его любимых конфет на любой промежуток дней вперед. 
Используя эту программу, Антон Б. решил  приобрести на все свои карманные деньги конфеты (а их у него было всего 10 рублей), затем, чуть позже, продать все купленные им конфеты. Таким образом, Антон Б. хочет заработать как можно больше денег на новый ноутбук. 
Так как  Антон Б. еще несовершеннолетний и один ездить в другие города не может, ему нужно понять, в какие из двух дней попросить старшего брата отвезти его в Колоколамск. Старший брат совершеннолетний и очень любит своего младшего брата, поэтому всегда готов ему помочь.
Так как Антон Б. очень торопится на кружок по информатике, он просит вас определить эти два дня в ближайшие N дней. 

Входные данные
В первой строке записано число N (2 <= N <= 100000) количество дней, на которые Антон Б. делает прогноз. Вторая строка содержит N целых положительных чисел ai (1 <= i <= N , 1 <= a_i <=  5000 ), где ai - предсказанная стоимость конфет в i-й день.

Выходные данные

Выведите два числа: первое число - номер дня, в который Антон Б. поедет покупать конфеты, второе - номер дня, в который он поедет продавать конфеты. В случае, если таких вариантов дней несколько, выведите любой из них. Если Антон Б. в итоге не сможет получить прибыль ни при каких вариантах, то выведите два нуля.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 10 3 5 3 11 9	2 5
2	4 5 5 5 5	0 0

Сегодня мальчик Саша на уроке математики узнал про фракталы. Учитель показывал так называемую «кривую дракона». Она представляет собой геометрическую фигуру, которая строится следующим образом: на первом шаге проводится отрезок из начала координатной плоскости в точку (0; 1). Далее на каждом шаге из конца фрактала повторяется уже нарисованная часть фигуры, повернутая на 90 градусов против часовой стрелки (см. рисунок).

После уроков Саша попробовал сам изобразить «кривую дракона», и теперь он хочет знать, в какой точке координатной плоскости он закончил рисовать фрактал, проделав описанные выше N шагов. Требуется написать программу, которая по заданному числу N определяет координаты конца фрактала после выполнения N шагов.

Входные данные
Вводится одно целое число N (1 <= N <= 30).

Выходные данные
Выведите два числа через пробел - координаты конца фрактала.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2	1 1
2	4	2 -2

Для заданного натурального N найдите последнюю ненулевую цифру числа N!.

Входные данные
Программа получает на вход целое число N (0 <= N <= 10⁶).

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8	2
2	10	8

Напишите программу, вычисляющую \(2^N\).

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число N (N<=30).

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4	16

Дано натуральное число A > 1. Определите, каким по счету числом Фибоначчи оно является, то есть выведите такое число n, что fn=A. Если A не является числом Фибоначчи, выведите число -1.

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8	6
2	10	-1

Последовательность Фибоначчи определяется так: \(f_0 = 0, f_1 = 1, ..., f_n = f_{n-1}+f_{n-2}\).

По данному числу n определите n-е число Фибоначчи fn.

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число n.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6	8

По данному натуральному числу N выведите такое наименьшее целое число k, что \(2^k >= N\).

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число N.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10	4

Дано натуральное число N. Выведите слово YES, если число N является точной степенью двойки, или слово NО в противном случае. Операцией возведения в степень пользоваться нельзя!

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число N (N < 10⁹). 

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5	NO
2	32	YES
3	1	YES

По данному числу N распечатайте все целые степени двойки, не превосходящие N, в порядке возрастания. Операцией возведения в степень пользоваться нельзя!

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	30	1 2 4 8 16

На одном из телеканалов каждую неделю проводится следующая лотерея. В течение недели участники делают свои ставки. Каждая ставка заключается в назывании какого-либо M-значного числа в системе счисления с основанием K (то есть, по сути, каждый участник называет M цифр, каждая из которых лежит в диапазоне от 0 до K−1). Ведущие нули в числах допускаются.

В некоторый момент прием ставок на текущий розыгрыш завершается, и после этого ведущий в телеэфире называет выигравшее число (это также M-значное число в K-ичной системе счисления). После этого те телезрители, у кого первая цифра их числа совпала с первой цифрой числа, названного ведущим, получают выигрыш в размере A₁ рублей. Те, у кого совпали первые две цифры числа — получают A₂ рублей (при этом если у игрока совпала вторая цифра, но не совпала первая, он не получает ничего). Аналогично угадавшие первые три цифры получают A₃ рублей. И так далее. Угадавшие все число полностью получают Am рублей. При этом если игрок угадал t первых цифр, то он получает A_t рублей, но не получает призы за угадывание t−1, t−2 и т.д. цифр. Если игрок не угадал первую цифру, он не получает ничего.

Напишите программу, которая по известным ставкам, сделанным телезрителями, находит число, которое должна назвать телеведущая, чтобы фирма-организатор розыгрыша выплатила в качестве выигрышей минимальную сумму. Для вашего удобства ставки, сделанные игроками, уже упорядочены по неубыванию.

Входные данные
В первой строке задаются числа N (количество телезрителей, сделавших свои ставки, 1 ≤ N ≤ 100000), M (длина чисел 1 ≤ M ≤ 10) K (основание системы счисления 2 ≤ K ≤ 10). В следующей строке записаны M чисел A₁, A₂, ..., A_M, задающих выигрыши в случае совпадения только первой, первых двух,... , всех цифр (1 ≤ A₁ ≤ A₂ ≤ ... ≤ A_M ≤ 100000). В каждой из следующих N строк записано по одному M-значному K-ичному числу. Числа идут в порядке неубывания.

Выходные данные
В первой строке выведите искомое число (если решений несколько — выведите любое из них), а во второй строке — сумму, которую при назывании телеведущей первого числа придется выплатить в качестве выигрыша.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10 3 2 1 3 100 000 000 001 010 100 100 100 100 110 111	011 6
2	1 1 10 100 0	1 0

У вас есть q запросов и мультимножество A, изначально содержащее только число 0. Запросы бывают трёх видов:

• + x — добавить в мультимножество A число x.
• - x — удалить одно вхождение числа x из мультимножества A. Гарантируется, что хотя бы одно число x в этот момент присутствует в мультимножестве.
• ? x — вам даётся число x, требуется вычислить максимальное значение побитового исключающего ИЛИ (также известно как XOR) числа x и какого-нибудь числа y из мультимножества A.

Мультимножество — это множество, в котором разрешается несколько одинаковых элементов.

Входные данные:
В первой строке входных данных содержится число q (1 ≤ q ≤ 200000) — количество запросов, которые требуется обработать Василию.

Каждая из последующих q строк входных данных содержит один трёх символов «+», «-» или «?» и число x_i (1 ≤ x_i ≤ 10⁹). Гарантируется, что во входных данных встречается хотя бы один запрос «?».

Обратите внимание, что число 0 всегда будет присутствовать в мультимножестве.

Выходные данные:
На каждый запрос типа «?» выведите единственное целое число — максимальное значение побитового исключающего ИЛИ для числа x_i и какого-либо числа из мультимножества A.

Пример:
 

Входные данные	Выходные данные
10 + 8 + 9 + 11 + 6 + 1 ? 3 - 8 ? 3 ? 8 ? 11	11 10 14 13

Эн идет в свой Грибной лес собирать грибы.

В Грибном лесу m ориентированных дорожек, соединяющих n деревьев. На каждой дорожке растут грибы. Когда Эн проходит по дорожке, он собирает все грибы на этой дорожке. Однако, в Грибном лесу такая плодородная почва, что грибы растут с фантастической скоростью. Новые грибы вырастают, как только Эн заканчивает собирать грибы на дорожке. А именно, после того, как Эн проходит по дорожке в i-й раз, вырастает на i грибов меньше, чем было до этого прохода. Таким образом, если на дорожке изначально было x грибов, то Эн соберет x грибов в первый проход, x - 1 гриб во второй, x - 1 - 2 гриба в третий и так далее. Однако, количество грибов не может стать меньше 0.
Например, пусть изначально на дорожке росло 9 грибов. Тогда количество грибов, которое соберет Эн, равно 9, 8, 6 и 3 для проходов с первого по четвертый. Начиная с пятого прохода и далее Эн ничего не сможет собрать с этой дорожки (но все еще может по ней ходить).

Эн решил начать от дерева s. Какое максимальное количество грибов он может собрать, передвигаясь только по описанным дорожкам?

Входные данные:
Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 300000, 0 ≤ m ≤ 300000) — количество деревьев и количество ориентированных дорожек в Грибном лесу, соответственно.
Каждая из следующих m строк содержит три целых числа x, y и w (1 ≤ x, y ≤ n, 0 ≤ w ≤ 10⁸), описывающих дорожку, которая ведет от дерева x к дереву y с w грибами изначально. Возможны дорожки, которые ведут от дерева к нему же, а также несколько дорожек, соединяющих одну и ту же пару деревьев.
Последняя строка содержит одно целое число s (1 ≤ s ≤ n) — начальную позицию Эна.

Выходные данные:
Выведите одно целое число — максимальное число грибов, которое может собрать Эн на своем пути.

Примеры:
 

Входные данные	Выходные данные
2 2 1 2 4 2 1 4 1	16
3 3 1 2 4 2 3 3 1 3 8 1	8

Пояснения:
В первом примере Эн может три раза пройти по кругу и собрать 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16 грибов. После этого не будет грибов, которые Эн может собрать.
Во втором примере Эн может пойти к дереву 3 и собрать 8 грибов на дорожке от дерева 1 до дерева 3.

Дан граф из n вершин и m ориентированных ребер. В каждой вершине записана некоторая строчная латинская буква. 
Определим величину пути как наибольшее количество раз, которое какая-то буква встречалась на этом пути. Например, если буквы на пути образуют строку «abaca», то величина этого пути равна 3.
Ваша задача — найти путь с наибольшей величиной.

Входные данные:
Первая строка содержит два целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 200000), означающих, что в графе n вершин и m ориентированных ребер.
Вторая строка содержит строку s, состоящую только из строчных латинских букв. Символ номер i — это буква, записанная в вершине номер i.
Далее следуют m строк. Каждая из этих строк содержит два целых числа x, y (1 ≤ x, y ≤ n), описывающих ориентированное ребро из x в y. Обратите внимание, x может быть равно y, и могут быть несколько ребер между x и y.
Кроме того, граф может быть несвязным.

Выходные данные:
Выведите одно число — максимальную величину пути. Если существуют пути со сколь угодно большой величиной, выведите -1.

Примеры:
 

Входные данные	Выходные данные
5 4 abaca 1 2 1 3 3 4 4 5	3
6 6 xzyabc 1 2 3 1 2 3 5 4 4 3 6 4	-1
10 14 xzyzyzyzqx 1 2 2 4 3 5 4 5 2 6 6 8 6 5 2 10 3 9 10 9 4 6 1 10 2 8 3 7	4

Дан ориентированный взвешенный ациклический граф. Требуется найти в нем кратчайший путь
из вершины s в вершину t.

Входные данные:
Первая строка входного файла содержит четыре целых числа n, m, s и t - количество вершин, ребер графа, начальная и конечная вершина соответственно (1 <= n <= 100000; 0 <= m <= 200000; 1 <= s, t <= n).
Следующие m строк содержат описания ребер по одной на строке. 
Ребро номер i описывается тремя целыми числами b_i, e_i и w_i - началом, концом и длиной ребра соответственно (1 <= b_i, e_i <= n; |w_i| <= 1000). 
Граф не содержит циклов и петель.

Выходные данные:
Первая строка выходного файла должна содержать одно целое число - длину кратчайшего пути из s в t. 
Если пути из s в t не существует, выведите "Unreachable".

Примеры:
 

Входные данные	Выходные данные
2 1 1 2 1 2 -10	-10
2 1 2 1 1 2 -10	Unreachable

Кайману снится необычный сон, будто он попал в странный район города. Этот район можно представить как граф-дерево, где вершины - это перекрестки и ребра - двусторонние дороги, которые соединяют эти перекрестки. Всего перекрестков n и у каждого свой номер от 0 до n-1.

Но не все так плохо в этом сне, ведь на каждой дороге между перекрестками с номерами u и v есть С_u,v пельменей! Кайман очень любит пельмешки, поэтому хочет съесть как можно больше, но есть проблема - если он побывает в каком-либо перекрестке более чем k раз, то на него нападет злой пельменный монстр.

Хоть это и сон, но пельмешки на каждой дороге можно съесть только один раз, хотя ничего не мешает ходить по дорогам по несколько раз. Также Кайман не останавливается на дорогах. То есть, если он начнет переходить от одного перекрестка к другому, то он обязательно пройдет дорогу полностью до следующего перекрестка.

В начале сна Кайман находится на перекрестке с номером 0. Помогите ему определить, какое максимальное количество пельменей он сможет съесть, но так, чтобы на него не напал злой пельменный монстр.

Входные данные:
В первой строке следует два целых числа n и k (3 ≤ n ≤ 10⁵; 1 ≤ k ≤ 10⁵) — количество перекрестков и максимальное количество посещений каждого из перекрестков.
В следующих n - 1 строках следует по три целых числа u, v и C_u,v (0 ≤ u, v ≤ n - 1; 0 ≤ C_u,v ≤ 10000), означающих, что перекрестки с номерами u и v связаны дорогой, на которой C_u,v пельменей.
Гарантируется, что перекрестки и дороги формируют дерево.

Выходные данные:
Выведите одно целое число - максимальное количество пельменей, которое сможет съесть Кайман.

Примеры:
 

Входные данные	Выходные данные
9 3 0 1 1 0 2 1 1 3 2 1 4 2 1 5 2 2 6 3 2 7 3 2 8 3	15
9 5 0 1 1 0 2 1 1 3 2 1 4 2 1 5 2 2 6 3 2 7 3 2 8 3	17
11 6 1 0 7932 2 1 1952 3 2 2227 4 0 9112 5 4 6067 6 0 6786 7 6 3883 8 4 7137 9 1 2796 10 5 6200	54092

Пояснение:
В первом примере нужно посетить перекрестки в следующем порядке: 0, 1, 5, 1, 3, 1, 0, 2, 6, 2, 7, 2, 8. Тогда он съест суммарно 1+2+2+1+3+3+3 = 15 пельменей.
Обратите внимание, что ни один перекресток не посещается более чем 3 раза.
 

Сегодня в замке Эна проходит фестиваль пирогов, в котором участвуют n пекарен, каждая из которых имеет свой уникальный номер от 1 до n.
Некоторые пекарни соединены между собой двусторонними дорогами, но таким образом, что если из пекарни i можно дойти до пекарни j, то существует ровно один маршрут между ними.

Когда Эн ест пироги в i-й пекарне, то он получает A_i удовольствия. А если проходит по дороге между некоторыми пекарнями с номерами v и u, то вкусный аромат пирогов приносит Эну C_v,u удовольствия.

Эн не хочет появляться в каждой пекарне больше одного раза (в некоторые можно не заходить вообще), но при этом хочет получить от фестиваля максимально возможное удовольствие.
Он начнет в какой-либо из пекарен и далее будет переходить между ними только по существующим дорогам.

Помогите Эну определить максимально возможное удовольствие, которое он сможет получить.

Входные данные:
В первой строке дано число n (1 <= n <= 50000) - количество пекарен, и число k - количество существующих дорог между пекарнями.
Во второй строке дано n чисел A_i (0 <= A_i <= 10000) - удовольствие от пирогов i-й пекарне.
Далее следует k строк, в каждой по 3 числа v, u, C (1 <= v, u <= n; v ≠ u; 0 <= C <= 10000), означающие, что существует дорога между пекарнями с номерами v и u, и аромат на этой дороге приносит C удовольствия.

Выходные данные:
Выведите одно число - максимально возможное удовльствие.

Примеры:
 

Входные данные	Выходные данные
2 1 1 1 1 2 1	3
8 7 1 5 4 6 10 1 2 2 1 2 1 2 3 10 2 4 1 4 5 1 4 6 2 6 7 2 6 8 3	37

Пояснения:
В первом примере нужно начать в 1-й пекарне (1 удовольствие), пройти по дороге между 1-й и 2-й пекарнями (1 удовольствие) и посетить 2-ю пекарню (1 удовольствие). Суммарное удовольствие - 1+1+1 = 3.
Во втором примере нужно начать в 5-й пекарне (10 удовольствия), пройти по дороге между 5-й и 4-й пекарнями (1 удовольствие), посетить 4-ю пекарню (6 удовольствия), пройти по дороге между 4-й и 2-й пекарнями (1 удовольствие), посетить 2-ю пекарню (5 удовольствия), пройти по дороге между 2-й и 3-й пекарнями (10 удовольствия), посетить 3-ю пекарню (4 удовольствия). Суммарное удовольствие - 10+1+6+1+5+10+4 = 37.

Вам дано дерево (связный ациклический неориентированный граф), состоящее из n вершин.
Найдите размер его максимального паросочетания (набор попарно несмежных ребер).

Входные данные:
В первой строке дано число n - количество вершин в дереве.
Далее идет n-1 строка, в каждой из которых дается по два числа a_i и b_i (1 <= a_i, b_i <= n) - ребра дерева.

Выходные данные:
Выведите одно число - размер максимального паросочетания данного дерева.

Примеры:
 

Входные данные	Выходные данные
4 1 2 2 3 3 4	2

Пояснение:
В максимальное паросочетание данного дерева будут входить ребра 1-2 и 3-4.

Мирко стал генеральным директором крупной корпорации. В компании работает N человек, которые пронумерованы числами от 1 до N, причем сам Мирко имеет номер 1. У всех работников, кроме Мирко, есть начальник. Начальник может иметь несколько подчиненных, но не более одного своего начальника.

Когда Мирко получает задание от инвесторов, он передает его своему подчиненному с наименьшим номером. Этот подчиненный также передает его своему подчиненному с наименьшим номером, и так далее, пока задание не перейдет несчастливому работнику без подчиненных, который должен его выполнить.
Этот работник получает 1 монету, его начальник получает 2 монеты, начальник этого начальника получает 3 монеты, и так далее. Потом тот, кто на самом деле сделал работу, осознает, насколько эта капиталистическая система несправедлива, и увольняется с работы.

Мирко получает задания до тех пор, пока в корпорации не останется всего один сотрудник — сам Мирко. Тогда он выполняет это задание, получает 1 монету и уходит из корпорации.

Ему стало интересно, сколько всего монет получил каждый бывший сотрудник. Помогите ему с этим.

Входные данные:
Первая строка содержит одно натуральное число N (1 ≤ N ≤ 2·10⁵) — число сотрудников компании. Следующая строка содержит N-1 чисел a₂, a₃, ... a_n (1 ≤ a_i < i), a_i — номер начальника i-го сотрудника.

Выходные данные:
Выведите N чисел, i-е число должно означать, сколько монет получил i-й сотрудник.

Примеры:
 

Входные Данные	Выходные данные
3 1 1	5 1 1
5 1 2 2 4	13 8 1 3 1

Пояснения:

Далее приведено описание ко второму примеру.

Мирко отдает первое задание работнику 2, который передает его работнику 3, который выполняет задание. Таким образом, работник 3 получает одну монету, работник 2 — две монеты, а работник 1, сам Мирко, — три монеты. После этого работник 3 увольняется.
Мирко отдает второе задание работнику 2, который передает его работнику 4, который тут же передает задание работнику 5, который выполняет задание. После этого работник 5 получает одну монету, работник 4 — две монеты, работник 2 — три монеты, а Мирко — четыре монеты. Работник 5 увольняется.
После выполнения третьего задания работник 4 получает одну монету, работник 2 — две монеты, а Мирко — три монеты, после чего работник 4 увольняется.
После выполнения четвертого задания работник 2 получает одну монету, а Мирко — две монеты, после чего второй работник увольняется.
Наконец, пятое задание выполняет сам Мирко, получая за это одну монету, после чего процесс прекращается.

Суммарно Мирко получил 13 монет, работник 2 — 8 монет, работник 4 — 3 монеты, а работники 3 и 5 — одну монету.

Задано множество из n различных натуральных чисел. Перестановку элементов этого множества назовем k-перестановкой, если для любых двух соседних элементов этой перестановки их наибольший общий делитель не менее k. Например, если задано множество элементов S = {6, 3, 9, 8}, то перестановка {8, 6, 3, 9} является 2-перестановкой, а перестановка {6, 8, 3, 9} – нет.

Перестановка {p₁, p₂, …, p_n} будет лексикографически меньше перестановки {q₁, q₂, …, q_n}, если существует такое натуральное число i (1 ≤ i ≤ n), для которого p_j = q_j при j < i и p_i < q_i.

В качестве примера упорядочим все k-перестановки заданного выше множества в лексикографическом порядке. Например, существует ровно четыре 2-перестановки множества S: {3, 9, 6, 8}, {8, 6, 3, 9}, {8, 6, 9, 3} и {9, 3, 6, 8}. Соответственно, первой 2-перестановкой в лексикографическом порядке является множество {3, 9, 6, 8}, а четвертой – множество {9, 3, 6, 8}.

Требуется написать программу, позволяющую найти m-ую k-перестановку в этом порядке.

Входные данные
Входной файл в первой строке содержит три натуральных числа – n (1 ≤ n ≤ 16), m и k (1 ≤ m, k ≤ 10⁹). Вторая строка содержит n различных натуральных чисел, не превосходящих 10⁹. Все числа в строках разделены пробелом.

Выходные данные
В выходной файл необходимо вывести m-ую k-перестановку заданного множества или –1, если такой нет.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 1 2 6 8 3 9	3 9 6 8
2	4 4 2 6 8 3 9	9 3 6 8
3	4 5 2 6 8 3 9	-1