Алгоритмы

В Летней Компьютерной Школе (ЛКШ) построили аттракцион "Лабиринт знаний". Лабиринт представляет собой N комнат, занумерованных от 1 до N, между некоторыми из которых есть двери. Когда человек проходит через дверь, показатель его знаний изменяется на определенную величину, фиксированную для данной двери. Вход в лабиринт находится в комнате 1, выход – в комнате N. Каждый ученик проходит лабиринт ровно один раз и попадает в ту или иную учебную группу в зависимости от количества набранных знаний (при входе в лабиринт этот показатель равен нулю). Ваша задача показать наилучший результат.

 

Первая строка входных данных содержит целые числа N (1 <= N <= 2000) – количество комнат и M (1 <= M <= 10000) – количество дверей. В каждой из следующих M строк содержится описание двери – номера комнат, из которой она ведет и в которую она ведет (через дверь можно ходить только в одном направлении), а также целое число, которое прибавляется к количеству знаний при прохождении через дверь (это число по модулю не превышает 10000). Двери могут вести из комнаты в нее саму, между двумя комнатами может быть более одной двери.

 

Выведите ":)" – если можно получить неограниченно большой запас знаний, ":(" – если лабиринт пройти нельзя, и максимальное количество набранных знаний в противном случае.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2 2 1 2 3 1 2 7	7

 

В ориентированном взвешенном графе вершины пронумерованы числами от 1 до n. Если i<j, то существует ребро из вершины i в вершину j, вес которого определяется по формуле \(wt(i,j)=(179i+719j)\ mod \ 1000 - 500\). Определите вес кратчайшего пути, ведущего из вершины 1 в вершину n.

 

Программа получает на вход одно число n (2≤n≤13000).

 

Программа должна вывести единственное целое число - вес кратчайшего пути из вершины 1 в вершину n в описанном  графе.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2	117
2	3	-164

Дан ориентированный граф. Определить, есть ли в нем цикл отрицательного веса, и если да, то вывести его.

 

В первой строке содержится число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа. В следующих N строках находится по N чисел – матрица смежности графа. Веса ребер по модулю меньше 100000. Если ребра нет, соответствующее значение равно 100000.

 

В первой строке выведите "YES", если цикл существует, или "NO", в противном случае. При наличии цикла выведите во второй строке количество вершин в нем (считая одинаковые – первую и последнюю), а в третьей строке – вершины, входящие в этот цикл, в порядке обхода. Если циклов несколько, то  выведите любой из них.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 100000 100000 -51 100  100000 100000 100000 -50  100000	YES 4 3 2 1 3

Дополните программу, чтобы она верно решала следующую задачу.

Дан ориентированный граф, в котором могут быть кратные ребра и петли. Каждое ребро имеет вес, выражающийся целым числом (возможно, отрицательным). Гарантируется, что циклы отрицательного веса отсутствуют.

Требуется посчитать длины кратчайших путей от вершины номер 1 до всех остальных вершин.

 

Программа получает сначала число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа и число M (0 <= M <= 10000) – количество ребер. В следующих строках идет M троек чисел, описывающих ребра: начало ребра, конец ребра и вес (вес – целое число от -100 до 100).

 

Программа должна вывести N чисел – расстояния от вершины номер 1 до всех вершин графа. Если пути до соответствующей вершины не существует, вместо длины пути выведите число 30000.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 4 1 2 10 2 3 10 1 3 100 4 5 -10	0 10 20 30000 30000 30000

Дан ориентированный граф, в котором могут быть кратные ребра и петли. Каждое ребро имеет вес, выражающийся целым числом (возможно, отрицательным). Гарантируется, что циклы отрицательного веса отсутствуют.

 

Требуется посчитать длины кратчайших путей от вершины номер 1 до всех остальных вершин.

 

Программа получает сначала число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа и число M (0 <= M <= 10000) – количество ребер. В следующих строках идет M троек чисел, описывающих ребра: начало ребра, конец ребра и вес (вес – целое число от -100 до 100).

 

Программа должна вывести N чисел – расстояния от вершины номер 1 до всех вершин графа. Если пути до соответствующей вершины не существует, вместо длины пути выведите число 30000.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 4 1 2 10 2 3 10 1 3 100 4 5 -10	0 10 20 30000 30000 30000

Группа Pink Floyd собирается дать новый концертный тур по всему миру. По предыдущему опыту группа знает, что солист Роджер Уотерс постоянно нервничает при перелетах. На некоторых маршрутах он теряет вес от волнения, а на других - много ест и набирает вес.

 

Известно, что чем больше весит Роджер, тем лучше выступает группа, поэтому требуется спланировать перелеты так, чтобы вес Роджера на каждом концерте был максимально возможным. Группа должна посещать города в том же порядке, в котором она дает концерты. При этом между концертами группа может посещать промежуточные города.

 

Входные данные

Первая строка входного файла содержит три натуральных числа n, m и k - количество городов в мире, количество рейсов и количество концертов, которые должна дать группа соответственно (n≤100, m≤10⁴, 2≤k≤10⁴). Города пронумерованы числами от 1 до n. Следующие m строк содержат описание рейсов, по одному на строке. Рейс номер i описывается тремя числами b_i, e_i и w_i - номер начального и конечного города рейса и предполагаемое изменение веса Роджера в миллиграммах (1≤b_i,e_i≤n, −10⁵≤w_i≤10⁵). Последняя строка содержит числа a1, a2, ..., ak - номера городов, в которых проводятся концерты. В начале концертного тура группа находится в городе a1.Гарантируется, что группа может дать все концерты.

 

Выходные данные

Первая строка выходного файла должна содержать число s - количество рейсов, которые должна сделать группа. Вторая строка должна содержать s чисел - номера используемых рейсов. Если существует такая последовательность маршрутов между концертами, что Роджер будет набирать вес неограниченно, то первая строка выходного файла должна содержать строку “infinitely kind”.

Ввод	Вывод
4 8 5 1 2 -2 2 3 3 3 4 -5 4 1 3 1 3 2 3 1 -2 3 2 -3 2 4 -10 1 3 1 2 4	6 5 6 5 7 2 3
4 8 5 1 2 -2 2 3 3 3 4 -5 4 1 3 1 3 2 3 1 -2 3 2 -3 2 4 10 1 3 1 2 4	infinitely kind

 

Профессор Флойд живёт в очень опасном районе города. Ежедневно бандиты грабят на улицах прохожих. Читая криминальную хронику, профессор Флойд вычислил вероятность быть ограбленным при проходе по каждой улице города.

 

Теперь он хочет найти наиболее безопасный путь от дома до университета, в котором он преподаёт. Иными словами, он хочет найти путь от дома до университета, для которого вероятность быть ограбленным минимальна.

 

Входные данные

В первой строке находятся два числа N и M - количество зданий и количество улиц, соединяющих здания (1<=N<=100, 1<=M<= (N*(N−1))/2. В следующей строке находятся числа S и E -- номер дома, в котором живёт профессор и номер дома, в котором находится университет соответственно. Далее в M строках расположены описания дорог: 3 целых числа sieipi - здания, в которых начинается и заканчивается дорога и вероятность в процентах быть ограбленным, пройдя по дороге соответственно (1<=s_i, e_i<=N, 0<=p_i<=100 , дороги двунаправленные). Гарантируется, что существует хотя бы один путь от дома профессора до университета.

 

Выходные данные

Необходимо вывести одно число - минимальную возможную вероятность быть ограбленным. Выведите ответ с максимально возможной точностью.

Ввод	Вывод
3 3 1 3 1 2 20 1 3 50 2 3 20	0.36

 

Сегодня у студентов праздник! В одном из новых зданий университета решили открыть столовую. Для этих целей требуется выбрать одно из зданий, в котором и будет располагаться столовая. Чтобы студенты как можно меньше отвлекались от учёбы, было решено выбрать такое здание, чтобы максимальное расстояние от него до всех остальных зданий было как можно меньше.

 

Помогите найти такое здание!

 

Входные данные

В первой строке находятся два числе N и M - количество зданий и количество дорог, соединяющих здания (1<=N<=100, 0 <=M<=(N(N−1))/2. Далее в M строках расположены описания дорог: 3 целых числа s_i, e_i, l_i - здания, в которых начинается и заканчивается дорога и длина дороги соответственно (1<=s_i, e_i<=N, 0<=l_i,=100, дороги двунаправленные).

 

Выходные данные

Необходимо вывести одно число - номер искомого здания. Если есть несколько зданий удовлетворяющих поставленным критериям, выберите среди них здание с наименьшим номером.

Ввод	Вывод
3 2 1 2 1 2 3 2	2
3 1 1 2 10	1

Профессор Флойд и профессор Дейкстра ненавидят друг друга. После переезда университета во вновь отстроенный университетский городок они потребовали себе кабинеты в зданиях, максимально удалённых друг от друга. Вам поручено найти расстояние между двумя такими зданиями.

 

Иными словами, требуется найти два здания, кратчайший путь между которыми наибольший среди всех пар зданий, и вывести длину этого пути. Так как профессорам иногда все же нужно встречаться, путь между выбранными зданиями должен существовать.

 

Входные данные

В первой строке находятся два числа N и M - количество зданий и количество дорог, соединяющих здания (1<=N<=100, 0<=M<= (N(N−1))/2. Далее в M строках расположены описания дорог: 3 целых числа s_i, e_i, l_i - здания, в которых начинается и заканчивается дорога и длина дороги соответственно (1<=s_i, e_i<=N, 0<=l_i<=100, дороги двунаправленные).

 

Выходные данные

Необходимо вывести одно число - искомое расстояние.

Ввод	Вывод
3 2 1 2 1 2 3 2	3
3 0	0

Полный ориентированный взвешенный граф задан матрицей смежности. Постройте матрицу кратчайших путей между его вершинами. Гарантируется, что в графе нет циклов отрицательного веса.

 

Входные данные

В первой строке вводится единственное число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа. В следующих N строках по N чисел задается матрица смежности графа (j-ое число в i-ой строке соответствует весу ребра из вершины i в вершину j). Все числа по модулю не превышают 100. На главной диагонали матрицы – всегда нули.

 

Выходные данные

Выведите N строк по N чисел – матрицу кратчайших расстояний между парами вершин. j-ое число в i-ой строке должно быть равно весу кратчайшего пути из вершины i в вершину j.

Ввод	Вывод
4 0 5 9 100 100 0 2 8 100 100 0 7 4 100 100 0	0 5 7 13  12 0 2 8  11 16 0 7  4 9 11 0

Дан ориентированный взвешенный граф. Вам необходимо найти пару вершин, кратчайшее расстояние от одной из которых до другой максимально среди всех пар вершин.

 

Входные данные

В первой строке вводится единственное число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа. В следующих N строках по N чисел задается матрица смежности графа, где -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число – присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы – всегда нули.

 

Выходные данные

Выведите искомое максимальное кратчайшее расстояние.

Ввод	Вывод
6 0 6 8 -1 -1 -1 5 0 5 -1 -1 -1 1 7 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 6 -1 -1 -1 -1 -1 0 3 -1 -1 -1 2 -1 0	9

Дан ориентированный взвешенный граф. По его матрице смежности нужно для каждой пары вершин определить, существует ли кратчайший путь между ними или нет.

 

Комментарий: Кратчайший путь может не существовать по двум причинам:

В первой строке входного файла записано единственное число: N (1 <=N <=100) — количество вершин графа. В следующих N строках по N чисел — матрица смежности графа (j-е число в i-й строке соответствует весу ребра из вершины i в вершину j): число 0 обозначает отсутствие ребра, а любое другое число — наличие ребра соответствующего веса. Все числа по модулю не превышают 100.

 

Выведите N строк по N чисел. j-е число в i-й строке должно соответствовать кратчайшему пути из вершины i в вершину j. Число должно быть равно 0, если пути не существует, 1, если существует кратчайший путь, и 2, если пути существуют, но бывают пути сколь угодно маленького веса.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0	1 1 1 0 0  1 1 1 0 0  1 1 1 0 0  0 0 0 2 2  0 0 0 2 2

Недавно вошла в моду корова-художница Picowso.

Picowso рисует особым образом. Она начинает на чистом холсте N×N, представленной матрицей N×N нолей, где ноль означает пустую ячейку холста. Затем она рисует до 9 прямоугольников на холсте, каждый одним из 9 цветов (последовательно пронумерованных 1…9). Например, она может начать рисовать прямоугольник цветом 2, получая такое промежуточное состояние холста:

 

2220 

2220 

2220 

0000

Затем она может нарисовать прямоугольник цветом 7:

 

2220 

2777 

2777 

0000

Затем она может нарисовать прямоугольник цветом 3:

 

2230 

2737 

2777 

0000

Каждый прямоугольник имеет стороны, параллельные сторонам холста и самый большой прямоугольник может быть размером с весь холст, а самый маленький размером в одну ячейку. Каждый цвет из 1…9 используется ровно один раз, хотя впоследствии любой цвет может полностью покрыть некоторые из ранних цветов.

 

По заданному конечному положению холста вычислите сколько из ещё видимых цветов могли быть первым нарисованным цветом.

 

ФОРМАТ ВВОДА:

 

Первая строка ввода содержит N, размер холста (1≤N≤10). Следующие N строк описывают финальную картинку холста, каждая содержит по N чисел в интервале 0…9. Гарантируется, что такой ввод был получен рисованием как описано выше с использованием различных цветов.

ФОРМАТ ВЫВОДА:

 

Выведите количество цветов, которые могли быть использованы первым, из всех цветов, которые видны на финальном рисунке.
 

Ввод	Вывод
4 2230 2737 2777 0000	1

У Фермера Джона есть N коров с пятнами и N коров без пятен. Как генетик, ФД уверен, что пятна на его коровах вызваны мутацией коровьего генома.

За большие деньги ФД выписал геномы своих коров. Каждый геном - это строка длины M, состоящая из четырёх символов A, C, G, T. Когда он выписал геномы всех коров, он получил таблицу, представленную ниже для N=3:

 

Позиция:                     1 2 3 4 5 6 7 ... M

 

Пятнистая корова 1:  A A T C C C A ... T

Пятнистая корова 2:  G A T T G C A ... A

Пятнистая корова 3:  G G T C G C A ... A

 

Корова без пятен 1:  A C T C C C A ... G

Корова без пятен 2:  A G T T G C A ... T

Корова без пятен 3:  A G T T C C A ... T
 

Посмотрев внимательно на эту таблицу он предположил, что позиции 2 и 4 могут отвечать за пятнистость. Поскольку, глядя на символы в этих позициях, ФД может предсказать, какая из его коров пятнистая, а какая - нет (например, если он видит G и С - значит, корова не пятнистая).

 

ФД предположил, что может быть объяснена множеством из трёх различных позиций. Помогите ему посчитать количество трёх различных позиций, которые могут объяснять пятнистость.

 

ФОРМАТ ВВОДА:

 

Первая строка ввода содержит NN (1≤N≤500) и MM (3≤M≤50). Каждая из следующих N строк содержит по M символов. Это описание геномов пятнистых коров. Следующие N строк описывают геномы коров без пятен.
 

ФОРМАТ ВЫВОДА:

 

Вычислите количество множеств из трёх различных позиций, которые могут объяснять пятнистость. Множество из трёх различных позиций может объяснять пятнистость, если пятнистость может быть предсказана абсолютно точно для популяции коров ФД, при анализе этих трёх позиций генома.
 

Ввод	Вывод
3 8 AATCCCAT GATTGCAA GGTCGCAA ACTCCCAG ACTCGCAT ACTTCCAT	22

Picowso решила переключиться на 1-мерный стиль.

Теперь её картины могут описываться 1-мерным массивом цветов длины NN (1≤N≤100,000). А вот стиль у неё остался прежний: Он начинает на пустом отрезке и рисует отрезками. Она использует каждый из цветов 1…N ровно один раз, хотя некоторые из цветов могут быть полностью скрыты к концу рисования.

 

Moonet, соперник Picowso, придумал, как копировать картины Picowso. Он рисует множество не соединяющихся интервалов и т.д. Moonet может рисовать не более одного интервала каждого цвета во время всего процесса. Вычислите количество таких раундов, которые требуются Moonet, чтобы скопировать 1-мерную картину Picowso.

 

ФОРМАТ ВВОДА:

 

Первая строка ввода содержит N, и следующие N строк содержат целое число в интервале 0…N, указывающее цвет каждой ячейки на 1-мерном холсте (0 для пустой ячейки).

ФОРМАТ ВЫВОДА:

 

Выведите минимальное количество раундов, которое требуется для копирования заданного рисунка или -1, если невозможно повторить этот рисунок стилем, аутеничным стилю Picowso (то есть, её нельзя нарисовать слоями последовательностей интервалов, по одному каждого цвета).
 

Ввод	Вывод
7 0 1 4 5 1 3 3	2

Примечание
В данном примере интервал цвета 1 должен быть закрашен в более раннем раунде, чем интервалы цветов 4 и 5, поэтому необходимо как минимум два раунда.
 

Беси изобрела новый язык программирования, но поскольку нет компилятора, она нуждается в Вашей помощи для исполнения её программ.

COWBASIC - это простой, элегантный язык. У него две основные черты: сложение и циклы. Для решения проблемы переполнения, Беси выполняет все операции сложения по модулю 10⁹+7. MOO-цикл исполняет блок кода фиксированное количество раз. Циклы и сложения могут быть вложенными.

 

Вам дана COWBASIC-программа, определите результат её выполнения - число, которое она вернёт.

 

ФОРМАТ ВВОДА:

 

Вам дана COWBASIC-программа длиной не более 100 строк, каждая строка длиной не более 350 символов. COWBASIC-программа это список операторов.

Имеется три типа операторов:

 

<переменная> = <выражение>

 

<литерал> MOO {

  <список операторов>

}

 

RETURN <переменная>

Имеется три типа выражений:

 

<литерал>

 

<перменная>

 

( <выражение> ) + ( <выражение> )
 

Литерал - это положительное целое число не более 100,000.

 

Переменная - это строка не более 10 маленьких латинских букв.

 

Гарантируется, что переменная никогда не будет использована или возвращена оператором RETURN прежде, чем она будет определена. Гарантируется, оператор RETURN будет только один раз в последней строке программы.

 

ФОРМАТ ВЫВОДА:

 

Выведите одно положительное целое число - значение переменной, возвращённой оператором RETURN.

ОЦЕНИВАНИЕ

 

в 20% тестов MOO-циклы не вложены.

В других 20% всех тестов программу будет иметь только одну переменную. MOO-циклы могут быть вложенными

В остальных тестах нет никаких ограничений.
 

Ввод	Вывод	Примечание
x = 1 10 MOO { x = ( x ) + ( x ) } RETURN x	1024	Эта COWBASIC-программа вычисляет 210
n = 1 nsq = 1 100000 MOO { 100000 MOO { nsq = ( nsq ) + ( ( n ) + ( ( n ) + ( 1 ) ) ) n = ( n ) + ( 1 ) } } RETURN nsq	4761	Эта программа вычисляет (105∗105+1)2 (по модулю 109+7).

Дан ориентированный полный граф, рёбрам которого приписаны некоторые веса (длины). Веса могут быть и положительные, и отрицательные, и нулевые. Нас интересует минимум длин всех возможных путей между всеми парами различных вершин этого графа. Нужно будет выяснить, существует ли этот минимум, и, если существует, вычислить его. (Минимума не существует в том случае, если в графе можно найти путь отрицательной длины, сколь угодно большой по модулю, стремящийся к бесконечности).

 

В первой строке задано число вершин N≤50. Далее идёт матрица смежности графа, то есть N строк, в каждой из которых записано N чисел. j-ое число в i-ой строке матрицы смежности задает длину ребра, ведущего из i-й вершину в j-ую. Длины могут принимать любые значения от -1000000 до 1000000. Гарантируется, что на главной диагонали матрицы стоят нули.

 

Выведите одно число – искомый минимум. Если его не существует, выведите  -1.
Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 0 42 18468  6335 0 26501  19170 15725 0	42
2	3 0 -7 3 -2 0 10 2 215 0	-1

Дан ориентированный граф, рёбрам которого приписаны некоторые неотрицательные веса (длины). Надо найти две вершины, кратчайший путь между которыми имеет наибольшую длину.

 

В первой строке задано число вершин N ≤50. Далее идёт матрица смежности графа, то есть N строк, в каждой из которых записано N чисел. j-ое число в i-ой строке матрицы смежности задает длину ребра, ведущего из i-й вершину в j-ую. Длины могут принимать любые значения от от 0 до 1000000. Гарантируется, что на главной диагонали матрицы стоят нули.

 

Выведите одно число – длину искомого пути.

Дан ориентированный граф, рёбрам которого приписаны некоторые неотрицательные веса (длины). Найти длину кратчайшего пути из вершины s в вершину t.

 

Входные данные

В первой строке заданы три числа: число вершин в графе N ≤50, номера вершин s и t. Далее идёт матрица смежности графа, то есть N строк, в каждой из которых записано N чисел. j-ое число в i-ой строке матрицы смежности задает длину ребра, ведущего из i-й вершину в j-ую. Длины могут принимать любые значения от 0 до 1000000, число -1 означает отсутствие соответствующего ребра. Гарантируется, что на главной диагонали матрицы стоят нули.

 

Выходные данные

Выведите одно число – минимальную длину пути. Если пути не существует, выведите -1.

Ввод	Вывод
3 1 2 0 -1 3 7 0 1 2 215 0	218

Дан ориентированный взвешенный граф. Используя алгоритм Дейкстры, найдите кратчайший путь от одной заданной вершины до другой, проходящий через наибольшее число узлов.

 

В первой строке содержатся два числа: N, F (1≤N≤100, F≤N), где N – количество вершин графа, а F – конечная. В следующих N строках вводится по N чисел, не превосходящих 100, – матрица смежности графа, где -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число – присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы записаны нули.

 

Требуется вывести последовательно все вершины того из путей до заданной, у которого количество переходов наибольшее.
 

Ввод	Вывод
3 1 0 1 1 4 0 1 2 1 0	2 3 1