Алгоритмы

Пастбище Фермера Джона может быть представлено как огромная 2D-решётка ячеек, помеченная упорядоченными парами (i,j) для всех 1≤i≤N, 1≤j≤N (1≤N≤150). Некоторые из этих ячеек содержат траву.
Непустое подмножество ячеек решётки называется "сбалансированным", если выполняются следующие условия:

Все ячейки подмножества содержат траву.
Подмножество 4-связное. Другими словами, существует путь из любой ячейки подмножества в любую другую ячейку подмножества такой, что две последовательные ячейки пути соседствуют горизонтально или вертикально.
Если ячейки (x₁,y) (x₂,y) (x₁≤x₂) есть часть подмножества, то все ячейки (x,y) с x₁≤x≤x₂ также часть подмножества.
Если ячейки (x,y₁) and (x,y₂) (y₁≤y₂) есть часть подмножества, то все ячейки (x,y) with y₁≤y≤y₂ также часть подмножества.
Посчитайте количество сбалансированных подмножеств по модулю 10⁹+7.

Входные данные: 
Первая строка содержит число N.
Каждая их последующих N строк содержит строку из N символов. j-ый символ строки i сверху равен G если ячейка (i,j) содержит траву или символ . в противном случае.

Выходные данные: 
Количество сбалансированных подмножеств по модулю 10⁹+7.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	2 GG GG	13	Для этого теста все 4-связные подмножества сбалансированные. G.  .G  ..  ..  GG  .G  ..  G.  GG  .G  G.  GG  GG .., .., G., .G, .., .G, GG, G., G., GG, GG, .G, GG
2	4 GGGG GGGG GG.G GGGG		642 Ниже пример подмножества, которое удовлетворяет второму условию (4-связности), но не удовлетворяет третьему условию: GG.. .G.. GG.. ....

Олег очень любит двоичные последовательности — последовательности из нулей и единиц. Совсем недавно он написал в тетради очередную двоичную последовательность из n элементов.
Для выписанной последовательности Олег посчитал Z-функцию.

Z-функцией последовательности s₁, . . . , s_n называется массив z[1..n], в котором:

• z[1] = 0;
• Если i > 1, то z[i] равно длине наибольшего общего префикса последовательности s и суффикса последовательности s, начинающегося с i-й позиции. Иначе говоря, z[i] равно максимальному k, такому что s₁ = s_i , s₂ = s_i+1, . . . , s_k = s_i+k−1.

Например, для последовательности s = h0, 0, 1, 1, 0, 0, 1i Z-функция следующая: z = h0, 1, 0, 0, 3, 1, 0i.
Записав в тетради последовательность и ее Z-функцию, Олег лег спать. Пока он спал, его младший брат Егор прокрался в комнату и закрасил фломастером последовательность и некоторые значения Z-функции. Проснувшись, Олег заинтересовался, сколько различных двоичных последовательностей он мог вечером написать в тетради, чтобы незакрашенные значения Z-функции были правильными.

Найдите число искомых последовательностей и выведите его по модулю 10⁹ + 7. Заметьте, что Олег мог и ошибиться при вычислении Z-функции, в этом случае ни одна последовательность не подходит и ответ равен 0.
Формат входных данных
В первой строке входного файла находится целое число n — длина исходной двоичной последовательности (1 ≤ n ≤ 1000). Во второй строке входного файла находятся n целых чисел z[1], . . . , z[n], где z[i] — значение Z-функции в позиции i, или −1, если значение в i-й позиции было закрашено (−1 ≤ z[i] ≤ n).

Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число — остаток от деления числа подходящих двоичных последовательностей на число 10⁹ + 7.
 

Ввод	Вывод
3 0 0 1	2
4 0 0 1 0	0
3 0 3 -1	0
3 -1 -1 -1	8

Пояснение
В первом примере подходят последовательности {0, 1, 0 }  и { 1, 0, 1 }.
Во втором примере не существует ни одной двоичной последовательности длины 4 с заданной Z-функцией.
В третьем примере z[2] = 3, что противоречит определению Z-функции, поэтому ответ 0.
В четвертом примере подходит любая двоичная последовательность длины 3.

 

Аркадий Аркадьевич, широко известный в узких кругах инженер, после выхода на пенсию решил отдохнуть и заняться садоводством. Он уже купил себе участок и собирается сажать там различные овощи и фрукты. Но всем известно, что растения должны расти в грядках, поэтому сейчас Аркадий Аркадьевич занят их сооружением.

Для того чтобы собрать прямоугольную грядку, нужны 4 доски. В идеале это должны быть две пары досок равной длины, тогда из них можно сложить ровный прямоугольник. Но если доски имеют неравную длину, то в одном из углов полученной грядки можно разместить пластиковый уголок: две планки длины \(r\), скреплённые под прямым углом. Уголок со стороной \(r\) позволит увеличить длины двух досок на величину, не превосходящую \(r\). Если противоположными сторонами грядки будут доски длины \(a\) и \(b\), а также \(c\) и \(d\) соответственно, то для того чтобы сделать прямоугольную грядку из этих досок, понадобится уголок размера \(\max(|a-b|, |c-d|)\) . Например, чтобы сделать грядку из досок длины 5, 7, 3, 2, понадобится уголок размера 2. На рисунке чёрным цветом изображены доски и красным цветом изображён уголок.

В сарае у Аркадия Аркадьевича нашлись \(n\) досок, \(i\)-я из которых имеет длину \(l_i\). Теперь он хочет выбрать из них четыре и сложить из них грядку таким образом, чтобы использовать уголок наименьшего размера. Помогите ему.

Первая строка входных данных содержит число \(n\) (\(4 \leq n \leq 10^5\)) — количество досок в сарае у Аркадия Аркадьевича.

Следующие \(n\) строк содержат числа \(l_1, \dots, l_n\) (\(1 \leq l_i \leq 10^9\)) — длины досок.

Программа должна сначала вывести число \(r\) — минимально возможный размер уголка.

Во второй строке выведите 4 числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)  — длины досок, которые необходимо выбрать для грядки. При этом противоположными сторонами прямоугольника будут доски \(a\) и \(b\), а также \(c\) и \(d\). Если есть разные варианты выбора досок для грядки с одной и той же величиной уголка, можно вывести любой из них.

Решения, правильно работающие, когда \(n \leq 30\), будут оцениваться в 20 баллов.

Решения, правильно работающие, когда \(n \leq 100\), будут оцениваться в 45 баллов.

Решения, правильно работающие, когда \(n \leq 500\), будут оцениваться в 65 баллов.

Решения, правильно работающие, когда все \(l_i \leq 30\), будут оцениваться в 10 баллов.

Этаж здания представляет собой прямоугольник из \(n\times m\) квадратных комнат. Из каждой комнаты есть проходы в соседние комнаты. В двух комнатах находятся лестницы. Необходимо разработать план эвакуации — указать для каждой комнаты направление движения в одну из соседних комнат так, чтобы, передвигаясь по комнатам только в указанных направлениях, можно было бы достичь одной из двух лестниц, пройдя минимальное расстояние.

На рисунке изображён возможный план эвакуации для примера из условия. Комнаты с лестницами обозначены звёздочками.

Первая строка входных данных содержит число \(n\) — количество строк в плане эвакуации, \(1\le n\le 100\). Вторая строка входных данных содержит число \(m\) — количество столбцов в плане эвакуации, \(2\le m\le 100\). Следующие две строки содержат числа \(r_1\) и \(c_1\) — номера строки и столбца комнаты, в которой находится первая лестница, \(1\le r_1\le n\), \(1\le c_1\le m\). Следующие две строки содержат числа \(r_2\) и \(c_2\) — номера строки и столбца комнаты, в которой находится вторая лестница, \(1\le r_2\le n\), \(1\le c_2\le m\). Гарантируется, что \(r_1\ne r_2\) или \(c_1\ne c_2\). Строки нумеруются сверху вниз числами от 1 до \(n\), столбцы нумеруются слева направо числами от 1 до \(m\).

Программа должна вывести \(n\) строк, каждая строка должна содержать \(m\) символов. Каждый символ соответствует одной комнате. В двух комнатах с лестницами должен находиться символ <<S>> (прописная английская буква). В остальных комнатах находятся символы, указывающие направление движения:

<<<>> (символ <<меньше>>) — налево.

<<>>> (символ <<больше>>) — направо.

<<^>> (символ находится на клавише <<6>>) — вверх.

<<v>> (строчная английская буква) — вниз.

Никакие другие символы, например, пробелы, выводить не нужно. Вы можете вывести любой подходящий план эвакуации.

Решения, правильно работающие, когда \(n=1\), будут оцениваться в 20 баллов.

Решения, правильно работающие, когда \(c_1=c_2\), будут оцениваться в 20 баллов.

Решения, правильно работающие, когда лестницы находятся в двух противоположных углах здания, будут оцениваться в 20 баллов.

На числовой прямой даны \(n\) отрезков. Нужно выбрать минимальное количество точек на прямой так, чтобы каждый отрезок содержал хотя бы одну из выбранных точек.

Точка \(x\) принадлежит отрезку \([l, r]\), если \(l \le x \le r\) (концы включены).

Формат входных данных

В первой строке — целое число \(n\) (\(1 \le n \le 10^5\)).

В каждой из следующих \(n\) строк — два целых числа \(l_i\) и \(r_i\) (\(-10^9 \le l_i \le r_i \le 10^9\)) — концы очередного отрезка.

Формат выходных данных

Одно целое число — минимальное количество точек.

Примечание

В первом примере четыре отрезка: \([1, 6]\), \([2, 8]\), \([7, 12]\), \([10, 16]\). Точки \(x = 6\) и \(x = 10\) вместе попадают в каждый из отрезков: \(6\) — в первые два, \(10\) — в последние два. Меньше двух точек не хватит — отрезки \([1, 6]\) и \([10, 16]\) не пересекаются, одной общей точки у них нет.

Во втором примере все три отрезка содержат точку \(x = 5\), так что одной точки достаточно.

На числовой прямой даны \(n\) отрезков. Для каждой неупорядоченной пары отрезков \((i, j)\) рассмотрим длину их пересечения. Если отрезки не пересекаются — длина пересечения равна нулю.

Найдите сумму длин пересечений по всем парам.

Формат входных данных

В первой строке — целое число \(n\) (\(1 \le n \le 10^5\)).

В каждой из следующих \(n\) строк — два целых числа \(l_i\) и \(r_i\) (\(-10^9 \le l_i \le r_i \le 10^9\)) — концы очередного отрезка.

Формат выходных данных

Одно целое число — сумма длин пересечений по всем неупорядоченным парам отрезков. Ответ может не помещаться в 32-битный тип.

Примечание

В первом примере три отрезка: \([0, 10]\), \([2, 6]\), \([8, 15]\).

• Пересечение первого и второго — \([2, 6]\) длины \(4\).
• Пересечение первого и третьего — \([8, 10]\) длины \(2\).
• Пересечение второго и третьего пусто.

Сумма: \(4 + 2 + 0 = 6\).

Во втором примере четыре одинаковых отрезка длины \(10\). Каждая из \(\binom{4}{2} = 6\) пар даёт пересечение длины \(10\), итого \(60\).

На числовой прямой даны \(n\) отрезков. Назовём глубиной отрезка \(i\) количество отрезков \(j\) (включая сам отрезок \(i\)), которые целиком его содержат: \(l_j \le l_i\) и \(r_i \le r_j\).

Найдите максимальную глубину среди всех данных отрезков.

Формат входных данных

В первой строке — целое число \(n\) (\(1 \le n \le 5000\)).

В каждой из следующих \(n\) строк — два целых числа \(l_i\) и \(r_i\) (\(-10^9 \le l_i \le r_i \le 10^9\)) — концы очередного отрезка.

Формат выходных данных

Одно целое число — максимальная глубина.

Примечание

В первом примере отрезок \([3, 4]\) содержится в \([2, 5]\), который, в свою очередь, содержится в \([1, 10]\). Глубина \([3, 4]\) равна \(3\): его содержат он сам, \([2, 5]\) и \([1, 10]\). Это максимум.

Во втором примере все три отрезка совпадают, и каждый «содержится» в каждом — глубина равна \(3\).