Алгоритмы

Рассмотрим сеть из N (2≤N≤100) вершин, помеченных 1…N. Каждая вершина обозначена как посылатель, получатель или ни то, ни другое. Количество посылателей S равно количеству получателей (S≥1).
Связи между двумя вершинами в сети могут быть описаны как список направленных ребер каждое в виде i→j, обозначающее, что вершина i может передать информацию вершине j. Интересно, что все эти рёбра удовлетворяют свойству i<j, кроме K которые удовлетворяют свойству i>j (0≤K≤2). Нет циклов (ребер вида i→i).

Описание схемы маршрутизации состоит из множества S направленных путей от посылателей к получателям таких, что никакие два из этих путей не имею общую конечную точку. То есть пути соединяют различных посылателей с различными получателями. Путь от посылателя s к получателю r может быть описан как последовательность вершин такая что направленные ребра vi→vi+1 существуют для всех 0≤i<e. Одна вершина может появиться более чем один раз в одном и том же пути.
Посчитайте количество различных схем маршрутизации, таких, что каждое направленное ребро проходится ровно один раз. Поскольку ответ может быть очень большим, выводите его по модулю 10⁹+7. Гарантируется, что существует хотя бы одна схема маршрутизации, удовлетворяющая ограничениям.

Каждый ввод содержит T (1≤T≤20) тестов, которые требуется решать независимо. Гарантируется, что сумма N² всех тестов не превысит 2⋅10⁴.


Входные данные: 
Первая строка содержит T, количество тестов.
Первая строка каждого теста содержит целые числа N и K. Заметим, что S не определяется явно во вводе.

Вторая строка каждого теста содержит строку длины N. i-ый символ строки равен S если i-ая вершина посылатель, R - если i-ая вершина - получатель, . - если i-ая вершина - ни то, ни другое. Количества символов R и S равны. Есть хотя бы один символ S.

Каждая из N последующих строк теста содержит битовую строку из N нулей и единиц. j-ый бит в i-ой строке равен 1, если существует направленное ребро от вершины i к вершине j, и 0 в протвном случае. Поскольку петель нет, на главной диагонали все нули. Более того имеется ровно K единиц ниже главной диагонали.

Последовательные тесты разделены пустыми строками для читабельности.

Выходные данные: 
Для каждого теста выведите количество схем маршрутизации таких, что каждое ребро проходится ровно один раз, по модулю 109+7. Гарантируется, что существует хотя бы одна валидная схема маршрутизации.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	2 8 0 SS....RR 00100000 00100000 00011000 00000100 00000100 00000011 00000000 00000000 13 0 SSS.RRRSS.RR. 0001000000000 0001000000000 0001000000000 0000111000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000001000 0000000001000 0000000000110 0000000000000 0000000000000 0000000000000	4 12	Для первого теста ребра таковы 1→3,2→3,3→4,3→5,4→6,5→6,6→7,6→8. Имеется четыре схемы маршрутизации: 1→3→4→6→7,2→3→5→6→8 1→3→5→6→7,2→3→4→6→8 1→3→4→6→8,2→3→5→6→7 1→3→5→6→8,2→3→4→6→7 Для второго теста 1→4,2→4,3→4,4→5,4→6,4→7,8→10,9→10,10→11,10→12. Одна из возможных схем маршрутизации: 1→4→5 2→4→7 3→4→6 8→10→12 9→10→11 В общем случае посылатели {1,2,3} могут маршрутизироваться некоторой перестановкой получателей {5,6,7}, и посылатели {8,9} могут маршрутизироваться некоторой перестановкой получателей {11,12} давая ответ 6 ⋅ 2=12.
2	2 5 1 SS.RR 00101 00100 10010 00000 00000 6 2 S....R 001000 000100 010001 000010 001000 000000	3 1	Для первого теста, ребра 1→3,1→5,2→3,3→1,3→4. имеется три схемы маршрутизации: 1→3→1→5, 2→3→4 1→3→4, 2→3→1→5 1→5, 2→3→1→3→4 Для второго теста 1→3,2→4,3→2,3→6,4→5,5→3. Имеется только одна схема мартшрутизации: 1→3→2→4→5→3→6.
3	5 3 2 RS. 010 101 100 4 2 .R.S 0100 0010 1000 0100 4 2 .SR. 0000 0011 0100 0010 5 2 .SSRR 01000 10101 01010 00000 00000 6 2 SS..RR 001010 000010 000010 000010 100101 000000	2 1 2 6 24

У Беси есть N (3≤N≤40)любимых точек на 2D-решётке, никакие три из которых не коллинеарны. Для каждого 1≤i≤N, i-ая точка задаётся двумя целочисленными координатами x_i и y_i (0≤x_i,y_i≤10⁴).
Беси рисует некоторые отрезки между точками следующим образом:

Она выбирает некоторую перестановку p₁,p₂,…,p_N из N точек
Она рисует отрезки между p₁ и p₂, p₂ и p₃, p₃ и p₁.
Затем для каждого целого i от 4 до N по порядку, она рисует отрезки прямых от p_i до p_j для всех j<i так, этот отрезок не пересекает никакой из ранее нарисованных отрезков (вне конечных точек)
Беси заметила, что для каждого i она нарисовала ровно три новых отрезка. Вычислите количество перестановок, которые Беси могла выбрать на шаге 1, которые удовлетворяют этому свойству по модулю 10⁹+7.

Входные данные: 
Первая строка содержит N.
Каждая из последующих N строк содержит два разделённых пробелом целых числа x_i и y_i.

Выходные данные: 
Количество перестановок по модулю 10⁹+7.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	4 0 0 0 4 1 1 1 2	0	Никакая перестановка не сработает.
2	4 0 0 0 4 4 0 1 1	24	Все перестановки работают.
3	5 0 0 0 4 4 0 1 1 1 2	96	Одна из перестановок, удовлетворяющих свойству - (0,0),(0,4),(4,0),(1,2),(1,1). Для этой перстановки Сначала она рисует отрезки между каждой парой (0,0),(0,4), и (4,0). Затем она рисует отрезки от (0,0), (0,4), и (4,0) до (1,2). Наконец, она рисует отрезки от (1,2), (4,0), и (0,0) до (1,1). Рисунок: Перестановка не удовлетворяет свойству, если её первые четыре точки (0,0)(0,0), (1,1)(1,1), (1,2)(1,2), и (0,4)(0,4) в некотором порядке.

Коровы Фермера Джона ежедневно собираются на видео-платформе "mooZ". Они придумали простую числовую игру.
У Эльзы есть три положительных целых числа A, B, C (1≤A≤B≤C). Предполагается что они секретные, поэтому она не объявляет их явно своей сестре Беси. Вместо этого она говорит Беси N (4≤N≤7) различных целых чисел x₁,x₂,…,x_N (1≤x_i≤10⁹), подразумевая что каждое из xi это одно из чисел A, B, C, A+B, B+C, C+A, or A+B+C. Однако Эльза может солгать. Целые числа xi могут не соответствовать ни одной корректной тройке (A,B,C).

Беси попросила Вас определить количество троек (A,B,C), соответствующих числам, которые представила Эльза (возможно 0).

Каждый входной файл будет содержать T (1≤T≤100) тестов, которые необходимо обрабатывать независимо.

ФОРМАТ ВВОДА 
Первая строка содержит целое число T.
Каждый тест начинается с числа N, количества целых числе, которые Эльза дала Беси.

Вторая строка каждого теста содержит N различных целых чисел x₁,x₂,…,x_N.

ФОРМАТ ВЫВОДА 
Для каждого теста выведите количество троек (A,B,C), соответствующих представленным Эльзой числам.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	10 7 1 2 3 4 5 6 7 4 4 5 7 8 4 4 5 7 9 4 4 5 7 10 4 4 5 7 11 4 4 5 7 12 4 4 5 7 13 4 4 5 7 14 4 4 5 7 15 4 4 5 7 16	1 3 5 1 4 3 0 0 0 1	Для x={4,5,7,9}, имеется 5 возможных комбинаций: (2,2,5),(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),(4,5,7).

В свободное от программирования время Вася увлекается экспериментами, и его любимый — переливание воды между колбами. У него есть две колбы размером a и b миллилитров соответственно, и неограниченное количество воды. Вася может производить с ними следующие действия:

•  Налить воду в первую колбу до края (после этого в ней будет a миллилитров воды)
•  Полностью вылить воду из первой колбы
•  Налить воду во вторую колбу до края (после этого в ней будет b миллилитров воды)
•  Полностью вылить воду из второй колбы
•  Перелить воду из первой колбы во вторую. В этом случае, если во второй колбе достаточно места, чтобы уместить всю текущую воду первой колбы, вода из первой колбы переливается полностью во вторую. Если же во второй колбе места недостаточно, вторая колба заполняется до предела (в ней после этого будет b миллилитров воды), а в первой колбе остается все остальное.

Состоянием колб Вася называет упорядоченную пару (x, y), где x — текущее количество воды в первой колбе, а y— во второй. Вася хочет изучить поставленную самим собой задачу и понять, сколько различных состояний он может получить описанными выше переливаниями.
Входные данные
В единственной строке входного  через пробел записаны два натуральных числа a и b (1 ≤ a, b ≤ 100) — емкости первой и второй колбы соответственно.
Выходные данные
В единственной строке выходного выведите одно число — число различных состояний, которое можно получить описанными в задаче переливаниями воды.
 

Ввод	Вывод
2 5	14

Примечание
Совпадают снежинки 1 и 2 и 4 после поворота или после переворачивания и снежинки 3 и 5 после переворачивания и поворота.

Лифт

В лаборатории биоинформатики ученые проводят эксперименты по распространению искусственно созданных вирусов. Для эксперимента используется специальная лабораторная установка, представляющая собой таблицу из n × m ячеек. В каждую ячейку помещается живая клетка. Ученые заражают вирусом некоторые клетки, всего исходно заражается не более 8 клеток.
Каждую секунду среди незараженных клеток, имеющих зараженную клетку в соседней по стороне ячейке, ровно одна клетка заражается вирусом.
Ученые заинтересовались, какие конфигурации зараженных клеток могут получиться через t секунд. Для начала они хотят посчитать число таких конфигураций. Помогите им это сделать.

Формат входных данных
В первой строке входного файла находятся целые числа n, m и t (1 ≤ n, m ≤ 100, 1 ≤ t ≤ 6) — размеры таблицы и количество секунд. Каждая из следющих n строк содержит m символов. Символ «.» означает, что в изначальной конфигурации клетка не заражена, а символ «*» — что заражена. Количество «*» в таблице не превышает 8. Гарантируется, что незараженных клеток в исходной конфигурации не меньше t.

Формат выходных данных
Выведите количество различных возможных конфигураций таблицы после t секунд.
 

Ввод	Вывод
2 2 1 *. ..	2
2 2 2 *. ..	3
2 2 3 *. ..	1

В 2086 году в программу зимней олимпиады решено было добавить соревнования по перетягиванию каната на льду. Для проведения финала соревнования организаторы нашли n кусков каната. Для повышения зрелищности соревнования решено было сделать связать некоторые из этих кусков в один как можно более длинный канат.

Когда начались работы по связыванию, выяснилось, что на узел, связывающий два куска каната между собой, уходит по d сантиметров каната с каждого из связываемых концов. Также, оказалось, что связывать так, что получающиеся узлы находятся близко друг к другу, невозможно: расстояние между соседними узлами должно быть хотя бы d сантиметров. Например, если d = 10, то после связывания кусков каната длиной 25 и 50 сантиметров, получается канат длиной 55 сантиметров, в 15 сантиметрах от одного из краев которого находится узел.

До начала соревнований остается мало времени, поэтому они обратились за помощью к вам. Помогите организаторам выяснить, канат какой максимальной длины удастся получить.

Формат входных данных
В первой строке заданы числа n (1 ≤ n ≤ 100 000) и d (1 ≤ d ≤ 1000) — количество кусков каната и длина каната, уходящая на завязывание узла. Во второй строке заданы n чисел ai (1 ≤ a_i ≤ 1000) — длины имеющихся кусков каната.

Формат выходных данных
Выведите единственное число — максимальную длину каната, которую можно получить.
 

Ввод	Вывод
2 10 25 50	55
5 2 4 5 6 7 8	14

Мальчик Вася очень любит геометрию. Кроме того, ему очень нравится забивать гвозди в доску. Сегодня он изучает свою любимую металлическую пластину, которую он собирается прибить к деревянной доске.

Пластина имеет форму, ограниченную многоугольником без самопересечений и самокасаний. В первой вершине многоугольника пластина имеет маленькую петлю.

Сначала Вася кладет пластину на доску, лежащую на горизонтальном столе, и прибивает ее гвоздем к пластине через петлю в первой вершине. Вбитый гвоздь жестко закрепляет положение первой вершины, однако позволяет пластине вращаться вокруг нее.

Теперь Вася хочет забить в доску еще один гвоздь, который бы ограничил вращение пластины, но он еще не решил куда. Он наметил m возможных позиций, куда он хотел бы забить гвоздь, и для каждой из них хочет узнать, на какой угол он сможет поворачивать свою пластину, если забьет в доску гвоздь в этой точке. При этом как только пластина касается гвоздя, дальше ее поворачивать нельзя.

Формат входных данных
В первой строке входного файла задано число n (3 ≤ n ≤ 2 000) — количество вершин многоугольника. В следующих n строках заданы координаты вершин многоугольника в порядке обхода. В следующей строке задано число m (1 ≤ m ≤ 2 000) — количество точек, которые Вася рассматривает как возможные положения второго гвоздя. В следующих m строках заданы координаты этих точек. Все эти точки находятся снаружи от исходного положения пластины. Все координаты во входном файле целые и не превосходят 10⁶ по модулю.

Формат выходных данных
Выходной файл должен содержать m строк. В i-й строке выведите два вещественных числа α_i и β_i , где α_i — максимальный угол в градусах, на который можно повернуть пластину по часовой стрелке, если Вася забьет гвоздь в i-ю точку, а β_i — максимальный угол в градусах ,на который в этом случае можно повернуть пластину против часовой стрелки. Если гвоздь не мешает пластине поворачиваться, выведите α_i = β_i = 360. Ответ считается верным, если его абсолютная или относительная погрешность относительно правильного не превосходит 10⁻⁶ .
 

Ввод	Вывод
4 0 0 -3 -3 0 -6 3 -3 3 -8 0 -2 0 2 -1	360.000000000000 360.000000000000 45.000000000000 225.000000000000 251.565051177078 18.434948822922

Пояснение


На рисунке выше изображен тест из примера. Прямоугольник показывает начальное положение пластины.
Точками показаны позиции, в которые Вася планирует забить гвоздь.
Гвоздь, забитый в первую точку, не мешает пластине поворачиваться.
Гвоздь, забитый во вторую точку, позволяет повернуть пластину на 45 гр.  по часовой стрелке или на 225 гр. против часовой стрелки.

 

GLaDOS приготовила для Челл новое, последнее испытание! В его рамках ей предстоит найти торт. Но всё не так-то просто — у неё отобрали портальную пушку и завязали глаза. Единственное, что Челл известно, — что она находится в прямоугольной комнате, выложенной квадратной плиткой, и что где-то в этой комнате расположен торт. Всё что остаётся делать Челл, — слепо переходить с плитки на плитку в поисках торта.

Кроме того, так как действие происходит в Лаборатории Исследования Природы Порталов, на каждой стене комнаты расположен портал, связанный с противоположной стеной. Формально: рас- смотрим комнату как прямоугольную сетку размера W × H и введем систему координат так, чтобы левая нижняя ячейка сетки имела координаты (0, 0), а правая верхняя — (W − 1, H − 1). За один шаг Челл может перейти в одну из четырёх соседних ячеек, причём попытка пройти сквозь стену приводит к тому, что Челл появляется с противоположной стороны комнаты. Например, шаг вниз из ячейки (x, 0) приведёт в ячейку (x, H −1), а шаг влево из ячейки (0, y) приведёт в ячейку (W −1, y).

Чтобы сделать испытание сложнее, GLaDOS не сообщила Челл ни размеры комнаты, ни коорди- наты её изначального положения, ни координаты торта. Более того, так как у Челл завязаны глаза, а портальная технология достигла совершенства в своём развитии, Челл даже не может определить, прошла ли она очередным ходом через портал или нет.

Челл может найти торт, только оказавшись в одной клетке с ним. Помогите ей пройти последнее испытание! Формат взаимодействия с тестирующей системой Это интерактивная задача. Ваша программа будет общаться с тестирующей системой по протоколу, описанному ниже. Вам разрешается произвести не более 200 000 ходов. Чтобы переместиться в соседнюю ячейку, выведите строку, содержащую ровно один символ, задающий направление перемещения: «U» — вверх; «D» — вниз; «L» — влево; «R» — вправо. Затем вы должны считать строку, в которой будет находиться ровно один символ, обозначающий результат перемещения: • «Y» — после произведённого хода Челл оказалась в клетке с тортом; • «N» — после произведённого хода Челл оказалась в клетке, не содержащей торт; • «E» — служебный символ, обозначающий, что после произведённого хода Челл всё ещё не нашла торт, а ваша программа превысила ограничение на количество ходов. Обратите внимание, после считывания символа «Y» или «E» вы обязательно должны сразу завершить вашу программу. В противном случае, вердикт тестирующей системы может быть некор- ректным! Гарантируется, что в клетке, в которой исходно находится Челл, нет торта. В точности соблюдайте формат выходных данных. После вывода каждой строки сбрасы- вайте буфер вывода — для этого используйте команды flush(output) на языке Паскаль или Delphi, fflush(stdout) или cout.flush() в C/C++, sys.stdout.flush() на языке Python, System.out.flush() на языке Java.

Какая система счисления используется в компьютерной технике?

1. двоичная
2. унарная
3. шестнадцатеричная
4. десятичная