Алгоритмы

На плоскости даны две прямые. Каждая прямая задается парой точек, через которые она проходит. Требуется установить, пересекаются ли эти прямые, и найти координаты точки пересечения.

Входные данные
Вводятся сначала координаты двух различных точек, через которые проходит первая прямая, а затем - координаты еще двух различных (но, быть может, совпадающих с первыми двумя) точек, через которые проходит вторая прямая. Координаты каждой точки - целые числа, по модулю не превышающие 1000.

Выходные данные
Если прямые не пересекаются, выведите одно число 0. Если прямые совпадают, выведите 2. Если прямые пересекаются ровно в одной точке, то выведите сначала число 1, а затем два вещественных числа - координаты точки пересечения.

Для того, чтобы отойти ко сну, живущему в ЛКШ мальчику Пете необходимо почистить зубы, вымыть ноги, принять душ и т.д., одним словом, посетить умывальник. Так случилось, что в корпусе, где он проживает, смонтировано лишь два умывальника. Вообще корпус представляет собой совокупность из N холлов, некоторые из которых соединены коридорами, причем, если по коридору можно пройти в одну сторону, это вовсе не означает, что можно пройти и в другую. Это фишка архитекторов.

Так как Петя идёт умываться после отбоя, он смертельно боится попасться на глаза воспитателям ЛКШ. Однако, как выяснилось, в каждом коридоре стоит ровно по одному воспитателю, причём каждый из них считает своим долгом при встрече Пети влепить ему наряд вне очереди.

Стоит отметить ещё одну немаловажную особенность корпуса, в котором живёт Петя: архитекторы оставили потайные ходы напрямую из каждого холла в оба умывальника, но т.к. существование этих ходов приравнивается руководством к красивой легенде, в случае пользования одним из них, Петя получит 10000 нарядов вне очереди.

Петя хочет узнать, получит ли он меньше нарядов вне очереди, если пойдёт в первый умывальник, нежели если он пойдёт во второй. Обратный путь его не интересует.

Входные данные
В первой строке входного файла четыре числа: N, S, V1, V2 (1 <= N <= 1000; 1 <= S, V1, V2 <= N), где N - общее количество холлов, S - номер холла, в котором Петя находится в начальный момент времени, V1, V2 - номера холлов, в которых располагаются умывальники. В следующих N строках по N чисел - 1 или 0. Стоящий в I-ой строке на J-ом месте 0 означает отсутствие коридора из I-го холла в J-ый, а стоящая 1 - присутствие.

Выходные данные
Вывести 1, если Петя сможет получить меньше нарядов вне очереди при использовании первого умывальника, нежели при использовании второго, или 0 в противном случае.

Переведите натуральное число из двоичной системы в десятичную (в двоичном числе не более 10 цифр).

Входные данные
Вводится натуральное число, записанное в двоичной системе.

Выходные данные
Выведите число, записанное в десятичной системе.

Входные данные
Семь чисел – координаты двух точек вне прямой и коэффициенты A, B и C её нормального уравнения.

Выходные данные
Одна строка “YES”, если точки лежат по одну сторону прямой, и “NO” в противном случае.

Входные данные
Шесть чисел – координаты точки и координаты концов отрезка.

Выходные данные
Одна строка “YES”, если точка принадлежит отрезку, и “NO” в противном случае.

Входные данные
Четыре числа – коэффициенты A, B и C уравнения прямой и величина R.

Выходные данные
Три числа – коэффициенты A, B и C уравнения любой из прямых, параллельных заданной и лежащих от неё на расстоянии R.

Входные данные
Четыре числа – координаты двух невырожденных (т.е. ненулевых) векторов.

Выходные данные
Одно число – величина угла α
между векторами (0≤α≤π) с точностью до пятого знака после запятой.

Что происходит с программой, когда она запускается на компьютере?

1. Программа загружается в жесткий диск, и операционная система резервирует пространство для данных.
    
2. Программа загружается в оперативную память, и операционная система резервирует дополнительную оперативную память для использования программой во время ее работы.
    
3. Программа загружается в кэш процессора, и операционная система резервирует кэш для данных.
    
4. Программа загружается в видеокарту, и операционная система резервирует видеопамять для данных.

Поле в игре <<Речной бой>> представляет собой полоску длины \(n\) клеток и шириной в одну клетку. Где-то на поле расположен корабль из \(k\) клеток (\(k \le n\)). Какое наименьшее число выстрелов необходимо, чтобы гарантированно потопить корабль? После каждого выстрела сообщается его результат: <<мимо>>, <<ранен>> или <<убит>>.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит целое число \(n\) (\(1 \le n \le 10^9\)).

Вторая строка входных данных содержит целое число \(k\) (\(1 \le k \le n\)).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — количество выстрелов.

Замечание

В первом примере поле состоит из \(n=4\) клеток, корабль имеет длину \(k=2\). Первый выстрел нужно сделать в одну из двух центральных клеток. Если результатом будет <<ранен>>, то вторая клетка корабля находится в одной из двух соседних клеток, и за два выстрела мы гарантированно потопим корабль Если результатом первого выстрела будет <<мимо>>, то корабль занимает две единственные свободные смежные клетки, которые тоже можно подбить двумя выстрелами. Итого нужно 3 выстрела. Двух выстрелов недостаточно, так как всегда есть шанс промахнуться первым выстрелом.

Кате нравятся целые числа, которые делятся без остатка на число K, а Маше — целые числа, которые делятся без остатка на число M. Сегодня подруги решили утроить соревнование и выяснить, чьи любимые числа лучше.

Для начала они выписали на лист бумаги все целые числа от A до B включительно. Затем Катя посчитала, сколько чисел среди выписанных делятся на число K без остатка, а Маша посчитала, сколько чисел делятся на число M без остатка.

В соревновании победит та из них, чьих любимых чисел окажется больше. Если же количества любимых чисел Кати и Маши совпадут, объявляется ничья. Для того, чтобы определить победителя, девочки попросили вас вычислить разность количества любимых чисел Кати и Маши.

Входные данные

Программа получает на вход четыре целых положительных числа, записанных в отдельных строках: K, M, A и B. Числа не превосходят 2×10⁹.

Выходные данные

Программа должна вывести одно целое число — разность количества любимых чисел Кати и количества любимых чисел Маши.
 

Примеры

Ввод	Вывод	Пояснение
2 3 2 9	1	Выписаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Среди них есть четыре числа, которые делятся на 2: 2, 4, 6, 8, и три числа, которые делятся на 3: 3, 6, 9. Ответ: 4 - 3 = 1.
3 3 6 6	0	Выписано одно число 6 и оно является любимым числом как Кати, так и Маши.
10 2 1 5	-2	Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5 нет ни одного любимого числа Кати, а у Маши любимыми являются 2 и 4.

Ипполит Матвеевич Воробьянинов ходит вдоль улицы из \(n\) домов, пронумерованных числами от \(1\) до \(n\), и расклеивает афиши. Сначала он наклеил афиши на каждый дом, номер которого делился без остатка на \(a\). Поскольку афиш осталось еще много, вторым проходом он наклеил афиши на каждый дом, номер которого делился без остатка на \(b\). При этом, если на доме уже была наклеена афиша, новую Воробьянинов не клеил. Сколько всего афиш расклеил бывший предводитель дворянства?

Формат входных данных
Три строки содержат три натуральных числа: \(n\) — количество домов на улице, \(a\) и \(b\) — выбранные Воробьяниновым числа. Все числа не превосходят \(10^9\).

Формат выходных данных
Выведите одно неотрицательное целое число — количество расклеенных афиш.

Замечание
В первом примере на улице \(10\) домов. Ипполит Матвеевич первым проходом расклеил пять афиш на дома, номера которых делятся на \(2\), то есть на дома с номерами \(2\), \(4\), \(6\), \(8\), \(10\). Вторым проходом он расклеил две афиши на дома, номера которых делятся на \(3\), то есть на дома с номерами \(3\) и \(9\). Дом номер \(6\) он пропустил — на нем афиша уже висит. Всего наклеено \(7\) афиш.

Во втором примере Воробьянинов не наклеит ни одной афиши.

Председатель жюри чемпионата по устному счету Иван Владимирович Треугольников придумал новое задание для участников чемпионата. Исходно на доске выписывается \(n\) целых чисел: \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). После этого участник должен выполнять команды двух типов:

1. Стереть \(i\)-е число с доски и записать вместо него число \(x\). То есть, если на доске были записаны числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), то после выполнения команды числа будут равны: \(a_1, \ldots, a_{i - 1}, x, a_{i + 1}, \ldots, a_n\).

2. Циклически сдвинуть последовательность чисел на \(k\) вправо. То есть, если на доске были записаны числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), то после выполнения команды числа будут равны: \(a_{n - k + 1}, a_{n - k + 2}, \ldots, a_n, a_1, a_2, \ldots, a_{n - k}\).

После выполнения каждой команды участник должен вычислить сумму всех чисел, записанных на доске, и сообщить ее жюри. Чтобы подготовиться проверять ответы участников, членам жюри необходимо самим вычислить требуемые суммы.

Формат входных данных
В первой строке записано целое число \(n\) — количество чисел, изначально записанных на доске (\(2 \leq n \leq 10^5\)).

Во второй строке через пробел записаны \(n\) целых чисел: \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — числа, изначально выписанные на доске (\(-10^9 \leq a_i \leq 10^9\)).

В третьей строке записано целое число \(q\) — количество команд, которые необходимо выполнить (\(1 \leq q \leq 10^5\)).

В каждой из следующих \(q\) строк записана очередная команда в следующем формате:

• \(1~i~x\) — это означает, что участник должен заменить \(i\)-е число последовательности на число \(x\) (\(1 \leq i \leq n\); \(-10^9 \leq x \leq 10^9\)).

• \(2~k\) — это означает, что участник должен циклически сдвинуть последовательность чисел на \(k\) вправо (\(1 \leq k < n\)).

Формат выходных данных
В качестве ответа выведите \(q\) строк, в каждой из которых записано одно целое число.

В \(i\)-й строке должна быть записана сумма чисел на доске после выполнения первых \(i\) команд.

Обратите внимание, что ответ может быть достаточно большим и для его хранения потребуется 64-битный тип данных, int64 в паскале, long long в C++, long в Java.

Замечание
Рассмотрим пример из условия. Изначально последовательность записанных на доске чисел равна: \(4,~1,~2,~1,~5,~3\).

После первой команды последовательность циклически сдвигается на \(3\) элемента вправо. Новая последовательность: \(1,~5,~3,~4,~1,~2\). Сумма чисел равна: \(1 + 5 + 3 + 4 + 1 + 2 = 16\).

После второй команды необходимо заменить третий элемент последовательности на число \(10\). Новая последовательность: \(1,~5,~10,~4,~1,~2\). Сумма чисел равна: \(1 + 5 + 10 + 4 + 1 + 2 = 23\).

После третьей команды заменить четвертый элемент на число \(4\). Так как четвертый элемент уже равен \(4\), последовательность не изменяется. Сумма чисел также равна \(23\).

После четвертой команды последовательность циклически сдвигается на \(1\): \(2,~1,~5,~10,~4,~1\). Сумма чисел не изменилась.

Наконец, после пятой команды последовательность становится равна: \(-10,~1,~5,~10,~4,~1\). Сумма чисел в итоговой последовательности равна \(-10 + 1 + 5 + 10 + 4 + 1 = 11\).

Вам дан массив A из N чисел. Найдите количество различных пар (i, j), таких, что j>=i и A[i] = A[j].

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит количество тестовых случаев T. Каждый тестовый случай состоит из двух строк, первая строка - число N, за ней следует строка, состоящая из N целых чисел, которые являются элементами массива A.

Ограничения
1 <= T <= 10
1 <= N <= 106 
-106 <= A[i] <= 106
0 <= i < N

Формат выходных данных
Для каждого тестового случая выведите количество различных пар.
 

Задано четыре числа: \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Требуется разбить их на две пары, чтобы сумма произведений в этих парах была максимальна.

Например, если заданы числа 2, 3, 4 и 5, то оптимально разбить их на пары \((2, 3)\) и \((4, 5)\), в этом случае искомая сумма равна \(2 \times 3 + 4 \times 5 = 26\).

Формат входных данных
На вход подаются четыре числа: \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Все числа по модулю не превышают 1000.

Формат выходных данных
Выведите искомую максимальную сумму.

На уроке физкультуры тренер Андрей Сергеевич выстраивает учеников в одну шеренгу. В шеренге сначала идут мальчики, а потом девочки. При этом мальчики в шеренге стоят по убыванию роста, аналогично девочки тоже стоят по убыванию роста. Таким образом, следом за самым низким мальчиком стоит самая высокая девочка.

Андрея Сергеевича заинтересовал вопрос, какое максимальное различие в росте двух стоящих рядом учеников. Напишете программу, которая поможет Андрею Сергеевичу ответить на этот важный для него вопрос.

Формат входных данных
Первая строка содержит целое число \(n\) — число учеников в классе (\(2 \le n \le 50\)). Следующие \(n\) строк содержат по два целых числа каждая: \(a_i\) и \(h_i\) — пол и рост в сантиметрах \(i\)-го ученика (\(a_i\) равно 0 или 1, \(100 \le h_i \le 200\)). Значение \(a_i = 0\) означает, что \(i\)-й ученик — мальчик, а значение \(a_i = 1\) означает, что \(i\)-й ученик — девочка.

Формат выходных данных
Выведите одно число — максимальное различие в росте стоящих рядом учеников после того, как они выстроятся в шеренгу на уроке физкультуры.

Маленький Миша летом гостит у бабушки в деревне. Каждый день он съедает по одному фрукту и отмечает это в своем блокноте. Миша еще слишком мал и умеет рисовать только палочки (I) и галочки (V).  Каждый день, после того как он съел свой фрукт, он в блокнот рисует карандашом одну палочку (I) . Раз в пять дней он стирает четыре предыдущие палочки и рисует галочку (V).
Вас просят определить, какая запись получится у Миши на n-й день пребывания в деревне у бабушки.
 

Формат входных данных
На ввод подается одно число \(n\) (\(1 \le n \le 10\,000\)).

Формат выходных данных
Выведите запись, которая получится в блокноте у Миши на \(n\)-й день.

Если вас интересует математика, то эта задача для вас.

Будем называть целое число \(n\) \(k\)-степенным, если его можно разложить в сумму различных степеней числа \(k\), то есть если \(n\) представимо в виде \(n = k^{a_1} + k^{a_2} + \ldots + k^{a_d}\), где все \(a_i\) целые и \(a_i \ne a_j\) для всех \(i \ne j\).

Ответьте на множество запросов: какое минимальное целое число, большее либо равное \(n_i\), является \(k_i\)-степенным?

Формат входных данных
Первая строка ввода содержит целое число \(q\) — количество запросов, на которые вам предстоит ответить (\(1 \le q \le 10^5\)).

Каждая из следующих \(q\) строк содержит два целых числа \(n_i\) и \(k_i\), описывающие \(i\)-й запрос (\(1 \le n_i \le 10^9\); \(2 \le k_i \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите \(q\) строк, в \(i\)-й из которых выведите минимальное \(k_i\)-хорошее число, большее либо равное \(n_i\).

Пандемия охватила все страны мира, и Берляндия не стала исключением. Даже на Всеберляндской олимпиаде по информатике были введены противовирусные меры.

Всего в олимпиаде участвуют \(n\) человек, и, чтобы соблюсти все предписания руководства, жюри олимпиады решило приглашать участников на тур по одному с интервалом \(x\) минут. Таким образом первый участник начнёт тур в момент времени \(0\), второй участник начнёт тур в момент времени \(x\), третий — в момент времени \(2 \cdot x\) и так далее.

Несмотря на разное время начала, длительность тура для каждого участника составляет ровно \(t\) минут. Из-за этого некоторые участники заканчивают писать тур раньше остальных. Когда участник заканчивает писать тур, величина недовольства организацией олимпиады для этого участника равна числу других участников, которые в текущий момент времени еще пишут или только начинают писать тур, но еще не закончили его.

Помогите организаторам олимпиады выяснить, чему равно суммарное недовольство всех участников олимпиады.

Формат входных данных
В первой строке вводится единственное целое число \(n\) (\(1 \le n \le 2 \cdot 10^9\)) — число участников олимпиады.

Во второй строке вводится единственное целое число \(x\) (\(1 \le x \le 2 \cdot 10^9\)) — интервал в минутах между временами начала тура для участников.

В третей строке вводится единственное целое число \(t\) (\(1 \le t \le 2 \cdot 10^9\)) — длительность тура.

Формат выходных данных
В единственной строке выведите одно число — суммарное недовольство всех участников олимпиады.

В первом примере первый участник начнёт писать тур в момент времени \(0\) и закончит в момент времени \(5\). К этому времени второй и третий участники уже начнут писать тур, поэтому недовольство первого участника будет равно \(2\).

Второй участник начнёт писать в момент времени \(2\) и закончит в момент времени \(7\). К этому моменту третий и четвёртый участники уже начнут писать тур, поэтому недовольство второго будет равно \(2\).

Третий участник начнёт писать тур в момент времени \(4\) и закончит в момент времени \(9\). К этому времени четвёртый участник уже начнёт писать тур, поэтому недовольство третьего будет равно \(1\).

Четвёртый участник начнёт писать тур в момент времени \(6\) и закончит в момент времени \(11\). В момент времени \(9\) уже никто не будет писать тур, поэтому недовольство четвёртого будет равно \(0\).

Таким образом, суммарное недовольство всех участников будет равно \(2+2+1+0=5\).

Во втором примере первый участник начнёт писать тур в момент времени \(0\) и закончит в момент времени \(2\). К этому моменту второй участник уже будет писать тур, а третий участник как раз начнёт в момент времени \(2\). Поэтому недовольство первого участника будет равно \(2\).

Второй участник начнёт в момент времени \(1\) и закончит в момент времени \(3\). К этому моменту только третий участник будет всё ещё писать тур.

Таким образом, суммарное недовольство всех участников будет равно \(2+1=3\).

Космический аппарат "Звезда" выполняет задачу по фиксации показаний уровня космической радиации. Каждое показание записывается в виде целого числа. В процессе первоначальной обработки данных, для устранения потенциально неточных результатов, убирают из списка K наибольших и K наименьших показаний.
Исходя из списка полученных показаний и количестве исключаемых показаний, определите самое высокое точное показание и целую часть среднего арифметического всех точных показаний.

Формат входных данных
В первой строке записаны два числа через пробел: N – общее количество показаний (натуральное число, не превышающее 10 000) и K – количество исключаемых минимальных и максимальных показаний. В следующих N строках находятся значений каждого показания (все числа натуральные, не превышающие 10000), каждое в отдельной строке.

Формат выходных данных
Запишите в ответе два числа: сначала наибольшего точного показания, а затем целую часть среднего арифметического всех точных показаний.