Применение обхода в глубину

Задан ориентированный ациклический граф с \(n\) вершинами и \(m\) ребрами. Также задана перестановка вершин графа. Необходимо проверить, является ли данная перестановка топологической сортировкой.

В первой строке даны два числа \(n\) и \(m\) — количество вершин и ребер в графе соответственно (\(1 \leq n, m \leq 10^5\)). В следующих \(m\) строках заданы пары чисел \(u_i, v_i\), означающие, что в графе есть ребро из вершины \(u_i\) в вершину \(v_i\). В последней строке задана перестановка из \(n\) элементов.

Выведите "YES" (без кавычек), если данная перестановка является топологической сортировкой и "NO" в противном случае.

Маша очень любила строить башенки из кубиков в детстве, но теперь она уже взрослая, потому башенки из простых кубиков её не интересуют. Она купила детали для башенки, которые представляют собой блок 3*3*1, который очень легко описать матрицей 3 на 3, так как толщина блока всего 1 кубик.
Маше точно известно, что:

•  при использовании всех блоков, можно гарантированно построить башенку, которая не будет иметь пустот, включая нижнюю и верхнюю границы;
•  используя все блоки, можно построить башенку только одним и не более способами;
•  при строительстве башенки блоки нельзя вращать;
•  только два блока во всём наборе имеют сплошную верхнюю или же нижнюю границу;
•  глубина пустот в блоке может состоять из 1 или 2 элементов;
•  блоков, имеющих пустоты, которые нельзя покрыть при сборе башенки не существует.

Напишите программу, помогающую Маше определить, в каком порядке нужно строить башню, исходя из всех ограничений, написанных выше.

Входные данные
В первой строке подаётся число N (1 <= N <= 10) – количество блоков для башенки, далее на 3*N строках вводится по 3 цифры через пробел(0 – у блока отсутствует элемент в этой позиции, 1 – сам блок), представляющие из себя N блоков, доступных для строительства.
Нумерация блоков начинается с 1 и увеличивается при описании каждого последующего блока (то есть первый блок, второй и так далее).
Выходные данные
Вывести в ответе в одну строку через пробел каждый элемент – номера блоков в порядке сбора башни снизу-вверх.

Пояснение
Пример №2

 

Неориентированный граф называется четно-нечетным, если найдутся две его вершины, между которыми существуют пути как из четного, так и из нечетного числа ребер. Напишите программу, которая:

• определяет, является ли заданный граф четно-нечетным;
• в случае отрицательного ответа на пункт 1 находит максимальное подмножество X вершин графа такое, что для любых двух вершин i и j из X выполняется следующее условие: все пути между i и j состоят из четного числа ребер.

Входные данные
Первая строка входного файла содержит число вершин графа N (1≤N≤100) и число ребер M (1≤M≤1000), а каждая последующая — пару чисел (i,j), означающих, что в графе присутствует ребро, соединяющее вершины с номерами i и j.

Выходные данные
Первая строка выходного файла должна содержать ответ на пункт 1 в форме «YES/NO». В случае отрицательного ответа на пункт 1 вторая строка должна содержать количество вершин в множестве X, а третья — номера вершин из этого множества в порядке возрастания, записанные через пробел. Если вариантов решений несколько, то достаточно вывести любое из них.

Планируется строительство новой магистрали <<Урал>>. Долговечность автомагистрали зависит от пластов пород, залегающих под ней. Пластом называется геологическое тело, состоящее из одной горной породы.

Под будущей магистралью залегают \(n\) горизонтальных пластов. Геологическое исследование позволило определить точки магистрали, под которыми начинается и заканчивается каждый из них. При этом порядок залегания пластов по глубине определить не удалось.

В заданных местах вдоль планируемой магистрали пробурены вертикальные скважины. Каждая из них пересекает несколько верхних пластов, находящихся под точкой бурения. Для каждой скважины известно, в каком порядке располагаются пробуренные пласты сверху вниз, начиная от поверхности. Если скважина не пересекает какой-то из пластов, находящихся под точкой бурения, значит он проходит ниже дна скважины.

Требуется написать программу, которая определяет возможный порядок залегания пластов по глубине, не противоречащий полученным данным.

Формат входных данных
Первая строка входного файла содержит целое число \(n\) "— количество пластов. Пласты пронумерованы целыми числами от \(1\) до \(n\) в произвольном порядке.

В \(i\)-й из следующих \(n\) строк содержатся целые числа \(l_i\) и \(r_i\) (\(0 \leqslant l_i < r_i\leqslant 10^9\)) "— расстояния от начала магистрали до точек, под которыми начинается и заканчивается \(i\)-й пласт.

В следующей строке записано целое число \(m\) "— количество скважин, в которых проводилось бурение. Следующие \(m\) строк описывают результаты бурения: в каждой строке сначала указаны два целых числа \(x\) (\(0 \leqslant x \leqslant 10^9\)) и \(k\) (\(0 \leqslant k \leqslant n\)) "— расстояние от начала магистрали до скважины и количество обнаруженных в данной скважине пластов, затем "— целые числа \(s_1, s_2, \ldots, s_k\) "— номера пробуренных пластов, перечисленные в порядке залегания сверху вниз. Скважины перечислены в порядке возрастания расстояния \(x\).

Гарантируется, что решение существует.

Формат выходных данных
Первая строка выходного файла должна содержать \(n\) целых чисел \(p_1, p_2, \ldots , p_n\), описывающих возможный порядок залегания пластов сверху вниз. Среди чисел \(p_1, p_2, \ldots , p_n\) каждый номер пласта должен встретиться ровно один раз. При этом пласт с номером \(p_j\) не должен нигде проходить выше пластов с номерами \(p_1, \ldots ,p_{j-1}\) или ниже пластов с номерами \(p_{j+1}, \ldots , p_n\).

Если возможных расположений пластов несколько, выведите любое из них.

Примечание
Рисунок в условии соответствует примеру. Для приведенного примера правильным также является ответ 2 3 1 4. Обратите внимание, что тест из примера не соответствует подзадаче 1. Для того, чтобы решение было принято на проверку, оно должно проходить тест из примера, даже если решена только эта подзадача.

Гномы продолжают искать золото предков в недрах Одинокой горы. Недра Одинокой горы представляют собой n пещер, некоторые из которых соединены двусторонними переходами. При этом из каждой пещеры в любую другую можно попасть по переходам, причем это можно сделать единственным способом.

Гномы разделились на два отряда, которые начали свои поиски с пещер u₀ и v₀, соответственно. Гномы каждого из отрядов перемещаются вместе. На обследование пещеры у отряда гномов уходит ровно одна минута, после чего каждый отряд быстро перемещается по переходу в одну из соседних пещер. При этом гномы никогда не заходят в пещеру, если они или другой отряд в ней уже побывали. Оба отряда никогда не заходят в одну и ту же пещеру. Если хотя бы один из отрядов гномов не может переместиться в соответствии с этими правилами, оба отряда сразу прекращают поиски сокровищ.

Чтобы как можно лучше обследовать недра Одинокой горы, гномы хотят, чтобы поиски продолжались как можно дольше. По заданной карте пещер в Одинокой горе и начальному положению отрядов гномов определите, какое максимальное время могут продолжаться поиски сокровищ.

Формат входных данных
В первой строке число n (2 ≤ n ≤ 200 000) — число пещер в Одинокой горе. В следующих n−1 строках заданы переходы между пещерами. В каждой строке записаны номера двух пещер v и u, соединенных переходом (1 ≤ v, u ≤ n). В следующей строке заданы номера пещер v₀ и u₀, в которых исходно находятся два отряда гномов (1 ≤ v₀, u₀ ≤ n, v₀ != u₀).

Формат выходных данных
Выведите максимальное число минут, которое могут продолжаться поиски сокровищ.
 

Ввод	Вывод	Пояснение
6 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 4 5	2
8 1 2 2 3 3 4 2 5 5 6 3 7 7 8 1 8	4

Олег очень любит двоичные последовательности — последовательности из нулей и единиц. Совсем недавно он написал в тетради очередную двоичную последовательность из n элементов.
Для выписанной последовательности Олег посчитал Z-функцию.

Z-функцией последовательности s₁, . . . , s_n называется массив z[1..n], в котором:

• z[1] = 0;
• Если i > 1, то z[i] равно длине наибольшего общего префикса последовательности s и суффикса последовательности s, начинающегося с i-й позиции. Иначе говоря, z[i] равно максимальному k, такому что s₁ = s_i , s₂ = s_i+1, . . . , s_k = s_i+k−1.

Например, для последовательности s = h0, 0, 1, 1, 0, 0, 1i Z-функция следующая: z = h0, 1, 0, 0, 3, 1, 0i.
Записав в тетради последовательность и ее Z-функцию, Олег лег спать. Пока он спал, его младший брат Егор прокрался в комнату и закрасил фломастером последовательность и некоторые значения Z-функции. Проснувшись, Олег заинтересовался, сколько различных двоичных последовательностей он мог вечером написать в тетради, чтобы незакрашенные значения Z-функции были правильными.

Найдите число искомых последовательностей и выведите его по модулю 10⁹ + 7. Заметьте, что Олег мог и ошибиться при вычислении Z-функции, в этом случае ни одна последовательность не подходит и ответ равен 0.
Формат входных данных
В первой строке входного файла находится целое число n — длина исходной двоичной последовательности (1 ≤ n ≤ 1000). Во второй строке входного файла находятся n целых чисел z[1], . . . , z[n], где z[i] — значение Z-функции в позиции i, или −1, если значение в i-й позиции было закрашено (−1 ≤ z[i] ≤ n).

Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число — остаток от деления числа подходящих двоичных последовательностей на число 10⁹ + 7.
 

Ввод	Вывод
3 0 0 1	2
4 0 0 1 0	0
3 0 3 -1	0
3 -1 -1 -1	8

Пояснение
В первом примере подходят последовательности {0, 1, 0 }  и { 1, 0, 1 }.
Во втором примере не существует ни одной двоичной последовательности длины 4 с заданной Z-функцией.
В третьем примере z[2] = 3, что противоречит определению Z-функции, поэтому ответ 0.
В четвертом примере подходит любая двоичная последовательность длины 3.