Задачи на моделирование

Беси прыгает вдоль числовой прямой длины \(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) по позициям \(1,2,\dots,N\) слева направо. Она начинает в позиции \(S\) \((1 \leq S \leq N)\) прыжком вправо со стартовой энергией \(1\). Если энергия Беси равна \(k\), то её следующий прыжок будет на \(k\) единиц вперёд от её текущей позиции.

Каждая целочисленная позиция от \(1\) до \(N\) это или цель, или прыжковая площадка. Каждая цель или прыжковая площадка имеет целочисленную величину от \(0\) до \(N\) включительно. Прыжковая площадка со значением \(v\) увеличивает энергию Беси на \(v\) и изменяет на противоположное направление прыжков. Цель со значением \(v\) будет сломана, если на неё приземлится Беси с энергией не менее \(v\). Приземление на цель не изменяет энергию и направление Беси. Сломанная цель остаётся сломанной, но Беси может на неё прыгать, энергия и направление не меняются.

Если Беси будет прыгать бесконечное количество времени или до тех пор, пока Беси покинет этот отрезок прямой, сколько целей она сломает?

Если Беси начинает на цели, которую она может сломать, она немедленно делает это. Аналогично, если Беси начинает на прыжковой площадке, то эффект площадки применяется перед первым прыжком.

\(N\) \((1 \leq N \leq 5 \cdot 10^5)\) коров Фермера Джона выстроены в круг. \(i\)-ая корова имеет ведро с целой вместимостью \(a_i\) \((1 \leq a_i \leq 10^9)\) литров. Все вёдра изначально полные.

Каждую минуту корова \(i\) передаёт всё молоко из своего ведра корове \(i+1\) для \(1\le i<N\), а корова \(N\) передаёт своё молоко корове \(1\). Все обмены проходят одновременно (то есть, если корова отдаёт \(x\) литров молока и также получает \(x\) литров молока, её количество молока не изменяется). Если количество молока у коровы \(i\) превысит значение \(a_i\), тогда лишнее молоко теряется.

После каждой из минут \(1, 2, \dots, N\) - сколько молока останется у всех коров вместе?

\(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) коров Фермера Джона выстроены в ряд. \(i\)-ая корова имеет метку \(a_i\) (\(1 \leq a_i \leq N\)). Группа коров может сформировать дружескую группу, если все они имеют одну и ту же метку и каждая корова находится в пределах \(x\) коров от остальных коров группы, где \(x\) - целое число из интервала \([1,N]\). Каждая корова должна быть точно в одной дружеской группе.

Для каждого \(x\) от \(1\) до \(N\), посчитайте минимальное количество дружеских групп, которые могу быть сформированы.

**Примечание. Ограничение по времени для этой задачи – 4 секунды, что в 2 раза больше, чем по умолчанию.**

Чтобы отпраздновать начало весны, \(N\) коров фермера Джона (\(1 \leq N \leq 2 \cdot 10^5\)) придумали новый интригующий танец, в котором они встают в круг и перестраиваются предсказуемыv способом.

В частности, по кругу есть \(N\) позиций, пронумерованные последовательно от \(0\) до \(N-1\), причем позиция \(0\) следует за позицией \(N-1\). На каждой позиции находится корова. Коровы также последовательно нумеруются от \(0\) до \(N-1\). Изначально корова \(i\) находится в позиции \(i\). Вам сообщают набор из \(K\) позиций \(0=A_1<A_2< \ldots< A_K<N\), которые являются «активными», что означает, что коровы в этих позициях будут двигаться следующими (\(1 \leq K \leq N\)).

В каждую минуту танца происходят две вещи. Во-первых, коровы в активных позициях меняются: корова в позиции \(A_1\) перемещается в позицию \(A_2\), корова в позиции \(A_2\) перемещается в позицию \(A_3\) и так далее, с коровой в позиции \(A_K\) переход на позицию \(A_1\). Все эти \(K\) перемещения происходят одновременно, поэтому после завершения вращения все активные позиции по-прежнему содержат ровно одну корову. Далее смещаются сами активные позиции: \(A_1\) становится \(A_1+1\), \(A_2\) становится \(A_2+1\) и так далее (если \(A_i = N-1\) для некоторой активной позиции, то \(A_i\) возвращается к \(0\)).

Рассчитайте порядок коров после \(T\) минут танца (\(1\le T\le 10^9\)).

Однако фермер Джон узнает о плане и пытается перехватить их беседу. Таким образом, некоторые буквы \(S\) равны \(F\), что означает, что фермер Джон запутал сообщение и отправитель неизвестен.

Уровень возбуждения незапутанной беседы – это количество повторных отправок коровы, то есть количество вхождений подстроки \(BB\) или \(EE\) в \(S\). Вы хотите найти уровень возбуждения исходного сообщения, но вы не знаете, какие из сообщений фермера Джона на самом деле были сообщениями Бесси. / Элси. По всем возможностям выведите все возможные уровни возбуждения \(S\).

ПР�МЕР ВВОДА:

4
BEEF

ПР�МЕР ВЫВОДА:

2
1
2

ПР�МЕР ВВОДА:

9
FEBFEBFEB

ПР�МЕР ВЫВОДА:

2
2
3

ПР�МЕР ВВОДА:

10
BFFFFFEBFE

ПР�МЕР ВЫВОДА:

3
2
4
6

Авторыы: William Yue and Claire Zhang

**Замечание: Время на тест в этой задаче 8s, в четыре раза больше чем по умолчанию.**

У Фермера Джона есть большое квадратное поле из \((N+1)\times (N+1)\) (\(1\le N\le 1500\)) ячеек. Пусть ячейка \((i, j)\) обозначает ячейку в \(i\)-ой строке сверху, и в \(j\)-ом столбце слева. В каждой ячейке \((i, j)\) живёт по одной корове (\(1 \le i, j \le N\)), и каждая ячейка содержит указатель или вправо или вниз. Также каждая ячейка \((i, j)\) такая, что \(i=N+1\) или \(j=N+1\), кроме \((N+1, N+1)\), содержит бак с коровьей едой. Каждый чан содержит еду различной цены. Чан в ячейке \((i, j)\) стоит \(c_{i, j}\) (\(1 \le c_{i,j} \le 500\)).

Каждый день во время обеда ФД звонит в колокол и каждая корова движется по направлениям указателей пока не достигнет чана с едой и затем есть из этого чана. Затем все коровы возвращаются в исходные позиции к следующему дню.

Чтобы поддержать свой бюджет, ФД хочет узнать общую стоимость еды съедаемой коровами каждый день. Однако, каждый день перед обедом корова в некоторой ячейке \((i, j)\) меняет направление указателя "вправо" на "вниз" или наоборот. Этот знак остаётся в таком направлении и в последующие дни, пока не будет перевёрнут обратно позже.

Вам даны координаты указателя, который меняется каждый день. Выведите стоимость каждого дня (всего \(Q\) дней, \(1 \le Q \le 1500\)).

Фермер Джон дал Беси \(Q\) строк (\(1 \leq Q \leq 100\)), состоящих только из символов 'M' и 'O.' Любимое слов Беси "MOO", поэтому она хочет преобразовать каждую из этих строк в строку "MOO" используя следующие операции

1. Заменить первый или последний символ на противоположный (то есть, 'M' на 'O', а 'O' на 'M' ).
2. Удалить первый или последний символ.

Для каждой строки определите минимальное количество операций, необходимых чтобы сформировать 'MOO' или выведите '-1', если это невозможно.

У Фермера Джона есть \(N\) коров (\(2 \leq N \leq 10^5\)). Каждая корова имеет породу Guernsey или Holstein. Коровы стоят в ряд пронумерованные \(1 \ldots N\).

Каждая корова записала свой список коров. А именно, список коровы \(i\) содержит диапазон коров, начиная с неё самой (коровы \(i\)) и до коровы \(E_i\) (\(i \leq E_i \leq N\)) включительно.

ФД недавно обнаружил, что каждая порода коров имеет ровно одного лидера. Он не знает точно, кто эти лидеры, но знает, что каждый лидер должен иметь список, который включает всех коров этой породы, или лидера коров другой породы, или и то, и другое.

Помогите ФД посчитать количество пар коров, которые могут быть лидерами. Гарантируется, что имеется, как минимум, одна возможная пара.

Штамп-живопись это раскрашивание чёрным и белым цветом холста размером \(N \times N\) ячеек, где определённые ячейки закрашиваются, а другие - нет. Этот холст может быть представлен массивом символов \(N\times N\) (\(1\le N\le 20\)). The \(i\)-ый вход \(j\)-ой колонки массива равен символу '*', если холст содержит чернила в этой ячейке и символ '.' в противном случае.

У Беси есть план рисунка, а Фермер Джон дал ей штамп размером \(K\times K\) (\(1\le K\le N\)) который она может использовать для закраски холста размером \(N \times N\). Беси может поворачивать штамп на \(90^{\circ}\) по часовой стрелке и применять его для закраски холста в любом месте, если штамп помещается целиком на холсте. Формально, Беси выбирает такие целые числа \(i,j\), что \(i \in [1,N-K+1]\) и \(j \in [1, N-K+1]\); и затем для каждого \((i',j')\) такого, что \(1 \le i', j' \le K\), ячейка холста \((i+i'-1, j+j'-1)\) закрашивается в чёрный цвет, если в штампе было чернило в позиции \((i', j')\). Беси может поворачивать свой штамп в любой момент между закрашиваниями. Если ячейку закрасили она остаётся закрашенной навсегда.

ФД интересно может ли Беси создать свой рисунок, используя его штамп. Для каждого из \(T\) (\(1 \le T \le 100\)) подтестов помогите ФД получить ответ.

Беси - голодная корова. Каждый день на обед если есть пакеты сена в амбаре, она съедает ровно один пакет. Чтобы Беси не голодала, Фермер Джон присылает в некоторые дни некоторое количество пакетов с сеном, которые прибывают утром (до обеда). В частности в день \(d_i\), ФД присылает \(b_i\) пакетов сена (\(1\leq d_i \leq 10^{14}\), \(1 \leq b_i \leq 10^9\)).

Вычислите общее количество пакетов сена, которые съест Беси в течение \(T\) дней.

**Замечание: Ограничение по памяти для этой задачи 512MB, в два раза больше значения по умолчанию.**

Беси приняли на новую работу - диспетчером поездов. Имеется две железнодорожные станции \(A\) и \(B\). В связи с ограничением бюджета, эти станции соединены только одной дорогой. Если поезд отправляется от одной станции в момент времени \(t\), тогда он прибудет на другую станцию в момент времени \(t+T\) (\(1\le T\le 10^{12}\)).

Имеется \(N\) (\(1\le N\le 5000\)) поездов для которых нужно установить время отправки. \(i\)-ый поезд должен покинуть станцию \(s_i\) в момент времени $t_i или позже (\(s_i\in \{A, B\}, 0\le t_i\le 10^{12}\)). Запрещено иметь поезда, которые движутся в противоположных направлениях в один и тот же момент времени (поскольку они столкнутся). Однако разрешено иметь множество поездов, которые еду в одном направлении в одно и то же время (предполагаем, что поезда имеют пренебрежимо малые размеры)

Помогите Беси спланрировать времена отправления так, чтобы не было столкновений, а общая задержка была минимальной. Если поезд спланирован на убытие в момент времени \(a_i\ge t_i\), общая задержка определяется как \(\sum_{i=1}^N(a_i-t_i)\).

Фермер Джон вырастил \(N\) (\(1 \leq N \leq 2\cdot 10^5\)) аспарагусов на своей ферме. Однако некоторые из этих растений имеют генетические отличия, поэтому некоторые растения растут быстрее чем другие. Изначальная высота \(i\)-го растения равна \(h_i\) дюймов и после каждого дня \(i\)-ое растение вырастает на \(a_i\) дюймов.

ФД любит некоторые растения больше чем другие, и он хочет, чтобы некоторые растения были выше чем другие. Он дал Вам массив различных целых чисел \(t_1,\dots,t_N\), содержащих все целые числа от \(0\) до \(N-1\) и хочет, чтобы \(i\)-ое растение имело ровно \(t_i\) растений, которые выше этого. Определите минимальное количество дней, чтобы требование ФД было удовлетворено или укажите, что это невозможно.

Заметим, что тесты этой задачи могут потребовать использования 64-битного целого типа (например, "long long" в C/C++).

Фермер Джон выстроил в ряд свои \(N\) коров (\(1 \leq N \leq 3\cdot 10^5\)). К несчастью, стала распространяться болезнь.

Изначально некоторые коровы инфицированы. Каждую ночь инфицированная корова распространяет болезнь на коров соседних слева и справа, если они есть. Однажды инфицированная корова остаётся инфицированной.

После некоторого количества ночей ФД понял, что ситуация выходит из-под контроля поэтому он проверил своих коров, чтобы определить больных коров. Определите минимальное количество коров, которые могли быть больными в самом начале.

Коровы Фермера Джона любят конфетные трости. У ФД \(N\) коров с определённой начальной высотой. Он хочет скормить им \(M\) конфетных тростей, различной высоты (\(1\le N,M\le 2\cdot 10^5\)).

ФД планирует кормить коров конфетными тростями одну за одной в порядке, в котором они заданы на вводе. Чтобы кормить коров ФД вывешивает конфетные трости так, чтобы изначально они касались земли. Коровы выстраиваются одна за одной в порядке, как они заданы на входе. Каждая ест до своей высоты (потому что выше не достаёт). Трость остаётся на месте где она изначально была подвешена и не опускается к земле, даже после того как её нижняя часть съедена. Возможно, что когда подойдёт очередь некоторой коровы она ничего не сможет съест, если нижняя часть трости уже выше высоты этой коровы. После того как пройдёт очередь всех коров, они подрастают на высоту равную количеству единиц трости, которую съела корова, а ФД вывешивает новую конфетную трость и коровы повторяют процесс опять (корова 1 всегда начинает есть первой).

К несчастью, возможна ситуация противоречивости ответов всех коров. Это означает, что не все коровы говорили правду. Вычислите минимальное количество коров, которые солгали.

Экран ФД небольшой, поэтому он может видеть одновременно \(K\) (\(1\le K\le \min(N,M)\)) папок и \(K\) писем одновременно. Изначально, его экран показывает папки \(1 \ldots K\) слева и письма \(1 \ldots K\) справа. Для того чтобы увидеть другие папки и письма, он должен скроллить соответствующие списки. Например, если он проскроллит вниз на одну позицию в списке папок, он увидит папки \(2 \ldots K+1\), а если проскроллит ещё на одну позицию вниз, он увидит папки \(3 \ldots K+2\). Когда ФД переносит письмо в папку, оно исчезает из списка писем, и все нижние письма поднимаются на одну позицию вверх. Например, пусть на экране отображены письма \(1, 2, 3, 4, 5\) и ФД переносит письмо 3 в соответствующую папку, тогда видимая часть списка писем станет такой: \(1, 2, 4, 5, 6\). ФД может переносить письма только в назначенные им папки.

К несчастью, колесо скроллинга на мышке ФД сломалось, и он может скроллить только вниз и не может скроллить вверх. Единственное подобие скроллинга вверх если он видит последние \(K\) писем из своего списка и переносит в папку одно из них. В этом случае после переноса список опять покажет последние \(K\) ещё не разнесенных писем, что соответствует скроллингу вверх на одно письмо. Если осталось менее \(K\) писем, они отображаются все.

Помогите ФД определить, может ли он разнести по папкам все свои письма.

ФД попросил Эльзу записывать количество раз, когда Беси засыпала на каждом занятии. Всего было \(N\) занятий (\(2\le N\le 10^5\)), и Эльза зафиксировала \(a_i\) (\(1\le a_i\le 10^{18}\)) засыпаний на \(i\)-ом занятии. Общее количество засыпаний на всех занятиях не превышает \(10^{18}\).

Эльза хочет представить дело так, что Беси засыпала одинаковое количество раз на каждом занятии.

Единственный способ Эльзы модифицировать свои записи - объединить два соседних занятия или разъединить одно занятие на два. Например, если \(a=[1,2,3,4,5],\) тогда если Эльза объединит второе и третье занятие, то лог станет \([1,5,4,5]\) Если Эльза выберет разделить третье занятие на два, то лог может стать одним из \([1,5,0,4,5]\), \([1,5,1,3,5]\), \([1,5,2,2,5]\), \([1,5,3,1,5]\), or \([1,5,4,0,5]\).

По заданным \(Q\) (\(1\le Q\le 10^5\)) кандидатам \(q_1,\ldots,q_Q\) для наименее любимых Беси чисел (\(1\le q_i\le 10^{18}\)), для каждого из них помогите Эльзе вычислить минимальное количество модификаций лога, чтобы все числа в нём стали одинаковыми.

ФД собирается делать так. Он выбирает положительное целое число \(X\). А затем повторяет следующую процедуру каждый день:

1. Предположим, что ФД уже отдал Беси \(G\) галлонов молока, он вычисляет \(\frac{N-G}{X}\) с округлением вверх. Назовём это число \(Y\).
2. Если \(Y\) меньше чем \(M\), то устанавливает \(Y\) равным \(M\).
3. Даёт Беси \(Y\) галлонов молока.

Определите максимальное \(X\) такое, что если ФД будет следовать этой процедуре, то ФД отдаст Беси не менее \(N\) галлонов молока после \(K\) дней (\(1\le K\le 10^{12}\)).

Эссе содержит \(N\) слов (\(1\le N\le 100\)), разделённых пробелами. Каждое слово имеет длину от 1 до 15 символов включительно, и состоит только из больших или маленьких латинских букв. В соответствии с правилами, эссе должно быть отформатировано специфическим образом: каждая строк должна содержать не более \(K\) (\(1\le K\le 80\)) символов, не считая пробелы. К счастью, текстовый процессор Беси может выполнять это требование при использовании следующей стратегии:

• Если Беси пишет слово которое может поместится на текущей строке, оно помещается в эту строку.
• Иначе надо переместить слово в следующую строку и продолжить пополнение этой следующей строки.

Конечно, последовательные слова в одной строке должны быть разделены ровно одним пробелом. Не должно быть пробелов в конце любой строки.

К несчастью, текстовый процессор Беси сломался, помогите ей отформатировать её эссе в соответствии с вышеописанными правилами.

На этот раз он делает фото с воздуха. Он хочет, чтоб все его коровы смотрели в одну сторону. Сейчас коровы организованы в решётку \(N \times N\), (\(2 \leq N \leq 1000\)) внутри квадратного пастбища, как показано ниже:

RLR
RRL
LLR

Здесь 'R' означает, что корова смотри вправо, 'L' означает, что корова смотрит влево. Поскольку коровы находятся в стаде, ФД не может говорить повернуться одной корове. Всё что он может - это повернуть целую строку или целый столбец повернув коров 'L' на 'R' или 'R' на 'L' внутри этой строки/столбца. ФД может поворачивать столбцы и строки сколько угодно раз, в том числе и поворачивать один тот же столбец или строку более чем один раз.

Как оказалось, ФД не может перевернуть всех коров в одном направлении, Но может всех коров кроме одной - определите эту корову.