Информатика

Чтобы обеспечить безопасность, он нанял \(N\) коров спасателями, каждый из которых работает в течение некоторого интервала времени в течение дня. Для простоты, бассейн открыт с момента времени \(t=0\) до момента времени \(t=1000\) каждый день. Поэтому каждый интервал может быть описан двумя целыми числами - временем начала и конца работы спасателя. Например, спасатель, начинающий в момент времени \(t = 4\) и завершающий в момент времени \(t = 7\), покрывает интервал в три единицы времени.

К несчастью, ФД нанял на одного спасателя больше чем может платить зарплату. При условии, что он должен уволить одного спасателя, какой максимальный интервал времени, будет покрыт оставшимися спасателями? Интервал времени покрыт, если присутствует хоть один спасатель в это время.

К счастью, другой щит - с коровьей едой, расположен впереди щита с косилками, потенциально загораживая его.

Беси решила удалить полностью щит с косилками из своего поля зрения, разработав рискованный план. Она планирует украсть огромный прямоугольный брезент из амбара и ночью покрыть оставшуюся видной часть щита с косилками так, чтобы никогда больше не видеть ни какой его части.

По заданным координатам щитов, помогите Беси вычислить минимальную площадь брезента, который нужен Беси. Поскольку брезенты в амбаре имеет прямоугольную форму, Беси может понадобиться брезент, площадь которого немного больше области щита, которую Беси собирается накрыть (это проиллюстрировано в примере ниже). Брезент может располагаться только параллельно сторонам щита.

Фермер Джон начинает с фрагмента \(1\) и должен достичь фрагмента \(N\), чтобы разбудить своих коров. Фрагмент \(1\) защищён крышей фермы, а фрагмент \(N\) - крышей амбара, поэтому на них нет снега. Но чтобы ходить по другим фрагментам ФД должен носить ботинки.

У ФД есть \(B\) пар ботинок, пронумерованных \(1 \dots B\). Некоторые из них тяжёлые, а некоторые полегче. В частности, пара \(i\) позволяет ФД ходить по снегу не более \(s_i\) футов глубины и позволяет ФД продвигаться на расстояние \(d_i\) вперёд на каждом шагу.

К несчастью, ботинки упакованы таким образом, что ФД может взять только самую верхнюю пару в любой момент времени. Поэтому в любой момент времени ФД может или положить наверх пару ботов (отказываясь от старых ботов) или снять верхнюю пару ботов, делая новую пару доступной).

ФД может менять ботинки только когда стоит на фрагменте. Если он стоит на фрагменте, то и те ботинки, которые он снимает, и те ботинки, которые он надевает, должны быть выше снега, как минимум на \(f\) футов. Промежуточные пары ботинок, которые он снимает из стопки ботинок не одевая, могут не удовлетворять этому ограничению.

Помогите ФД минимизировать отбросы, определив минимальное количество пар ботов, которые он должен снять из стопки не одевая, чтобы достичь амбара. Вы можете считать, что изначально на ФД нет никаких ботинок.

Беси, однако разрешено делать остановки для отдыха и поедания травы. Но она может их делать не везде. Имеется \(N\) мест для остановок на тропинке (\(1 \leq N \leq 10^5\)); \(i\)-ая остановка находится на \(x_i\) метров от начала тропинки (\(0 < x_i < L\)), а трава на ней имеет вкусность \(c_i\) (\(1 \leq c_i \leq 10^6\)). Если Беси остановится в месте \(i\) на \(t\) секунд, она получит \(c_i \cdot t\) вкусности травы.

Беси двигается со скоростью \(r_B\) секунд за метр (\(1 \leq r_B \leq 10^6\)). Поскольку Беси моложе, \(r_B\) строго меньше \(r_F\).

Беси хочет максимизировать потребление вкусной травы. Но она беспокоится о ФД. Она думает, что если окажется позади ФД, у него пропадёт мотивация продолжать движение.

Помогите Беси найти максимальное суммарное значение съеденной вкусной травы которое она может получить, в уверенности, что ФД завершит подъём.

Ферма Джона построена вдоль прямой дороги, поэтому любое место фермы может быть описано позицией на этой дороге (точка на числовой прямой). ФД построил \(N\) рогаток (\(1 \leq N \leq 10^5\)), \(i\)-ая из которых описывается тремя целыми числами \(x_i\), \(y_i\), \(t_i\), указывающими, что рогатка может переместить навоз из позиции \(x_i\) в позицию \(y_i\) за \(t_i\) единиц времени.

У ФД есть \(M\) лотков с навозом для транспортировки (\(1 \leq M \leq 10^5\)). \(j\)-ый лоток нужно переместить из позиции \(a_j\) в позицию \(b_j\). Перемещение лотка с навозом на тракторе на расстояние \(d\) занимает \(d\) единиц времени. ФД надеется сократить время использованием рогаток. Время перемещения трактора без навоза не учитывается.

Для каждого из \(M\) лотков определите минимально возможное время транспортировки. при условии использования не более одной рогатки.

Ферма Джона построена вдоль длинной прямой дороги, поэтому любое место фермы может быть описано его позицией на этой дороге (точка на числовой прямой). Телепортер описывается двумя числами \(x\) и \(y\), которые обозначают, что навоз из точки \(x\) может быть мгновенно телепортирован в точку \(y\) и наоборот.

ФД хочет транспортировать навоз из точки \(a\) в точку \(b\), и он может использовать телепортер в этом процессе (или не использовать, если он не поможет). Помогите ФД определить минимальное расстояние, которое он должен провести навоз на тракторе.

ФД рассердился. Он приделал к стене счётчик дней с последнего слома. Если слом случился утром, счётчик покажет 0. Если последний слом случился 3 дня назад, счётчик показывает 3. ФД тщательно записывал значение счётчика каждый день.

В конце года ФД решил действовать. Однако некоторые записи потерялись.

ФД знает, что он начал записи с дня слома. Помогите ФД определить по оставшимся записям минимальное и максимальное количество сломов, которые могли произойти в течение логгирования.

На маленькой полянке есть очень редкая трава. Как результат, все \(N\) (\(1 \leq N \leq 10^5\)) коров, прибывших на конференцию, хотят попробовать эту траву. Они выстраиваются в огромную очередь, поскольку на полянке может быть в один момент времени только одна корова.

Фермер Джон знает время \(a_i\), в которое корова \(i\) планирует прибыть на это пастбище, а также количество времени \(t_i\), которое эта корова собирается провести на этом специальном пастбище. После того, как корова \(i\) начинает есть траву, она делает это всё время \(t_i\), в течение которого все вновь прибывшие коровы вынуждены ждать. Если несколько коров ждут, когда пастбище освободится, корова с более высоким старшинством будет следующей на поедание травы. С этой целью корова, которая прибывает прямо, когда другая корова завершает есть траву, называется "ожидающей". Аналогично, если некоторое количество коров прибывает в один и тот же момент времени, и никакая корова не ест, то корова с более высоким старшинством принимается за еду.

Помогите ФД вычислить максимальное количество времени, которое придётся ждать любой корове (между временем \(a_i\) и временем, когда она начнёт есть).

”„ е®зҐв ўлЎа вм Ї®¤¬­®¦Ґбвў® Є®а®ў, Ё § вҐ¬ Їа®ЁвҐаЁа®ў вмбп Ї® н⮬㠯®¤¬­®¦Ґбвўг, ўл§лў п Є ¦¤го Ё§ нвЁе Є®а®ў Ї® ®зҐаҐ¤Ё (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп Ёе ID), ®Їпвм Ё ®Їпвм ¤® вҐе Ї®а, Ї®Є  ўбҐ Є®а®ўл ­Ґ бв ­гв ®вб®авЁа®ў ­л. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё ®­ ўлЎҐаҐв Ї®¤¬­®¦Ґбвў® Є®а®ў б ID \(\{2, 4, 5\}\), в® ®­ б­ з «  ўл§®ўҐв Є®а®ўг \(2\), § вҐ¬ Є®а®ўг \(4\), § вҐ¬ Є®а®ўг \(5\). …б«Ё ўбҐ \(N\) Є®а®ў Ґйс ­Ґ ®вб®авЁа®ў ­л, ®­ Ўг¤Ґв ўл§лў вм нвЁе Є®а®ў ®Їпвм Ё ®Їпвм, бЄ®«мЄ® ­г¦­® а §.

”„ е®зҐв ¬Ё­Ё¬Ё§Ёа®ў вм а §¬Ґа нв®Ј® ¬­®¦Ґбвў . Ѓ®«ҐҐ в®Ј®, Ї®бЄ®«мЄг ®­ бзЁв Ґв зЁб«® \(K\) бз бв«Ёўл¬, Ї®¬®ЈЁвҐ Ґ¬г ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм \(K\)-®Ґ «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ё­Ё¬ «м­®Ґ Ї®¤¬­®¦Ґбвў® ¬Ё­Ё¬ «м­®Ј® а §¬Ґа  в Є®Ґ, зв® ўл§лў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® Є®а®ў нв®Ј® Ї®¤¬­®¦Ґбвў  ­г¦­®Ґ Є®«ЁзҐбвў® а § ¬®¦­® ®вб®авЁа®ў вм ўбҐе Є®а®ў.

Џ®¤¬­®¦Ґбвў® \(S\) Ё§ \(\{1,\dots,N\}\) ­ §лў Ґвбп «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, 祬 Ї®¤¬­®¦Ґбвў® \(T\) Ґб«Ё бЇЁб®Є н«Ґ¬Ґ­в®ў ў \(S\) (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп) «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, зҐ бЇЁб®Є н«Ґ¬Ґ­в®ў Ё§ \(T\) (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп). Ќ ЇаЁ¬Ґа, \(\{1, 3, 6\}\) «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, 祬 \(\{1, 4, 5\}\).

ЋжҐ­Ёў ­ЁҐ: ‚ вҐбв е ­  \(3/16\) Ў ««®ў \(N \leq 6\) and \(K = 1\). ‚ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­ле вҐбв е ­  \(5/16\) Ў ««®ў, \(K = 1\). ‚ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­ле вҐбв е ­  \(8/16\) Ў ««®ў, ­Ґв ¤агЈЁе ®Ја ­ЁзҐ­Ё©.

Џђ€Њ…ђ ‚‚Ћ„Ђ:

4 1
4 2 1 3

Џђ€Њ…ђ ‚›‚Ћ„Ђ:

2
1
4

Њл ­ зЁ­ Ґ¬ б ¬ ббЁў  \(\mathtt{\:4\:\; 2\:\; 1\:\; 3\:}\). Џ®в®¬ ”„ ўл§лў Ґв Є®а®ўг б ID 1Ў Ї®«гзЁвбп ¬ ббЁў \(\mathtt{\:1\:\; 4\:\; 2\:\; 3\:}\). Џ®в®¬ ”„ ўл§лў Ґв Є®а®ўг б ID 4 Ї®«гзЁвбп ¬ ббЁў \(\mathtt{\:1\:\; 2\:\; 3\:\; 4\:}\). ‚ нв®© в®зЄҐ ¬ ббЁў ®вб®авЁа®ў ­.

Problem credits: Spencer Compton

\(N\) коров (\(1 \leq N \leq 10^4\)) ФД стоят в ряд, последовательно пронумерованные \(1 \ldots N\). Корова \(i\) имеет \(s_i\) - уровень мастерства в заворачивании подарков. ФД решил объединить коров в команды. Команда состоит из любого последовательного множества коров числом не более \(K\) коров (\(1 \leq K \leq 10^3\)), и корова не может быть более чем в одной команде. Поскольку коровы могут учиться друг у друга, уровень мастерства каждой коровы в команде может быть заменен на уровень мастерства самой мастеровитой коровы.

Помогите ФД определить максимально возможную сумму уровней мастерства, которую он может получить, оптимально сформировав команды.

У ФД \(N\) коров (\(1 \leq N \leq 100\)), последовательно пронумерованных \(1 \ldots N\). I-ую корову необходимо доить в интевале от времени \(s_i\) до времени \(t_i\), и для дойки требуется \(b_i\) бидонов. Процесс дойки нескольких коров может проходить в одно и то же время. Если так, то не могут использоваться одни и те же бидоны для дойки разных коров. То есть, бидон, назначенный корове \(i\) не может для дойки других коров во время от \(s_i\) до \(t_i\). Вне этого временного окна, этот бидон может быть использован для дойки других коров. Для того, чтобы упростить себе работу, ФД обеспечивает, что в любой момент времени не более одна корова начинает или заканчивает дойку. (то есть все \(s_i\) и \(t_i\) различны)

У ФД есть место, где храняться все бидоны, последовательно пронумерованные 1, 2, 3 ... В текущей стратегии дойки, когщда некоторая корова (например корова \(i\)) начинает дойку (в момент времени \(s_i\)) ФД идёт в комнату хранения, берёт \(b_i\) баллонов с наименьшими номерами и назначает их для дойки коровы \(i\).

Определите, сколько всего баллонов нужно ФД иметь в комнате хранения, чтобы успешно подоить всех коров.

К счастью, у ФД есть хорошая идея. Его три лучшие коровы Беси, Эльза и Милдред дают молоко различного вкуса. Поэтому он планирует смешивать молоко для получения совершенного вкуса.

Чтобы смешать три различных вида молока, он берёт три бидона с молоком - по бидону от каждой коровы. Эти бидоны могут иметь различные размеры и могут быть заполнены не полностью. Он переливает часть молока из бидона 1 в бидон 2, затем из бидона 2 бидон 3, затем из бидона 3 в бидон 1, снова из бидона 1 в бидон 2 и т.д. циклически. Всего он выполняет 100 таких операций. (100-ая будет как раз из бидона 1 в бидон 2). Когда ФД переливает молоко из бидона \(a\) в бидон \(b\), он переливает переливает молоко пока это возможно то есть или пока бидон \(a\) станет пустым, или бидон \(b\) станем полным.

Пожалуйста, подскажите ФД, сколько молока будет в каждом бидоне, после того как он выполнит все 100 переливаний.

В понедельник ФД отмерял ровно \(1000\) галлонов молока в цистерну первого амбара, и ровно \(1000\) галлонов молока в цистерну второго амбара.

Во вторник он берёт бидон из первого амбара, наполняет его и переносит во второй амбар, где выливает это молоко в цистерну, а бидон оставляет во втором амбаре.

В среду он берёт бидон из второго амбара (возможно, тот, который он оставил во вторник), наполняет его, переносит молоко в первый амбар и выливает его в цистерну первого амбара. Он оставляет бидон в первом амбаре.

В четверг он берёт бидон из первого амбара (возможно тот, который оставил в среду), наполняет его и переносит во второй амбар, где выливает это молоко в цистерну, а бидон оставляет во втором амбаре.

В пятницу он берёт бидон из второго амбара (возможно, тот, который он оставил во вторник ил четверг), наполняет его, переносит молоко в первый амбар и выливает его в цистерну первого амбара. Он оставляет бидон в первом амбаре.

ФД измеряет молоко в цистерне первого амбара. Сколько возможных вариантов такого измерения он может увидеть?

Выслушав объяснения, Ваш учитель поверил Вам и согласился оценивать оставшиеся несъеденными ответы по прежней схеме - удалив самый маленький балл (или один из них, если их несколько) и взяв среднее от оставшихся.

Выведите значения всех \(K\) при которых Вы можете заработать максимальную оценку по этой схеме оценивания, в отсортированном порядке.

35 1234 -2
14 2345 +3

Первая строка означает, что в день 35 корова #1234 дала на 2 галлона меньше, чем при последнем измерении. Следующая запись означает, что в день 14 корова #2345 дала на 3 галлона молока больше, чем при последнем измерении. ФД каждый день делает не более одного измерения. И записывает их необязательно в хронологическом порядке.

Чтобы мотивировать коров, ФД отображает на стене карточки коров, которые показывают наивысший надой. (если таких коров несколько, тогда на стене вывешиваются карточки всех таких коров). Определите количество дней, в которые ФД должен менять состав карточек.

Заметим, что у ФД огромное стадо коров, и хотя у некоторых из них делались замеры изменения надоя, всегда имеются другие коровы, чей надой остаётся \(G\) галлонов.

Имя каждой коровы содержит некоторое количество подстрок. Например, "amy" имеет подстроки {a, m, y, am, my, amy}, а "tommy" имеет подстроки: {t, o, m, y, to, om, mm, my, tom, omm, mmy, tomm, ommy, tommy}.

Имя коровы имеет "фактор уникальности" - количество подстрок, которых нет у имён других коров. Например, если "amy" - единственная корова в стаде, её фактор уникальности равен 6. Если "tommy" - единственная корова в стаде, её фактор уникальности равен 1. Если в стаде 2 коровы "amy" и "tommy", то их факторы уникальности будут соответственно 3 и 11.

По заданному стаду коров определите фактор уникальности каждой коровы.

Сколькими способами ФД может покрасить оставшиеся амбары?

Беси хочет отдать один из своих пирогов Эльзе. Если Эльза получит пирог от Беси, она должна будет отдать один из своих пирогов Беси. Чтобы не оказаться ни скупой, ни щедрой, Эльза постарается выбрать пирог, как минимум, такой же вкусный (по мнению Эльзы) как она получила, но не более чем на \(D\) единиц вкуснее (\(0 \leq D \leq 10^9\)). Такой пирог может не существовать, в этом случае Эльза сбежит в Японию.

Но если Эльза отдаст Беси пирог взамен, то Беси аналогично постарается отдать Эльзе пирог, как минимум такой же вкусный (по мнению Беси), но не более чем на \(D\) единиц вкуснее, чем кусок, который она получила. Если Беси не сможет, то тоже сбежит. Иначе отдаст кусок Эльзе. Этот цикл продолжается, пока возможно, или пока одна из коров не получит кусок с величиной вкусности равной \(0\), в этом случае процесс заканчивается и обе коровы счастливы.

Заметим, что один и тот же кусок не может быть подарен дважды, и кусок не может вернуться той корове, которая его дарила.

Для каждого из \(N\) кусков Беси может выбрать его как начальный подарок Эльзе. Определите минимальное количество кусков, которые могут быть подарены так, чтобы обе коровы оказались счастливы.

Он решил учить их танцу "Bovine Shuffle". Этот танец состоит из \(N\) коров (\(1 \leq N \leq 100\)) выстроенных в ряд в некотором порядке, после которого они снова будут выстроены в ряд, возможно в другом порядке. ФД отметил позиции \(1 \ldots N\), и первая корова становится на позицию 1, вторая - на позицию 2, ..., последняя на позицию \(N\).

Перестановка описывается N числами \(a_1 \ldots a_N\), где корова из позиции i перемещается на позицию \(a_i\) во время перестановки (и конечно каждое \(a_i\) есть число от 1 до N). Каждая корова двигается на свою новую позицию во время перестановки. К счастью, все \(a_i\) различны, поэтому никакие две коровы не пойдут в одну и ту же позицию во время перестановки.

Каждой из коров ФД назначен уникальный ID из 7 цифр. Вам даётся порядок коров после трёх перестановок, определите начальный порядок.

35 Bessie -2
14 Mildred +3

Первая строка означает, в что в день 35 Bessie дала на 2 галлона меньше, чем во время последнего измерения. Следующая строка означает, что в день 14 Mildred дала на 3 галлона молока больше, чем во время последнего измерения. ФД делает не больше одного измерения в день. К несчастью, записи идут у него не обязательно в хронологическом порядке.

Для мотивации коров, ФД отображает на стене амбара карточку коровы, которая сейчас даёт больше всех молока. (Если таких коров несколько, он отображает все карточки). Определите количество дней, в которые ФД должен будет менять это отображение.