Информатика

Вам дан массив \(a\) из \(N\) неотрицательных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_N\) (\(1\le N\le 2\cdot 10^5, 0\le a_i\le N\)). За одну операцию Вы можете изменить любой элемент \(a\) на любое неотрицательное число.

mex массива это минимальное неотрицательное число, которого нет в массиве. Для каждого \(i\) в интервале от \(0\) до \(N\) включительно, вычислите минимальное количество операций, которое Вы должны сделать, чтобы сделать mex массива \(a\) равным \(i\).

Беси ищет новую работу. К счастью сейчас \(K\) фермеров проводят интервью для найма работников. Поскольку желающих найти работу много, фермеры решили перенумеровать коров и интервьюировать их в порядке нумерации. \(N\) коров подали заявки на интервью, поэтому у Беси номер \(N+1\) (\(1 \leq K \leq N \leq 3 \cdot 10^5\)).

Процесс интервью проходит следующим образом. В момент времени \(0\) фермер \(i\) начинает интервью с коровой \(i\) для каждого \(1 \leq i \leq K\). После того, фермер заканчивает интервью он немедленно начинает интервьюировать следующую корову по порядку. Если несколько фермеров закончили интервью в одно и то же время, следующая корова может выбрать сама к какому из фермеров пойдёт на интервью.

Для каждого \(1\le i\le N\), Беси знает, что интервью коровы \(i\) займёт ровно \(t_i\) минут (\(1 \leq t_i \leq 10^9\)). Однако она не знает, какого фермера предпочтёт каждая корова.

Поскольку работа очень важна для Беси, она хочет хорошо подготовиться к интервью. Чтобы сделать это, она должна знать, когда она попадёт на интервью и к какому фермеру может потенциально попасть. Помогите найти эту информацию!

Фермер Джон хочет справедливо разделить пакеты сена между его двумя любимыми коровами Беси и Эльза. У него есть \(N\) ( \(1\le N\le 2\cdot 10^5\)) пакетов сена, упорядоченных в невозрастающем порядке. Где \(i\)-ый пакет сена имеет \(a_i\) единиц сена ($2\cdot 10^5\ge a₁\ge a₂ \ge \dots \ge a_N \ge 1$).

ФД хочет разделить непрерывный отрезок пакетов \(a_l, \dots, a_r\) между Беси и Эльзой, рассматривая пакеты в порядке от \(l\) до \(r\), и когда рассматривает \(i\)-ый пакет он даёт его корове, у которой сейчас меньше сена. Если равно - даёт Беси.

Вам даётся \(Q\) (\(1\le Q\le 2\cdot 10^5\)) запросов, каждый описывается тремя целыми числами \(l,r,x\) (\(1\le l\le r\le N\), \(|x|\le 10^9\)). Для каждого запроса, введите на сколько больше единиц сена будет у Беси, после обработки пакетов от \(l\) до \(r\), если Беси начнёт с количеством сена на \(x\) единиц больше чем у Эльзы. Заметим эта величина отрицательна, если вначале у Эльзы будет на \(x\) единиц больше чем у Беси.

**Замечание: Время на тест и ограничение по памяти для этой задачи 3сек и 512MB, что, соответственно, в 1.5 и 2 раза больше чем по умолчанию.**

Каждая из \(N\) (\(1 \leq N \leq 10^5\)) коров Фермера Джона имеет свой ID-номер в виде битовой строки (строки соcтоящей из символов '0' и '1'). Беси, старейшая корова, помнит ID-номера всех коров и любит спрашивать у коров их ID-номера.

Когда у коровы спрашивают ID-номер, они начинают отвечать правильную битовую строку, но могут забыть и остановиться, не закончив её. Когда Беси слышит битовую строку, если та не является ID-номером ни одной коровы на ферме, она пожимает плечами и уходит. Однако если это ID-номер другой коровы на ферме, она предполагает, что произошла кража личных данных и закрывает ферму на карантин. Заметим, что это может случиться даже если корова говорит свой полный правильный ID-номер.

ФД хочет избавиться от последней ситуации и добавить несколько битов к некоторым ID-номерам. За одну секунду он может добавить один бит в конец ID-номера любой коровы. Определите минимальное количество времени, которое потребуется чтобы избежать карантина по совпадению правильного ID-номера.

У Беси есть два массива длины \(N\) (\(1 \le N \le 500\)). \(i\)-ый элемент первого массива есть \(a_i\) (\(1 \le a_i \le 10^6\)). \(i\)-ый элемент второго массива есть \(b_i\) (\(1 \le b_i \le 10^6\)).

Беси хочет разделить два массива на не-пустые подмассивы так что будут выполняться следующие условия:

1. Каждый элемент принадлежит точно 1 подмассиву.
2. Оба массива разделены на одинаковое количество подмассивов - пусть \(k\). То есть, первый массив разделён ровно на \(k\) подмассивов. И второй массив также разделён ровно на \(k\) подмассивов.
3. Для всех \(1 \le i \le k\),, среднее \(i\)-го подмассива слева первого массива строго меньше либо равно среднему \(i\)-го подмассива слева второго массива.

Подсчитайте сколькими способами можно разделить массивы на непустые подмассивы выполнив указанные ограничения. Выводить ответ по модулю \(10^9+7\). Два способа считаются различными, если количество элементов подмассива различается или некоторый элемент принадлежит различным подмассивам.

Фермер Джон и его \(Q\) (\(1 \leq Q \leq 2 \cdot 10^5\)) коров на Манхеттене. Коровы сбежали и гуляют по городу. В Манхеттене \(N\) (\(1 \le N \le 2 \cdot 10^5\)) дорог проходящие бесконечно на \(x\)-\(y\)-плоскости. Все они расположены или горизонтально, или вертикально. Каждая горизонтальная или вертикальная может быть смоделирована уравнением вида \(y = c_i\) или \(x = c_i\), где \(c_i\) целое число в интервале от \(0\) до \(10^9\) включительно.

ФД знает точно где каждая корова начала путешествие и время путешествия. Каждая из коров движется по следующему шаблону:

• РћРЅР° двигается РЅР° север (\(+y\)) или восток (\(+x\)) РЅР° РѕРґРЅСѓ единицу РІ секунду.
• Если РѕРЅР° РЅР° одиночной РґРѕСЂРѕРіРµ, РѕРЅР° продолжает двигаться РїРѕ ней.
• Если РѕРЅР° РЅР° пересечении РґРІСѓС… РґРѕСЂРѕРі, РѕРЅР° идёт РЅР° север, РЅР° чётной секунде путешествия Рё РЅР° восток иначе.

ВАм дана карта Манхэттена и информация о каждой корове, помогите ФД где его коровы сейчас.

ПР�МЕР ВВОДА:

4 5
V 7
H 4
H 5
V 6
6 3 10
6 4 10
6 5 10
6 6 10
100 4 10

ПР�МЕР ВЫВОДА:

14 5
7 13
6 15
6 16
110 4

(6, 3) -> (6, 4) -> (7, 4) -> (7, 5) -> (8, 5) -> ... -> (14, 5)
(6, 4) -> (6, 5) -> (7, 5) -> (7, 6) -> ... -> (7, 13)

Автор: Benjamin Qi

Беси прыгает вдоль числовой прямой длины \(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) по позициям \(1,2,\dots,N\) слева направо. Она начинает в позиции \(S\) \((1 \leq S \leq N)\) прыжком вправо со стартовой энергией \(1\). Если энергия Беси равна \(k\), то её следующий прыжок будет на \(k\) единиц вперёд от её текущей позиции.

Каждая целочисленная позиция от \(1\) до \(N\) это или цель, или прыжковая площадка. Каждая цель или прыжковая площадка имеет целочисленную величину от \(0\) до \(N\) включительно. Прыжковая площадка со значением \(v\) увеличивает энергию Беси на \(v\) и изменяет на противоположное направление прыжков. Цель со значением \(v\) будет сломана, если на неё приземлится Беси с энергией не менее \(v\). Приземление на цель не изменяет энергию и направление Беси. Сломанная цель остаётся сломанной, но Беси может на неё прыгать, энергия и направление не меняются.

Если Беси будет прыгать бесконечное количество времени или до тех пор, пока Беси покинет этот отрезок прямой, сколько целей она сломает?

Если Беси начинает на цели, которую она может сломать, она немедленно делает это. Аналогично, если Беси начинает на прыжковой площадке, то эффект площадки применяется перед первым прыжком.

У Фермера Джона \(N\) (\(1\le N\le 2\cdot 10^5\)) участков травы на прямой, где участок \(i\) имеет уровень бактерий, который отличается на \(a_i\) от здоровой травы (\(-10^{15}\le a_i \le 10^{15}\)). Например, если \(a_i = -3\), тогда кусок \(i\) имеет уровень бактерий на 3 меньше, чем нормальный. И нужно прибавить ровно 3 дополнительных единицы бактерий, чтобы уровень бактерий в этом куске рассматривался как нормальный.

ФД хочет обеспечить, чтобы каждый кусок травы был скорректирован, чтобы получить нормальные уровни бактерий на них. У него есть два вида пестицидов, один добавляет бактерии, другой удаляет бактерии. ФД распространяет любой из двух видов пестицидов, стоя в куске \(N\) (самом правом куске) и выбирает уровень мощности \(L\) (\(1 \leq L \leq N\)).

Сила действия спрейера уменьшается по мере увеличения расстояния от него. Например, если фермер выберет пестицид, который добавляет бактерии, тогда \(L\) единиц бактерий в участок \(N\), \(L-1\) единиц бактерий в участок \(N-1\), \(L-2\) единицы бактерий в участок \(N-2\) и т.д. Участки \(1 \ldots N-L\) не получат бактерий, поскольку мощность спрейера недостаточна, чтобы их достать. Аналогично, если ФД выберет пестициды, которые удаляют бактерии, тогда \(L\) единиц бактерий будет удалено с участка \(N\), \(L-1\) единиц бактерий будет удалено с участка \(N-1\) и т.д. Опять, участки \(1 \ldots N-L\) будут не изменены.

Определите минимальное количество раз, которое ФД должен применить свой спрейер так, чтобы на каждом участке стало рекомендованное количество бактерийю Гарантируется, что ответ не превысит \(10^9\).

Может потребоваться использование 64-битного типа данных (например "long long" в C/C++)

Беси занялась химией. В данный момент у неё есть жидкости двух различных цветов \(1\) и \(2\), которые плохо смешиваются одна с другой. У неё также есть две различных колбы бесконечной емкости наполненные \(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) единицами смесей жидкостей этих двух цветов. Смеси делятся на слои отдельных цветов. Поэтому колбы можно рассматривать как строки \(f_1f_2\ldots f_N\) и \(s_1s_2\ldots s_N\) где \(f_i\) представляет цвет жидкости, которая находится на высоте \(i\) единиц от дна первой колбы, \(s_i\) представляет цвет жидкости, которая находится на высоте \(i\) единиц от дна второй колбы,

Беси хочет разделить эти жидкости так, чтобы каждая колба содержала все единицы жидкости одного цвета. У Беси есть также пустой стакан бесконечной емкости, чтобы помочь ей решить её задачу. Когда Беси делает одно переливание, она переливает всю жидкость цвета \(i\) наверх из одной колбы в другую или в стакан.

Определите минимальное количество переливаний, чтобы разделить жидкости по колбам и серию переливаний, которые необходимо для этого выполнить. Не имеет значения какого цвета жидкость будет содержаться в какой колбе, но стакан должен быть пустым.

В каждом тесте будет \(T\) (\(1 \leq T \leq 10\)) подтестов с параметром \(P\) для каждого подтеста.

Предположим, что минимальное количество переливаний, чтобы разделить жидкости по колбам равно \(M\).

• если \(P=1\), Р’С‹ получите баллы, если выведите только \(M\).
• Если \(P=2\), Р’С‹ получите баллы, если выведите целое число \(A\) такое, что \(M \leq A \leq M+5\), Р·Р° которым следует \(A\) строк, которые конструируют это решение Р·Р° \(A\) С…РѕРґРѕРІ. Каждая строка должна содержать описание источника Рё приемника жидкости (\(1\), \(2\), или \(3\) для стакана). Колба-источник должна быть непустой перед переливанием, Рё нельзя переливать РІ себя.
• If \(P=3\), Р’С‹ получите баллы, если выведите \(M\), Р·Р° которым следует правильная конструкция, использующая это количество С…РѕРґРѕРІ.

ПР�МЕР ВВОДА:

6
4 1
1221
2211
4 2
1221
2211
4 3
1221
2211
6 3
222222
111112
4 3
1121
1222
4 2
1121
1222

ПР�МЕР ВЫВОДА:

4
4
1 2
1 3
2 1
3 2
4
1 2
1 3
2 1
3 2
1
2 1
5
2 3
1 2
1 3
1 2
3 1
6
2 3
1 2
1 3
1 2
2 1
3 2

Вот как это делается

1: 1221
2: 2211
3: 

1: 122
2: 22111
3: 

1: 1
2: 22111
3: 22

1: 1111
2: 22
3: 22

1: 1111
2: 2222
3:

В последнем подтесте пминимальное количество переливаний - \(5\). Однако, поскольку \(P=2\), то данная конструкция с \(6\)-ю ходами корректна, посокльку она не более чем на \(5\) переливаний от оптимального ответа.

Автор: Suhas Nagar

Беси готовит тесты для олимпиады. Каждую минуту она может выбрать не готовить никакие тесты для экономии энергии или потратить \(3^{a-1}\) энергии для подготовки \(a\) тестов для некоторого положительного целого \(a\).

У Фермера Джона есть \(D\) (\(1\le D\le 2\cdot 10^5\)) требований. Для \(i\)-го требования он говорит Беси, что в течение первых \(m_i\) минут она должна приготовить не менее чем \(b_i\) тестов (\(1\le m_i\le 10^6, 1 \leq b_i \leq 10^{12}\)).

Пусть \(e_i\) - минимальное количество энергии, которое необходимо Беси, чтобы удовлетворить первые \(i\) требований. Выведите \(e_1,\dots,e_D\) по модулю \(10^9+7\).

**Замечание: Память на тест 512MB, в два раза больше, чем по умолчанию.**

Беси планирует бесконечное путешествие в стране с \(N\) (\(1\leq N \leq 10^5\)) городами. В каждом городе есть портал и время зацикливания \(T_i\). Все \(T_i\). являются степенями двойки и \(T_1 + \cdots + T_N \leq 10^5\). Если Вы войдёте в портал города \(i\) в день \(t\), Вы немедленно выйдете из портала в городе \(c_{i, t\bmod{T_i}}\).

У Беси есть \(Q\) (\(1\leq Q \leq 5\cdot 10^4\)) планов её путешествия, каждый из которых есть тройка чисел \((v, t, \Delta)\). В каждом плане она начинает в городе \(v\) в день \(t\). Затем она делает следующее \(\Delta\) раз. Она входит в портал текущего города, затем ждёт один день. Для каждого из её планов она хочет узнать, в каком городе она закончит путешествие.

\(N\) \((1 \leq N \leq 5 \cdot 10^5)\) коров Фермера Джона выстроены в круг. \(i\)-ая корова имеет ведро с целой вместимостью \(a_i\) \((1 \leq a_i \leq 10^9)\) литров. Все вёдра изначально полные.

Каждую минуту корова \(i\) передаёт всё молоко из своего ведра корове \(i+1\) для \(1\le i<N\), а корова \(N\) передаёт своё молоко корове \(1\). Все обмены проходят одновременно (то есть, если корова отдаёт \(x\) литров молока и также получает \(x\) литров молока, её количество молока не изменяется). Если количество молока у коровы \(i\) превысит значение \(a_i\), тогда лишнее молоко теряется.

После каждой из минут \(1, 2, \dots, N\) - сколько молока останется у всех коров вместе?

\(N\) \((1 \leq N \leq 2 \cdot 10^5)\) коров Фермера Джона выстроены в круг так, что для каждой коровы \(i\) в промежутке \(1,2,\dots,N-1\), справа от коровы \(i\) расположена корова \(i+1\), а справа от коровы \(N\) находится корова \(1\). У каждой коровы имеется ведро целочисленной ёмкостью \(a_i\) \((1 \leq a_i \leq 10^9)\) литров. Все вёдра изначально заполнены молоком.

Каждую минуту коровы обменивается молоком по правилу, описанному в строке \(s_1s_2\dots s_N\) , состоящей только из символов \(\text{�L’}\) и \(\text{�R’}\). Если у коровы есть хотя бы \(1\) литр молока, она отдаст ровно \(1\) литр молока корове слева от неё, если \(s_i=\text{�L’}\), или справа от неё, если \(s_i=\text{�R’}\). Все обмены происходят одновременно (то есть, если у коровы полное ведро и она отдаёт литр молока и получает литр молока, то её молоко сохраняется). Если количество молока превысит \(a_i\), то лишнее молоко будет утеряно.

ФД хочет узнать после \(M\) минут \((1 \leq M \leq 10^9\)), какое количество молока останется у всех коров.?

ПР�МЕР ВВОДА:

3 1
RRL
1 1 1

ПР�МЕР ВЫВОДА:

2

ПР�МЕР ВВОДА:

5 20
LLLLL
3 3 2 3 3

ПР�МЕР ВЫВОДА:

14

ПР�МЕР ВВОДА:

9 5
RRRLRRLLR
5 8 4 9 3 4 9 5 4

ПР�МЕР ВЫВОДА:

38

Авторы: Chongtian Ma, Alex Liang

У Фермера Джона есть \(N\) (\(1 \leq N \leq 2 \cdot 10^5\)) ферм, пронумерованных от \(1\) до \(N\). Известно, что ФД закрывает ферму \(i\) в момент времени \(c_i\). Беси просыпается в момент времени \(S\) и хочет максимизировать производительность своего дня посетив как можно больше ферм, прежде чем они закроются. Она планирует посетить ферму \(i\) в момент времени \(t_i + S\). Беси должна прибыть на ферму строго раньше чем ФД закроет её, чтобы действительно посетить эту ферму.

У Беси есть \(Q\) \((1 \leq Q \leq 2 \cdot 10^5)\) запросов. Для каждого запроса она даёт Вам два целых числа \(S\) и \(V\). Для каждого запроса выведите сможет ли Беси посетить не менее \(V\) ферм, если она проснётся в момент времени \(S\).

Фермер Джон расширяет свою ферму! Он определил совершенное место - Красно-Чёрный Лес, который состоит из \(N\) деревьев (\(1 \le N \le 10^5\)) на числовой прямой, где \(i\)-ое дерево находится в позиции \(x_i\) (\(-10^9 \le x_i \le 10^9\)).

Закон по защите окружающей среды ограничивает, какие деревья может спилить ФД, освобождая место под свою ферму. Всего имеется \(K\) ограничений (\(1 \leq K \leq 10^5\)), указывающих, что должно быть как минимум \(t_i\) деревьев на отрезке \([l_i, r_i]\), включая конечные точки (\(-10^9 \le l_i, r_i \le 10^9\)). Гарантируется, что изначально Красно-Чёрный Лес удовлетворяет этим ограничениям.

ФД хочет чтобы его ферма была как можно большей. Помогите ему вычислить максимальное количество деревьев, которое он может спилить, удовлетворяя данным ограничениям.

ПР�МЕР ВВОДА:

3
7 1
8 4 10 1 2 6 7
2 9 3
7 2
8 4 10 1 2 6 7
2 9 3
1 10 1
7 2
8 4 10 1 2 6 7
2 9 3
1 10 4

ПР�МЕР ВЫВОДА:

4
4
3

Для первого подтеста, ФД может срезать первые 4 дерева, оставив деревья в точках \(x_i = 2, 6, 7\), чтобы удовлетворить ограничениям.

Для второго подтеста, ФД дополнительные ограничения не влияют, поэтому ФД может срезать те же самые деревья.

Для третьего подтеста, ФД может срезать не более \(3\) деревьев, потому что изначально \(7\) деревьев, однако второе ограничение требует чтобы он оставил как минимум \(4\) дерева не срезанными.

Авторы: Tina Wang, Jiahe Lu, Benjamin Qi

**Замечание: Время на тест в этой задаче 4 сек, в два раза больше, чем по умолчанию.**

Вам дано целое число \(N\) (\(2\le N\le 2000\)). Рассмотрим все перестановки \([p_0,p_1,\dots, p_{N-1}]\) из \([0,1,2\dots, N-1]\).

Пусть \(f(p)=\min_{i=0}^{N-2}|p_i-p_{i+1}|\) означает минимальную абсолютную разность между двумя последовательными элементами в \(p\). Также обозначим \(S_N\) множество всех таких перестановок \(p\), которые достигают максимальной возможной величины \(f(p)\).

Также Вам дополнительно дано \(K\) (\(0\le K\le N\)) ограничений вида \(p_i=j\) (\(0\le i,j<N\)). Посчитайте количество перестановок в \(S_N\), удовлетворяющих всем ограничениям, по модулю \(10^9+7\).

**Замечание: Время на тест для этой задачи 3 сек, в 1.5 больше чем по умолчанию.**

У Беси есть строка длины \(N\) (\(1\le N\le 3\cdot 10^5\)) состоящая только из символов M и O. Для каждой позиции \(i\) в этой строке есть цена замены (\(1\le c_i\le 10^8\)) этого символа на другой.

Беси думает, что строка будет выглядеть лучше, если она будет содержать больше moo длиной \(L\) (\(1\le L\le \min(N, 3)\)). Moo длиной \(L\) is символ M за которым следуют \(L-1\) символов O.

Для каждого положительного целого \(k\) от \(1\) до \(\lfloor N/L\rfloor\) включительно, вычислите минимальную стоимость изменить строк так, чтобы она содержала как минимум \(k\) подстрок равных moo длины \(L\).

У Беси есть \(N\) (\(1\le N\le 2\cdot 10^5\)) работ для Вас. Если Вы выберете \(i\)-ую работу, её необходимо начать в момент времени \(s_i\) или до него и для её завершения требуется \(t_i\) единиц времени. (\(0\le s_i\le 10^{18}, 1\le t_i\le 10^{18}\)).

Какое максимальное количество работ Вы успеете выполнить? Время начинается с \(0\),и, если Вы начали работу, Вы сначала должны выполнить и только потом начинать другую работу.

\(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) коров Фермера Джона выстроены в ряд. \(i\)-ая корова имеет метку \(a_i\) (\(1 \leq a_i \leq N\)). Группа коров может сформировать дружескую группу, если все они имеют одну и ту же метку и каждая корова находится в пределах \(x\) коров от остальных коров группы, где \(x\) - целое число из интервала \([1,N]\). Каждая корова должна быть точно в одной дружеской группе.

Для каждого \(x\) от \(1\) до \(N\), посчитайте минимальное количество дружеских групп, которые могу быть сформированы.

Беси вернулась в школу. Она начала делать домашнюю работу по математике, в которой требуется округлить положительные целые числа до степени \(10\).

Чтобы округлить положительное целое число \(a\) к ближайшему \(10^b\), где \(b\) положительное целое число, Беси сначала находит \(b\)-ую цифру справа. Пусть \(x\) обозначает эту цифру.

Если \(x \geq 5\), Беси добавляет \(10^b\) к \(a\).

Затем Беси устанавливает в \(0\) все цифры вправо от \(b\)-ой цифры.

Например, если Беси хочет округлить \(456\) к ближайшей \(10^2\) (сотне), Беси сначала находит 2-ую цифру справа - это \(5\). То есть, \(x = 5\). Затем, поскольку \(x \geq 5\), Беси прибавляет \(100\) к \(a\). Наконец Беси устанавливает в \(0\) все цифры справа начиная со второй, получается \(500\).

Однако если Беси станет округлять \(446\) до ближайшей \(10^2\), она получит \(400\).

Посмотрев на домашнюю работу Беси, Эльза придумала новый тип округления: цепочечное округления. Чтобы цепочечно округлить до ближайшего \(10^b\), Эльза сначала округляет до ближайшего \(10^1\), затем до ближайшего \(10^2\), и т.д. до ближайшего \(10^b\).

Беси думает, что Эльза ошибается, но она сильно занята со своей домашней работой, чтобы подтвердить свои подозрения. Она просит Вас посчитать сколько целых чисел \(x\), начиная с \(2\) и до \(N\) (\(1 \leq N \leq 10^{9}\)) таких, что округление его до ближайшего \(10^P\) отличается от цепочечного округления к ближайшему \(10^P\), где \(P\) - минимальное целое такое, что \(10^P \geq x\).