разделяй и властвуй

Чтобы сгенерировать это BST, ФД начинает с перестановки \(a=\{a_1,a_2,\ldots,a_N\}\) целых чисел \(1\ldots N\), где \(N\le 300\). Затем он выполняет следующий псевдокод с аргументами \(1\) and \(N\).

generate(l,r):
  if l > r, return empty subtree;
  x = argminl <= i <= r ai; // index of min ai in {al,...,ar}
  return a BST with x as the root, 
    generate(l,x-1) as the left subtree,
    generate(x+1,r) as the right subtree;

Например, перестановка \(\{3,2,5,1,4\}\) сгенерирует такое BST

    4
   / \
  2   5
 / \ 
1   3

Пусть \(d_i(a)\) обозначает глубину вершины \(i\) в дереве, соотвествующем \(a\), то есть количество вершин на пути из \(a_i\) к корню. В примере выше, \(d_4(a)=1, d_2(a)=d_5(a)=2,\) and \(d_1(a)=d_3(a)=3\).

Количество инверсий \(a\) равно количеству пар целых чисел \((i,j)\), таких что \(1\le i<j\le N\) и \(a_i>a_j\). Коровы знают, что \(a\), которую ФД использовал для генерации BST, имеет ровно \(K\) инверсий \((0\le K\le \frac{N(N-1)}{2})\). Среди всех перестановок \(a\), удовлетворяющих этому условию, вычислите Остаток, когда \(\sum_ad_i(a)\) поделено на \(M\) для каждого \(1\le i\le N\).

”„ е®зҐв ўлЎа вм Ї®¤¬­®¦Ґбвў® Є®а®ў, Ё § вҐ¬ Їа®ЁвҐаЁа®ў вмбп Ї® н⮬㠯®¤¬­®¦Ґбвўг, ўл§лў п Є ¦¤го Ё§ нвЁе Є®а®ў Ї® ®зҐаҐ¤Ё (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп Ёе ID), ®Їпвм Ё ®Їпвм ¤® вҐе Ї®а, Ї®Є  ўбҐ Є®а®ўл ­Ґ бв ­гв ®вб®авЁа®ў ­л. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё ®­ ўлЎҐаҐв Ї®¤¬­®¦Ґбвў® Є®а®ў б ID \(\{2, 4, 5\}\), в® ®­ б­ з «  ўл§®ўҐв Є®а®ўг \(2\), § вҐ¬ Є®а®ўг \(4\), § вҐ¬ Є®а®ўг \(5\). …б«Ё ўбҐ \(N\) Є®а®ў Ґйс ­Ґ ®вб®авЁа®ў ­л, ®­ Ўг¤Ґв ўл§лў вм нвЁе Є®а®ў ®Їпвм Ё ®Їпвм, бЄ®«мЄ® ­г¦­® а §.

”„ е®зҐв ¬Ё­Ё¬Ё§Ёа®ў вм а §¬Ґа нв®Ј® ¬­®¦Ґбвў . Ѓ®«ҐҐ в®Ј®, Ї®бЄ®«мЄг ®­ бзЁв Ґв зЁб«® \(K\) бз бв«Ёўл¬, Ї®¬®ЈЁвҐ Ґ¬г ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм \(K\)-®Ґ «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ё­Ё¬ «м­®Ґ Ї®¤¬­®¦Ґбвў® ¬Ё­Ё¬ «м­®Ј® а §¬Ґа  в Є®Ґ, зв® ўл§лў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® Є®а®ў нв®Ј® Ї®¤¬­®¦Ґбвў  ­г¦­®Ґ Є®«ЁзҐбвў® а § ¬®¦­® ®вб®авЁа®ў вм ўбҐе Є®а®ў.

Џ®¤¬­®¦Ґбвў® \(S\) Ё§ \(\{1,\dots,N\}\) ­ §лў Ґвбп «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, 祬 Ї®¤¬­®¦Ґбвў® \(T\) Ґб«Ё бЇЁб®Є н«Ґ¬Ґ­в®ў ў \(S\) (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп) «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, зҐ бЇЁб®Є н«Ґ¬Ґ­в®ў Ё§ \(T\) (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп). Ќ ЇаЁ¬Ґа, \(\{1, 3, 6\}\) «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, 祬 \(\{1, 4, 5\}\).

ЋжҐ­Ёў ­ЁҐ: ‚ вҐбв е ­  \(3/16\) Ў ««®ў \(N \leq 6\) and \(K = 1\). ‚ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­ле вҐбв е ­  \(5/16\) Ў ««®ў, \(K = 1\). ‚ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­ле вҐбв е ­  \(8/16\) Ў ««®ў, ­Ґв ¤агЈЁе ®Ја ­ЁзҐ­Ё©.

Џђ€Њ…ђ ‚‚Ћ„Ђ:

4 1
4 2 1 3

Џђ€Њ…ђ ‚›‚Ћ„Ђ:

2
1
4

Њл ­ зЁ­ Ґ¬ б ¬ ббЁў  \(\mathtt{\:4\:\; 2\:\; 1\:\; 3\:}\). Џ®в®¬ ”„ ўл§лў Ґв Є®а®ўг б ID 1Ў Ї®«гзЁвбп ¬ ббЁў \(\mathtt{\:1\:\; 4\:\; 2\:\; 3\:}\). Џ®в®¬ ”„ ўл§лў Ґв Є®а®ўг б ID 4 Ї®«гзЁвбп ¬ ббЁў \(\mathtt{\:1\:\; 2\:\; 3\:\; 4\:}\). ‚ нв®© в®зЄҐ ¬ ббЁў ®вб®авЁа®ў ­.

Problem credits: Spencer Compton