Вычисление по заданной формуле

Дана строка, задающая полином \(f(x)\) степени не выше 3, и два целых числа \(a\), \(b\) — пределы интегрирования. Выполните три операции:

1. Найдите производную \(f'(x)\) и упростите её.

2. Вычислите определённый интеграл \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\). Выведите точное значение (целое или дробное, например 27/4 или 0).

3. Найдите все вещественные корни \(f(x) = 0\). Выведите их через пробел в порядке возрастания. Если вещественных корней нет — выведите none. Кратные корни выводятся один раз.

Формат ввода.
Строка 1: выражение полинома в синтаксисе Python (** для возведения в степень, * для умножения, только переменная x).
Строка 2: два целых числа \(a\) и \(b\) через пробел (\(-100 \le a < b \le 100\)).

Формат вывода. Ровно 3 строки:

derivative: <выражение>
integral: <точное значение>
roots: <числа через пробел, или "none">

Пример ввода 1:

x**3 - 4*x**2 + x + 6
0 3

Пример вывода 1:

derivative: 3*x**2 - 8*x + 1
integral: 27/4
roots: -1 2 3

Пример ввода 2:

x**2 - 4*x + 4
0 3

Пример вывода 2:

derivative: 2*x - 4
integral: 3
roots: 2

Корень \(x=2\) кратный — выводим один раз.

Разбор примера 1. \(f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\).

\[f'(x) = 3x^2 - 8x + 1, \qquad \int_0^3 f\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right]_0^3 = \frac{81}{4} - 36 + \frac{9}{2} + 18 = \frac{27}{4}\] \[f(-1) = -1-4-1+6 = 0,\quad f(2) = 8-16+2+6=0,\quad f(3)=27-36+3+6=0.\] Корни: \(-1,\ 2,\ 3\).

Подсказки по реализации.

• Для разбора строки: parse_expr(s, transformations=standard_transformations + (implicit_multiplication_application,)).

• Чтобы отфильтровать только вещественные корни: im(r) == 0.

• simplify(diff(expr, x)) даёт упрощённый вид производной.

• Сортировка корней: sorted(..., key=lambda r: float(r)).

1. Engine Motors
2. Speed Cross
3. Fast Fuel

Алиса решила поздравить своего друга с началом нового учебного года. Впереди холодная осень, поэтому она решила связать для него собственными руками шарф.

Незаметно для друга Алиса узнала, что ему большего всего нравятся \(k\) различных цветов. Алиса приняла решение связать шарф размером \(n \times m\), в котором будут чередоваться полоски различных цветов. Её друг никогда не ищет легких путей, поэтому она решила, что шарф с горизонтальными или вертикальными полосками покажется ему слишком <<примитивным>>. Алиса решила, что полоски определённо должны быть диагональными!

Закончив вязать шарф, Алиса вспомнила, что один из \(k\) цветов её друг считает особенным! Это цвет \(c\), который по его мнению приносит школьникам удачу на олимпиадах по информатике. И Алисе стало невероятно интересно, сколько фрагментов шарфа имеют именно такой цвет. Шарф получился очень большим, Алиса очень устала, пока его вязала, поэтому сама она уже не может ответить на этот вопрос и просит вас о помощи...

Более формально шарф можно представить в виде таблицы размером \(n \times m\), каждая клетка которой покрашена в один из \(k\) цветов. Цвета нумеруются от \(1\) до \(k\).

Первая строка таблицы покрашена в цвета \(1\), \(2\), ..., \(k\), \(1\), \(2\), ..., \(k\) и т.д. Каждая следующая строка получена из предыдущей сдвигом влево на одну клетку. Таким образом, таблица состоит из диагональных полос.

При \(n = 4\), \(m = 8\) и \(k = 3\) таблица будет иметь следующий вид:

По данным числам \(n\), \(m\), \(k\) и \(c\) определите, сколько всего клеток покрашено в цвет \(c\).

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит натуральное число \(n\) — ширину шарфа.

Вторая строка входных данных содержит натуральное число \(m\) — длину шарфа.

Третья строка входных данных содержит натуральное число \(k\) — количество любимых цветов друга Алисы.

Числа \(n\), \(m\) и \(k\) не превосходят \(10^9\).

Четвёртая строка входных данных содержит натуральное число \(c\) — номер особенного цвета (\(1\le c \le k\)).

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно целое число — количество клеток шарфа, которые покрашены в цвет \(c\).

Обратите внимание, что ответ в этой задаче может превышать возможное значение 32-битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64-битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#).

Замечание

Картинка соответствует примеру из условия. Шарф имеет размеры \(4\times8\) и состоит из клеток трёх цветов. В цвет \(1\) покрашены \(11\) клеток.

Примеры

Примеры

Примеры

Примеры

Примеры

Дан фрагмент ЭТ:

Определить, какое из утверждений истинно для этого фрагмента таблицы:

1) В ячейку D2 введена формула СУММ(В3:С4)/СУММ(А3:С3)   (для OOo Calc:  SUM(В3:С4)/SUM(А3:С3))
2) В ячейку D4 введена формула (А1+В2+С3)/3;
3) В ячейку D1 введена формула СУММ(А2:В3);   (для OOo Calc:  SUM(A2:B3))
4) В ячеку А4 введена формула (СУММ(А1:С2))/10   (для OOo Calc:  (SUM(A1:С2))/10)

В перечне функций укажите функции, относящиеся к категории статистические:

1) МИН(), МАКС(), СРЗНАЧ() (MIN(), MAX(), AVERAGE() - для OOo Calc)
2) МИН(), МАКС(), СУММ()  () (MIN(), MAX(), SUM() - для OOo Calc)
3) СУММ(), МАКС(), ЕСЛИ() (SUM(), MAX(), IF() - для OOo Calc)
4) МАКС(), МИН(), ЕСЛИ()  (MAX(), MIN(), IF() - для OOo Calc)