Жадный алгоритм

Беси, однако разрешено делать остановки для отдыха и поедания травы. Но она может их делать не везде. Имеется \(N\) мест для остановок на тропинке (\(1 \leq N \leq 10^5\)); \(i\)-ая остановка находится на \(x_i\) метров от начала тропинки (\(0 < x_i < L\)), а трава на ней имеет вкусность \(c_i\) (\(1 \leq c_i \leq 10^6\)). Если Беси остановится в месте \(i\) на \(t\) секунд, она получит \(c_i \cdot t\) вкусности травы.

Беси двигается со скоростью \(r_B\) секунд за метр (\(1 \leq r_B \leq 10^6\)). Поскольку Беси моложе, \(r_B\) строго меньше \(r_F\).

Беси хочет максимизировать потребление вкусной травы. Но она беспокоится о ФД. Она думает, что если окажется позади ФД, у него пропадёт мотивация продолжать движение.

Помогите Беси найти максимальное суммарное значение съеденной вкусной травы которое она может получить, в уверенности, что ФД завершит подъём.

ФД рассердился. Он приделал к стене счётчик дней с последнего слома. Если слом случился утром, счётчик покажет 0. Если последний слом случился 3 дня назад, счётчик показывает 3. ФД тщательно записывал значение счётчика каждый день.

В конце года ФД решил действовать. Однако с логом некоторые проблемы.

ФД хочет определить, сколько слово зафиксировано. Однако он подозревает, что коровы подделали его лог и всё в чём он уверен, что он начало лог в день слома. Помогите ему определить, для каждого количества сломов какое минимальное количество записей должно быть подделано.

Коровы со всего мира прибывают в местный аэропорт, чтобы посетить съезд и поесть траву. А именно \(N\) (\(1 \leq N \leq 10^5\)) коров прибывают в аэропорт, и корова \(i\) прибывает в момент времени \(t_i\) (\(0 \leq t_i \leq 10^9\)). ФД организовал \(M\) (\(1 \leq M \leq 10^5\)) автобусов для транспортировки коров из аэропорта. Каждый автобус может вместить до \(C\) (\(1 \leq C \leq N\)) коров. ФД ждёт вместе с автобусами в аэропорту и собирается распределить прибывающих коров по автобусам. Автобус убывает из аэропорта в момент, когда прибывает последняя корова. ФД хочет, чтобы прибывающие коровы не ждали в аэропорту слишком долго. Каково наименьшее значение максимального времени ожидания из всех коров, если ФД оптимально назначит их по автобусам. Время ожидания коровы есть разность между временем её прибытия и временем отправления автобуса, в который она распределена.

Гарантируется, что \(MC \geq N\).

”„ е®зҐв ўлЎа вм Ї®¤¬­®¦Ґбвў® Є®а®ў, Ё § вҐ¬ Їа®ЁвҐаЁа®ў вмбп Ї® н⮬㠯®¤¬­®¦Ґбвўг, ўл§лў п Є ¦¤го Ё§ нвЁе Є®а®ў Ї® ®зҐаҐ¤Ё (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп Ёе ID), ®Їпвм Ё ®Їпвм ¤® вҐе Ї®а, Ї®Є  ўбҐ Є®а®ўл ­Ґ бв ­гв ®вб®авЁа®ў ­л. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё ®­ ўлЎҐаҐв Ї®¤¬­®¦Ґбвў® Є®а®ў б ID \(\{2, 4, 5\}\), в® ®­ б­ з «  ўл§®ўҐв Є®а®ўг \(2\), § вҐ¬ Є®а®ўг \(4\), § вҐ¬ Є®а®ўг \(5\). …б«Ё ўбҐ \(N\) Є®а®ў Ґйс ­Ґ ®вб®авЁа®ў ­л, ®­ Ўг¤Ґв ўл§лў вм нвЁе Є®а®ў ®Їпвм Ё ®Їпвм, бЄ®«мЄ® ­г¦­® а §.

”„ е®зҐв ¬Ё­Ё¬Ё§Ёа®ў вм а §¬Ґа нв®Ј® ¬­®¦Ґбвў . Ѓ®«ҐҐ в®Ј®, Ї®бЄ®«мЄг ®­ бзЁв Ґв зЁб«® \(K\) бз бв«Ёўл¬, Ї®¬®ЈЁвҐ Ґ¬г ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм \(K\)-®Ґ «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ё­Ё¬ «м­®Ґ Ї®¤¬­®¦Ґбвў® ¬Ё­Ё¬ «м­®Ј® а §¬Ґа  в Є®Ґ, зв® ўл§лў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® Є®а®ў нв®Ј® Ї®¤¬­®¦Ґбвў  ­г¦­®Ґ Є®«ЁзҐбвў® а § ¬®¦­® ®вб®авЁа®ў вм ўбҐе Є®а®ў.

Џ®¤¬­®¦Ґбвў® \(S\) Ё§ \(\{1,\dots,N\}\) ­ §лў Ґвбп «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, 祬 Ї®¤¬­®¦Ґбвў® \(T\) Ґб«Ё бЇЁб®Є н«Ґ¬Ґ­в®ў ў \(S\) (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп) «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, зҐ бЇЁб®Є н«Ґ¬Ґ­в®ў Ё§ \(T\) (ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп). Ќ ЇаЁ¬Ґа, \(\{1, 3, 6\}\) «ҐЄбЁЄ®Ја дЁзҐбЄЁ ¬Ґ­миҐ, 祬 \(\{1, 4, 5\}\).

ЋжҐ­Ёў ­ЁҐ: ‚ вҐбв е ­  \(3/16\) Ў ««®ў \(N \leq 6\) and \(K = 1\). ‚ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­ле вҐбв е ­  \(5/16\) Ў ««®ў, \(K = 1\). ‚ ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­ле вҐбв е ­  \(8/16\) Ў ««®ў, ­Ґв ¤агЈЁе ®Ја ­ЁзҐ­Ё©.

Џђ€Њ…ђ ‚‚Ћ„Ђ:

4 1
4 2 1 3

Џђ€Њ…ђ ‚›‚Ћ„Ђ:

2
1
4

Њл ­ зЁ­ Ґ¬ б ¬ ббЁў  \(\mathtt{\:4\:\; 2\:\; 1\:\; 3\:}\). Џ®в®¬ ”„ ўл§лў Ґв Є®а®ўг б ID 1Ў Ї®«гзЁвбп ¬ ббЁў \(\mathtt{\:1\:\; 4\:\; 2\:\; 3\:}\). Џ®в®¬ ”„ ўл§лў Ґв Є®а®ўг б ID 4 Ї®«гзЁвбп ¬ ббЁў \(\mathtt{\:1\:\; 2\:\; 3\:\; 4\:}\). ‚ нв®© в®зЄҐ ¬ ббЁў ®вб®авЁа®ў ­.

Problem credits: Spencer Compton

35 1234 -2
14 2345 +3

Первая строка означает, что в день 35 корова #1234 дала на 2 галлона меньше, чем при последнем измерении. Следующая запись означает, что в день 14 корова #2345 дала на 3 галлона молока больше, чем при последнем измерении. ФД каждый день делает не более одного измерения. И записывает их необязательно в хронологическом порядке.

Чтобы мотивировать коров, ФД отображает на стене карточки коров, которые показывают наивысший надой. (если таких коров несколько, тогда на стене вывешиваются карточки всех таких коров). Определите количество дней, в которые ФД должен менять состав карточек.

Заметим, что у ФД огромное стадо коров, и хотя у некоторых из них делались замеры изменения надоя, всегда имеются другие коровы, чей надой остаётся \(G\) галлонов.

Еда будет представлять собой непрерывный интервал, содержащий один или более последовательных стогов сена (нельзя менять их порядок). Общий вкус еды равен сумме вкусов на интервале. Общая пряность еды - максимум из пряностей на интервале.

ФД хочет определить минимальную пряность, кторую можно достичь, чтобы вкус был не менее \(M\) (\(1 \le M \le 10^{18}\)).

‘ ¤ б®бв®Ёв Ё§ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ Ё§ \(N\) Є«г¬Ў (\(1 \leq N \leq 100,000\)), ѓ¤Ґ Є«г¬Ў  \(i\) Ё§­ з «м­® ᮤҐа¦Ёв \(A_i\) Ґ¤Ё­Ёж ¤са­ . ”„ е®зҐв ८࣠­Ё§®ў вм б ¤ в Є, зв®Ўл Є ¦¤ п Є«г¬Ў  бв «  ᮤҐа¦ вм \(B_i\) Ґ¤Ё­Ёж ¤са­ . \(A_i\) Ё \(B_i\) - жҐ«лҐ зЁб«  ў Ё­вҐаў «Ґ \(0 \ldots 10\).

„«п Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп « ­¤и дв  ”„ Ё¬ҐҐв ­ҐбЄ®«мЄ® ў аЁ ­в®ў: ®­ ¬®¦Ґв ЄгЇЁвм ®¤­г Ґ¤Ё­Ёжг ¤са­  Ё Ї®«®¦Ёвм Ґс ­  «оЎго Є«г¬Ўг §  \(X\) Ґ¤Ё­Ёж ¤Ґ­ҐЈ. Ћ­ ¬®¦Ґв б­пвм ®¤­г Ґ¤Ё­Ёжг ¤са­  б «оЎ®© Є«г¬Ўл Ё Їа®¤ вм Ґс §  \(Y\) Ґ¤Ё­Ёж ¤Ґ­ҐЈ. Ћ­ в Є¦Ґ ¬®¦Ґв ЏҐаҐ¬ҐбвЁвм ®¤­г Ґ¤Ё­Ёжг ¤са­  б Є«г¬Ўл \(i\) ­  Є«г¬Ўг \(j\) §  \(Z\) times \(|i-j|\). ‚лзЁб«ЁвҐ ¬Ё­Ё¬ «м­го бв®Ё¬®бвм, §  Є®в®аго ”„ ¬®¦Ґв ўлЇ®«­Ёвм бў®© Їа®ҐЄв.

Џђ€Њ…ђ ‚‚Ћ„Ђ:

4 100 200 1
1 4
2 3
3 2
4 0

Џђ€Њ…ђ ‚›‚Ћ„Ђ:

210

‡ ¬ҐвЁ¬ зв® в Є п § ¤ з  ¤ ў « бм ў ®¤­®¬ Ё§ ЇаҐ¦­Ёе USACO-Є®­вҐбв®ў ­  га®ў­Ґ Silver. Ћ¤­ Є® ᥩз б бгйҐб⢥­­® 㬥­м襭® ўаҐ¬п ­  вҐбв.

Ђўв®а: Brian Dean Farmer John is building a nicely-landscaped garden, and needs to move a large amount of dirt in the process.

The garden consists of a sequence of \(N\) flowerbeds (\(1 \leq N \leq 100,000\)), where flowerbed \(i\) initially contains \(A_i\) units of dirt. Farmer John would like to re-landscape the garden so that each flowerbed \(i\) instead contains \(B_i\) units of dirt. The \(A_i\)'s and \(B_i\)'s are all integers in the range \(0 \ldots 10\).

To landscape the garden, Farmer John has several options: he can purchase one unit of dirt and place it in a flowerbed of his choice for \(X\) units of money. He can remove one unit of dirt from a flowerbed of his choice and have it shipped away for \(Y\) units of money. He can also transport one unit of dirt from flowerbed \(i\) to flowerbed \(j\) at a cost of \(Z\) times \(|i-j|\). Please compute the minimum total cost for Farmer John to complete his landscaping project.

ФД перекрасил дои и амбар и хочет быть уверенным, что Беси не доберётся ни туда, ни туда (Корова и свежая краска не есть хорошая комбинация!). Соответственно, ФД хочет быть уверенным, что Беси никогда не выйдет ни за самый левый, ни за самый правый стог. ФД может добавить сена в один стог по своему выбору, так чтобы гарантировать, что Беси не выберется. Пожалуйста, помогите ему определить минимальное количество дополнительного размера, который он должен добавить к некоторому стогу сена, чтобы гарантировать, что Беси останется в ловушке.

Каждый стог \(j\) имеет размер \(S_j\) и позицию \(P_j\) определяющую его положение вдоль дороги. Беси может двигаться вдоль дороги вплоть до позиции стога, но не может пересечь эту позицию. Исключение – если она прошла в этом направлении \(D\) единиц расстояния, тогда она набрала достаточно скорости, чтобы протаранить стог любого размера строго меньше чем \(D\). Конечно после этого она может продолжить движение и таранить другие стога.

Беси может выйти на свободу если она в конце концов протаранит протаранит самый левый или самый правый стог. Вычислите общий размер участка дороги, состоящий из возможных точек старта Беси, из которых она не сможет выбраться.

Каждый стог с номером \(j\) имеет размер \(S_j\) и уникальную позицию\(P_j\), задающую его положение вдоль одномерной дороги. Беси начинает движение в некоторой позиции, где не было стога и может передвигаться свободно вдоль дороги, вплоть до позиции, где размещён стог сена, но она не может перейти эту позицию. В качестве исключения, если она движется в некотором направлении \(D\) единиц расстояния, она набирает достаточно скорости, чтобы протаранить любой стог сена с высотой строго меньше, чем \(D\). Конечно, после того, как она сделает это, перед ней открывается пространство с другими стогами сена, которые она тоже может протаранить.

Беси может выйти на свободу как после самого левого, так и после самого правого стога сена. Пожалуйста, определите общую длину дороги, состоящую из тех позиций, из которых Беси не сможет выбраться. Например, если Беси не может выбраться если она начинает с позиции между стогами в позициях 1 и 5, тогда ответ будет 4 (поскольку эти позиции ограничивают область размером 4).