Жадный алгоритм

По известному порядку выкладывания карт Эльзой определите максимальное количество очков, которое может заработать Беси.

Фермер Джон заметил, что имеется \(N\) (\(1\le N\le 2\cdot 10^5\)) уникальных ID-номеров и для каждого уникального ID \(d_i\) (\(0\le d_i\le 10^9\)), имеется \(n_i\) (\(1\le n_i\le 10^9\)) коров с таким ID.

Эти коровы могут коммуницировать в парах, их секретный метод шифрования имеет одно строгое правило: две коровы могут обмениваться информацией если это не одна и та же корова и сумма их ID-номеров равна или \(A\) или \(B\) (\(0\le A\le B\le 2\cdot 10^9\)). В один момент времени, корова может быть вовлечена только в одну беседу (то есть никакая корова не может быть частью более чем одной пары)

ФД хочет максимизировать количество коммуницирующих пар. Определите максимальное количество бесед, которые могут состоятся в один момент времени.

У Фермера Джона есть \(N\) коров (\(2 \leq N \leq 5\cdot 10^6\)) и пытается заставить их отсортировать неотрицательный целочисленный массив \(A\) длины \(N\), полагаясь на их лень. У него много тяжелых коробок, поэтому он выстраивает коров одну за другой, где корова \(i+1\) находится за коровой \(i\), и дает \(a_i\) коробок корове \(i\) (\(0\le a_i\)).

Коровы по своей природе ленивы, поэтому они всегда ищут способ передать свою работу кому-то другому. От коровы \(1\) до \(N-1\) по порядку каждая корова смотрит на корову позади себя. Если у коровы \(i\) строго больше коробок, чем у коровы \(i+1\), корова \(i\) считает, что это «несправедливо» и отдает одну из своих коробок корове \(i+1\). Этот процесс повторяется, пока каждая корова не будет удовлетворена.

Фермер Джон пометил количество ящиков \(b_i\), которое каждая корова \(i\) держит и создал массив \(B\) из этих величин. Если \(B = sorted(A)\) тогда ФД счастлив. К несчастью. ФД забыл все кроме \(Q\) величин массива \(A\). (\(2 \leq Q \leq \min(N, 100)\)). К счастью, эти величины включают количество ящиков, которое он собирается дать первой и последней корове. Каждое число, которое помнит ФД задано в виде \(c_i \; v_i\), представляющее, что \(a_{c_i}=v_i\). (\(1 \leq c_i \leq N\), \(1\le v_i\le 10^9\)). Определите количество различных способов, которыми могут быть заполнены пропущенные величины так чтобы ФД был счастливым. ответ выводите по модулю \(10^9+7\).

У Фермера Джона есть \(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) бутылок, которые он хочет наполнить молоком. Каждая бутылка изначально содержит некоторое количество молока \(m_i\) \((0 \leq m_i \leq 10^9)\). Каждый день он берёт \(A\) \((1 \le A \le N)\) бутылок и наполняет одной единицей молока.

К несчастью, Фермер Нхой, соперник ФД по бизнесу, знает об этом процессе ФД и намерен навредить. Каждый день после того, как ФД заполнит свои \(A\) бутылок, ФН незаметно крадёт одну единицу молока из \(B\) \((0 \le B < A)\) различных непустых бутылок. Чтобы оставаться незамеченным, ФН выбирает \(B\) так, чтобы оно было строго меньше чем \(A\).

После \(D\) (\(1 \leq D \leq 10^9\)) дней ФД продаёт своё молоко. Если в бутылке \(M\) единиц молока, он продаёт эту бутылку за \(M^2\) денежных единиц.

Пусть \(P\) - уникальная прибыль, такая, что FJ может гарантировать, что он получит не менее \(P\) прибыли независимо от того, как ведет себя FN, а FN может гарантировать, что FJ получит не более \(P\) прибыли независимо от того, как ведет себя FJ. Выведите значение \(P\) по модулю \(10^9+7\).

Фермер Джон выстроил коров в ряд и хочет их сфотографировать.

Каждая из \(N\) коров \((1 \le N \le 10^5)\) имеет целую высоту от \(1\) до \(N\). ФД хочет сфотографировать их в определённом порядке. Если коровы с высотами \(h_1, \dots, h_K\) стоят в ряд слева направо, он хочет, чтобы для их высот выполнялись следующие три свойства:

• Чтобы высоты коров сначала возрастали, а потом убывали. Формально, должно существовать такое целое число \(i\), что \(h_1 \le \dots \le h_i \ge \dots \ge h_K\).
• Чтобы рядом стояли коровы с одинаковой высотой. Формально, \(h_i \neq h_{i+1}\) для \(1 \le i < K\).
• Чтобы фотография была симметричной. Формально, если \(i + j = K+1\), then \(h_i = h_j\).

ФД хочет, чтобы на фотографии было как можно больше коров. А именно, ФД может удалить некоторых коров и переупорядочить оставшихся коров. Вычислите максимальное количество коров, которые ФД может выставить на своей фотографии, удовлетворив указанные свойства.

Сад Беси имеет \(N\) растений, помеченных от \(1\) до \(N\) (\(2\leq N\leq 5\cdot 10^5\)) слева направо. Беси знает, что растение \(i\) требует не менее \(w_i\) (\(0\leq w_i \leq 10^6\)) единиц воды.

У Беси своеобразная ирригационная система с \(N-1\) каналами, пронумерованными от \(1\) до \(N-1\). Каждый канал \(i\) имеет ассоциированную с ним стоимость \(c_i\) (\(1\le c_i\le 10^6\)), такую что Беси может заплатить \(c_i*k\) чтобы обеспечить растение \(i\) и \(i+1\) каждое \(k\) единицами воды где \(k\) неотрицательное целое число.

Беси сильно занята и может не иметь времени использовать все каналы. Для каждого \(2\leq i \leq N\) вычислите минимальную стоимость требуемую, чтобы доставить воду растениям от \(1\) до \(i\) используя только первые \(i-1\) каналов.

Фермер Джон выстроил \(N\) \((1 \leq N \leq 2 \cdot 10^5)\) своих коров в ряд \(a\). \(i\)'-ая корова от начала ряда \(a\) помечена целым числом \(a_i\) (\(1 \leq a_i \leq N\)). Несколько коров могут быть помечены одним и тем же числом.

ФД конструирует ряд \(b\) следующим образом:

• Изначально массив \(b\) пустой.
• Пока массив \(a\) не пустой, удалить первый элемент ряда \(a\) и добавить или не добавить этот элемент в конец массива \(b\).

ФД хочет сконструировать \(b\) так, чтобы последовательность меток в \(b\) от начала к концу была лексикографически наибольшей.

Прежде чем ФД начнёт конструировать ряд \(b\), он может выполнить следующую операцию не более чем один раз.

• Выбрать корову в ряду \(a\) и переместить её в любую позицию, кроме текущей.

При условии, что ФД оптимально выполняет эту операцию не более одного раза, выведите лексикографически наибольшую последовательность \(b\), которую он сможет получить.

Каждый тест состоит из \(T\) (\(1 \leq T \leq 100\)) независимых подтестов.

**Замечание: Время на тест для этой задачи 3сек, в 1.5 большее чем по умолчанию. Память на тест для этой задачи 512MB, в два раза больше чем по умолчанию.**

Беси проходит тест вида да/нет из \(N\) вопросов (\(1\le N\le 2\cdot 10^5\)). За \(i\)-ый вопрос она может добавить \(a_i\) баллов если ответит правильно, и отнять \(b_i\) баллов, если ответит неправильно или не изменить сумму, если не ответит вообще на вопрос (\(0<a_i,b_i\le 10^9\)).

Беси знает ответы на все вопросы, но боится, что администратор теста Эльза подменит до \(k\) вопросов так, чтоб получилось, что Беси ответила неправильно.

Заданы \(Q\) (\(1\le Q\le N+1\)) кандидатов величин \(k\) (\(0\le k\le N\)), определите количество баллов, которые Беси гарантированы для каждого \(k\), зная, что она должна ответить не менее чем на \(k\) вопросов.

Вам дан массив \(a\) из \(N\) неотрицательных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_N\) (\(1\le N\le 2\cdot 10^5, 0\le a_i\le N\)). За одну операцию Вы можете изменить любой элемент \(a\) на любое неотрицательное число.

mex массива это минимальное неотрицательное число, которого нет в массиве. Для каждого \(i\) в интервале от \(0\) до \(N\) включительно, вычислите минимальное количество операций, которое Вы должны сделать, чтобы сделать mex массива \(a\) равным \(i\).

Беси ищет новую работу. К счастью сейчас \(K\) фермеров проводят интервью для найма работников. Поскольку желающих найти работу много, фермеры решили перенумеровать коров и интервьюировать их в порядке нумерации. \(N\) коров подали заявки на интервью, поэтому у Беси номер \(N+1\) (\(1 \leq K \leq N \leq 3 \cdot 10^5\)).

Процесс интервью проходит следующим образом. В момент времени \(0\) фермер \(i\) начинает интервью с коровой \(i\) для каждого \(1 \leq i \leq K\). После того, фермер заканчивает интервью он немедленно начинает интервьюировать следующую корову по порядку. Если несколько фермеров закончили интервью в одно и то же время, следующая корова может выбрать сама к какому из фермеров пойдёт на интервью.

Для каждого \(1\le i\le N\), Беси знает, что интервью коровы \(i\) займёт ровно \(t_i\) минут (\(1 \leq t_i \leq 10^9\)). Однако она не знает, какого фермера предпочтёт каждая корова.

Поскольку работа очень важна для Беси, она хочет хорошо подготовиться к интервью. Чтобы сделать это, она должна знать, когда она попадёт на интервью и к какому фермеру может потенциально попасть. Помогите найти эту информацию!

Фермер Джон нанимает нового вожака стада для своих коров. Для этого он интервьюирует \(N\) (\(2 \leq N \leq 10^5\)) коров на эту позицию. После интервью \(i\)-го кандидата он назначает целое число "уровень компетенции" \(c_i\) от \(1\) дo \(C\) включительно (\(1 \leq C \leq 10^9\)).

Поскольку ФД интервьюировал много коров, он не помнит все \(c_i\). Однако он помнит \(Q\) (\(1 \leq Q < N\)) пар чисел \((a_j, h_j)\) где корова \(h_j\) компетенция которой была строго больше, чем уровень компетенции коров от \(1\) до \(a_j\) (\(1 \leq a_j < h_j \leq N\)).

ФД говорит Вам последовательность \(c_1, \dots, c_N\) (где \(c_i = 0\) означает, что он забыл уровень компетенции коровы \(i\), и \(Q\) пар \((a_j, h_j)\). Помогите ему определить лексикографически минимальную последовательность уровней компетенции, соответствующую этой информации или указать, что такой последовательности не существует. Последовательность чисел называется лексикографически меньше другой последовательности если в ней меньшее число не первой позиции, где эти последовательности различаются.

Каждый ввод содержит \(T\) \((1 \leq T \leq 20)\) независимых подтестов. Гарантируется, что сумма \(N\) по всем подтестам не превысит \(3 \cdot 10^5\).

Беси сортирует массив целых чисел собственным алгоритмом. У неё есть куча из \(N\) \((1 \leq N \leq 2\cdot 10^5)\) целых чисел \(a_1,a_2,\dots,a_N\) \((1 \leq a_i \leq 10^{11})\), которые она хочет перенести в другой массив в отсортированном порядке. Она постоянно ищет минимальный элемент в куче, удаляет его и добавляет в конец массива. Беси требуется \(p\) секунд, чтобы найти минимальный элемент в куче из \(p\) целых чисел.

ФД выделил Беси в помощь неограниченное количество коров. Беси использует их следующим образом. Она разделила все свои целые числа на две кучи: куча Беси и куча Помощниц. Для каждого числа в своей куче она выполняет алгоритм как обычно. Для каждого целого числа в куче Помощниц Беси назначает его отдельной корове. И предлагает ей поступать так. Когда корова помощница получает число \(a_i\), она должна подождать \(a_i\) секунд и затем добавить это число в конец массива. Если Беси и корова-помощница добавляют число в одно и то же время, то сначала добавляется число Беси. Если нескольким коровам-помощницам было дано одно и то же число, они добавляют копии этого числа в одно и то же время.

Помогите Беси поделить её числа так, чтобы финальный массив был отсортирован, а время сортировки было минимально.

У Фермера Джона важная задача - решить какой тип сена купить для своих коров.

У Фермера Джона есть \(N\) коров (\(2 \le N \le 10^5\)) пронумерованных от \(1\) до \(N\). Каждая корова любит ровно один тип сена \(h_i\) (\(1 \le h_i \le N\)). ФД хочет, чтобы все его коровы любили один тип сена.

Чтобы это случилось, ФД может сформировать фокус-группы. Фокус-группа состоит из всех коров в непрерывном интервале от \(i\) до \(j\), включительно. Если в фокус-группе более половины коров любит один и тот же некоторый тип сена, то все коровы начинают любить этот тип сена, иначе ни у одной коровы не изменяется любимый тип сена. Например, если фокус группа состоит из 16 коров, 9 или более из которых любят один и тот же тип сена, то и остальные 7 коров теперь будут любить этот же тип сена.

ФД хочет узнать, какие типы сена могут стать любимыми всем коровами. В один момент времени он может создать только одну фокус группу, но он может последовательно создавать сколько угодно фокус-групп, чтобы все коровы полюбили один и тот же тип сена.

У Фермера Джона \(N\) (\(1\le N\le 2\cdot 10^5\)) участков травы на прямой, где участок \(i\) имеет уровень бактерий, который отличается на \(a_i\) от здоровой травы (\(-10^{15}\le a_i \le 10^{15}\)). Например, если \(a_i = -3\), тогда кусок \(i\) имеет уровень бактерий на 3 меньше, чем нормальный. И нужно прибавить ровно 3 дополнительных единицы бактерий, чтобы уровень бактерий в этом куске рассматривался как нормальный.

ФД хочет обеспечить, чтобы каждый кусок травы был скорректирован, чтобы получить нормальные уровни бактерий на них. У него есть два вида пестицидов, один добавляет бактерии, другой удаляет бактерии. ФД распространяет любой из двух видов пестицидов, стоя в куске \(N\) (самом правом куске) и выбирает уровень мощности \(L\) (\(1 \leq L \leq N\)).

Сила действия спрейера уменьшается по мере увеличения расстояния от него. Например, если фермер выберет пестицид, который добавляет бактерии, тогда \(L\) единиц бактерий в участок \(N\), \(L-1\) единиц бактерий в участок \(N-1\), \(L-2\) единицы бактерий в участок \(N-2\) и т.д. Участки \(1 \ldots N-L\) не получат бактерий, поскольку мощность спрейера недостаточна, чтобы их достать. Аналогично, если ФД выберет пестициды, которые удаляют бактерии, тогда \(L\) единиц бактерий будет удалено с участка \(N\), \(L-1\) единиц бактерий будет удалено с участка \(N-1\) и т.д. Опять, участки \(1 \ldots N-L\) будут не изменены.

Определите минимальное количество раз, которое ФД должен применить свой спрейер так, чтобы на каждом участке стало рекомендованное количество бактерийю Гарантируется, что ответ не превысит \(10^9\).

Может потребоваться использование 64-битного типа данных (например "long long" в C/C++)

Беси занялась химией. В данный момент у неё есть жидкости двух различных цветов \(1\) и \(2\), которые плохо смешиваются одна с другой. У неё также есть две различных колбы бесконечной емкости наполненные \(N\) \((1 \leq N \leq 10^5)\) единицами смесей жидкостей этих двух цветов. Смеси делятся на слои отдельных цветов. Поэтому колбы можно рассматривать как строки \(f_1f_2\ldots f_N\) и \(s_1s_2\ldots s_N\) где \(f_i\) представляет цвет жидкости, которая находится на высоте \(i\) единиц от дна первой колбы, \(s_i\) представляет цвет жидкости, которая находится на высоте \(i\) единиц от дна второй колбы,

Беси хочет разделить эти жидкости так, чтобы каждая колба содержала все единицы жидкости одного цвета. У Беси есть также пустой стакан бесконечной емкости, чтобы помочь ей решить её задачу. Когда Беси делает одно переливание, она переливает всю жидкость цвета \(i\) наверх из одной колбы в другую или в стакан.

Определите минимальное количество переливаний, чтобы разделить жидкости по колбам и серию переливаний, которые необходимо для этого выполнить. Не имеет значения какого цвета жидкость будет содержаться в какой колбе, но стакан должен быть пустым.

В каждом тесте будет \(T\) (\(1 \leq T \leq 10\)) подтестов с параметром \(P\) для каждого подтеста.

Предположим, что минимальное количество переливаний, чтобы разделить жидкости по колбам равно \(M\).

• если \(P=1\), Р’С‹ получите баллы, если выведите только \(M\).
• Если \(P=2\), Р’С‹ получите баллы, если выведите целое число \(A\) такое, что \(M \leq A \leq M+5\), Р·Р° которым следует \(A\) строк, которые конструируют это решение Р·Р° \(A\) С…РѕРґРѕРІ. Каждая строка должна содержать описание источника Рё приемника жидкости (\(1\), \(2\), или \(3\) для стакана). Колба-источник должна быть непустой перед переливанием, Рё нельзя переливать РІ себя.
• If \(P=3\), Р’С‹ получите баллы, если выведите \(M\), Р·Р° которым следует правильная конструкция, использующая это количество С…РѕРґРѕРІ.

ПР�МЕР ВВОДА:

6
4 1
1221
2211
4 2
1221
2211
4 3
1221
2211
6 3
222222
111112
4 3
1121
1222
4 2
1121
1222

ПР�МЕР ВЫВОДА:

4
4
1 2
1 3
2 1
3 2
4
1 2
1 3
2 1
3 2
1
2 1
5
2 3
1 2
1 3
1 2
3 1
6
2 3
1 2
1 3
1 2
2 1
3 2

Вот как это делается

1: 1221
2: 2211
3: 

1: 122
2: 22111
3: 

1: 1
2: 22111
3: 22

1: 1111
2: 22
3: 22

1: 1111
2: 2222
3:

В последнем подтесте пминимальное количество переливаний - \(5\). Однако, поскольку \(P=2\), то данная конструкция с \(6\)-ю ходами корректна, посокльку она не более чем на \(5\) переливаний от оптимального ответа.

Автор: Suhas Nagar

Беси и Эльза играют с шариками так: Беси и Эльза начинают игру с некоторым количеством шариков. Беси берёт \(A\) шариков из своих, а Эльза должна угадать является ли число \(A\) чётным или нечётным. Если Эльза угадает, она забирает эти \(A\) шариков, если нет - она отдаёт \(A\) своих шариков Беси. Если у Эльзы нет \(A\) шариков - она проиграла. Игрок проиграл, если остался без шариков.

После нескольких этапов игры, у Эльзы осталось \(N\) \((1 \leq N \leq 10^9)\) шариков. Она думает, что ей тяжело выиграть, она играет, чтобы не проиграть. Она хорошо изучила привычки Беси и заметила, что на \(i\)-ом ходу есть только \(K\) \((1 \leq K \leq 4)\) различных количеств шариков, которые может предложить Беси. Проходит всего только \(M\) \((1 \leq M \leq 3 \cdot 10^5)\) ходов прежде, чем Беси надоест, и она перестанет играть. Можете ли Вы определить лексикографически минимальную последовательность ходов такую, чтобы Эльза не проиграла вне зависимости от ходов Беси.

Беси готовит тесты для олимпиады. Каждую минуту она может выбрать не готовить никакие тесты для экономии энергии или потратить \(3^{a-1}\) энергии для подготовки \(a\) тестов для некоторого положительного целого \(a\).

У Фермера Джона есть \(D\) (\(1\le D\le 2\cdot 10^5\)) требований. Для \(i\)-го требования он говорит Беси, что в течение первых \(m_i\) минут она должна приготовить не менее чем \(b_i\) тестов (\(1\le m_i\le 10^6, 1 \leq b_i \leq 10^{12}\)).

Пусть \(e_i\) - минимальное количество энергии, которое необходимо Беси, чтобы удовлетворить первые \(i\) требований. Выведите \(e_1,\dots,e_D\) по модулю \(10^9+7\).