Экзамены и диагностики

На числовой прямой дан отрезок \(A=[2;30]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 6, отличных от 1 и самого числа 6; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x\cdot y \gt A) \lor (x \gt y) \lor (1000 \gt x) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x\cdot y \gt A) \lor (x \gt y) \lor (11 \gt x) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наименьшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x \lt A) \land (y \lt 2A) \lor (3x + y \gt 20001) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наименьшего натурального числа \( A \) выражение

\( \big((x \lt A) \land (y \lt 2A)\big) \lor (3x + y \gt 90) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой даны два отрезка: \( P = [2000; 5500] \) и \( Q = [3500; 8000] \). Укажите наименьшую возможную длину отрезка \( A \), при которой выражение

\( (x\in P) \to \big((x\in Q)\land \neg(x\in A) \to \neg(x\in P)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой даны два отрезка: \( P = [20; 55] \) и \( Q = [35; 80] \). Укажите наименьшую возможную длину отрезка \( A \), при которой выражение

\( (x\in P) \to \big(((x\in Q)\land \neg(x\in A)) \to \neg(x\in P)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [7; 26] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 77, отличных от 1 и самого числа 77; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [3; 60] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 177, отличных от 1 и самого числа 177; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Элементами множеств \( A \), \( P \) и \( Q \) являются натуральные числа. Множество \( P \) — это все натуральные делители числа 360, множество \( Q \) — все натуральные делители числа 540.

Известно, что выражение

\( \big((x\in A)\to(x\in P)\big) \land \big(\neg(x\in Q)\to\neg(x\in A)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \). Определите наибольшее возможное количество элементов множества \( A \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [3; 48] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 10, отличных от 1 и самого числа 10; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

На числовой прямой дан отрезок \( A = [2; 70] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 134, отличных от 1 и самого числа 134; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (4x + 5y \neq 18000) \lor (x \gt A) \lor (y \gt A) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (5x + 4y \neq 200) \lor (x \gt A) \lor (y \gt A) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \mathrm{ДЕЛ}(x, 2048) \to \big(\neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, 1280)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \mathrm{ДЕЛ}(x, 512) \to \big(\neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg\,\mathrm{ДЕЛ}(x, 144)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( \mathrm{ДЕЛ}(n, m) \) утверждение «натуральное число \( n \) делится без остатка на натуральное число \( m \)».

Найдите наибольшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( \big(\mathrm{ДЕЛ}(x, 24) \land \mathrm{ДЕЛ}(x, 36)\big) \to \mathrm{ДЕЛ}(x, A) \)

тождественно истинно (принимает значение 1) при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( x \mathbin{\&} y \) поразрядную конъюнкцию (логическое «И») неотрицательных целых чисел \( x \) и \( y \). Например, \( 14 \mathbin{\&} 5 = 4 \).

Найдите наименьшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( (x \mathbin{\&} 1048580 \neq 0) \to \big((x \mathbin{\&} 5 = 0) \to (x \mathbin{\&} A \neq 0)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \). Здесь \( 1048580 = 2^{20} + 2^{2} \).

В ответе укажите одно целое число.

Обозначим через \( x \mathbin{\&} y \) поразрядную конъюнкцию (логическое «И») неотрицательных целых чисел \( x \) и \( y \). Например, \( 14 \mathbin{\&} 5 = 4 \).

Найдите наименьшее натуральное число \( A \), при котором выражение

\( (x \mathbin{\&} 20 \neq 0) \to \big((x \mathbin{\&} 5 = 0) \to (x \mathbin{\&} A \neq 0)\big) \)

тождественно истинно при любом натуральном \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

Миша заполнял таблицу истинности логической функции F

\((\neg x \wedge \neg y) \vee (y \equiv z) \vee \neg w\),

но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Впишите строчные буквы w, x, y, z в ячейки первой строки таблицы.