Экзамены и диагностики

(Р. Сорокин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «@» означает любую последовательность нечетных цифр произвольной длины; в том числе «@» может задавать и пустую последовательность. — символ «?» означает одну любую цифру. Например, маске 1@9? соответствуют числа 190, 13591, 1753992. Найдите все натуральные числа, которые не превышают 10¹¹, соответствуют маске 78?56@321 и делятся на 279. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого число – частное от деления этого числа на 279.

(Р. Сорокин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «#» означает любую последовательность четных цифр произвольной длины; в том числе «#» может задавать и пустую последовательность. — символ «?» означает одну любую цифру. Например, маске 1#9? соответствуют числа 190, 146891. Найдите все натуральные числа, которые не превышают 10¹¹, соответствуют маске 123#45?67 и делятся на 257. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого число – частное от деления этого числа на 257.

(Р. Сорокин) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10⁶, кратные 3131, которые имеют ровно три делителя, соответствующих маске 2*5*. Количество делителей, не соответствующих данной маске, может быть любым. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого число – его наибольший делитель, соответствующий маске 2*5*.

(PRO100 ЕГЭ) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Среди натуральных чисел, не превышающих 10¹⁰, найдите все числа, соответствующие маске 9?979*8, делящиеся на 50068 без остатка и содержащие хотя бы одну цифру 0. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 50068.

(Д. Статный) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, соответствующие маске 6323*353?, делящиеся на 28 без остатка. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 28.

(А. Богданов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 1?1?1?1*1 и при этом без остатка делятся на 2023, а сумма цифр каждого числа равна 22. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 2023.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 19*105*9 и при этом без остатка делятся на 9601. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 9601.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 1*1298*6 и при этом без остатка делятся на 4329. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 4329.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 202*47*6 и при этом без остатка делятся на 9573. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 9573.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 12*135*9 и при этом без остатка делятся на 5321. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 5321.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 12?345*9 и при этом без остатка делятся на 7181. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого запишите частное от его деления на 7181.

(Н. Сафронов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие 10⁷, для которых выполняются одновременно все условия: 1) соответствуют маске *2?2*; 2) являются палиндромами; 3) делятся на число 53 без остатка; 4) количество делителей больше 30. В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, справа от каждого числа – сумму его делителей.

(А. Богданов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите девятизначные числа, отвечающие маске «1*1*1?», которые делятся на 19, 6 и 2023. В ответе запишите пять наибольших найденных чисел в порядке возрастания, справа от каждого числа запишите частное от его деления на 2023.

(Д. Муфаззалов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие число 20232, соответствующие маске 20*23, записи которых как минимум в двух системах счисления с натуральными основаниями в диапазоне [2; 36] являются палиндромами. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого числа — сумму оснований систем счисления из указанного диапазона, в которых запись этого числа является палиндромом.

(Д. Муфаззалов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие число 2023³, соответствующие маске *2*0, записи которых в системах счисления с основаниями 3 и 7 являются палиндромами. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого числа — сумму цифр в его записи в системе счисления с основанием 8.

*(Д. Муфаззалов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие число 10∙2023³, соответствующие маске *2??3*, записи которых в системах счисления с основаниями 3, 9 и 27 являются палиндромами. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого числа — сумму цифр в его записи в системе счисления с основанием 8.

(Д.Ф. Муфаззалов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие число 10∙2023³, соответствующие маске *2*02*3*, записи которых в системах счисления с основаниями 5 и 25 являются палиндромами. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого числа — сумму цифр в его записи в системе счисления с основанием 8.

(Д. Муфаззалов) Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: — символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; — символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300425. Найдите все натуральные числа, не превосходящие число 50∙2023³, соответствующие маске *2023*, записи которых в системах счисления с основаниями 2 и 8 являются палиндромами. В ответе запишите все найденные числа в порядке возрастания, а справа от каждого числа — сумму цифр в его записи в системе счисления с основанием 8.

(Д. Статный) Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, у которых первые две и последние две цифры одинаковые (как, например, у числа 1123411 – все четыре выделенные цифры одинаковые) и которые имеют ровно 117 делителей. Справа от каждого числа укажите его максимальный делитель, отличный от самого числа.

(Д. Статный) Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁹, найдите все числа, делящиеся на 2023, у которых первые 6 делителей, отличные от самого числа и единицы, попарно просты (не имеют общих делителей, кроме 1). В ответ укажите в порядке возрастания наименьшие 5 таких чисел, а также наибольшие 5 таких чисел. Справа от каждого числа укажите его максимальный делитель, отличный от самого числа.