Экзамены и диагностики

(PRO100-ЕГЭ) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с различными основаниями.

9A87x21₁₂ + 2x68₁₄ — 1x2F4₁₆

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 3. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 3 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

(М. Ишимов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 12.

591x8x8₁₂ + 522x1₁₂ + 8x6Ax₁₂ + 7x762₁₂

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 12-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(П. Финкель) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с различными основаниями:

5x9x4₁₂ + 7xx6₁₄ + 55xx8₁₆ — 3yx7₁₉

В записи чисел x и y обозначают неизвестные цифры из алфавита соответствующей системы счисления. Определите все пары цифр (x, y), при которых значение данного арифметического выражения является простым числом. В ответе запишите максимальное из произведений всех таких пар (x, y).

(В. Шубинкин) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основаниями 15 и 17.

131x1₁₅ + 13x3₁₇

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра, допустимая в данных системах счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

(А. Богданов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 18:

9009x₁₈ + 2257x₁₈

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 18-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 15. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 15 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

(А. Богданов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17:

9759x₁₇ + 3x108₁₇

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

(И. Карпачёв) На числовой прямой дан отрезок A = [4; 82]; B — множество всех натуральных делителей числа 211, отличных от единицы и от самого числа 211; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от единицы и от самого числа y (число y таково, что множество C непустое). Укажите значение y, имеющее максимальное количество делителей, для которого выражение:

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

(И. Карпачёв) На числовой прямой дан отрезок A = [6; 52]; B — множество всех натуральных делителей числа 153, отличных от единицы и от самого числа 153; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от единицы и от самого числа y (число y таково, что множество C непустое). Укажите наибольшее возможное значение числа y, для которого выражение:

тождественно ложно (т.е. принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

(И. Карпачёв) На числовой прямой дан отрезок A = [6; 46]; B — множество всех натуральных делителей числа 161, отличных от единицы и от самого числа 161; C — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа y, отличных от единицы и от самого числа y (число y таково, что множество C непустое). Укажите наибольшее возможное значение числа y, для которого выражение:

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

(Открытый вариант-2025) Обозначим через m \& n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 \& 5 = 1110₂\ \& 0101_2\ = 0100₂\ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А логическое выражение

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом неотрицательном целом значении переменной х?

(О. Лысенков) Для какого наименьшего натурального числа А выражение

не тождественно истинно, т.е. принимает значение 0 хотя бы при одном положительном значении переменной x.

(О. Лысенков) На числовой прямой даны два отрезка: A=[645; 1632] и B=[0; 700]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка T, для которого логическое выражение

тождественно ложно (т.е. принимает значение 0) при любом неотрицательном значении переменной x.

(О. Лысенков) Элементами множеств А, P, Q, R являются целые неотрицательные числа, причём P = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}, Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, R = {0, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}. Известно, что выражение

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном значении переменной x). Определите наименьшее возможное произведение элементов в множестве А.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных х и у?

На числовой прямой даны три отрезка: P = [53; 478], Q = [112; 760], R = [592; 974]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

(ЕГЭ-2024) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х?

(ЕГЭ-2024) На числовой прямой даны два отрезка: P = [15; 40] и Q = [21; 63]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х?

При каком наибольшем целом A найдутся такие целые неотрицательные x и y, при которых выражение

ложно?

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Например, 14 & 5 = 1110₂ & 0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном значении переменной х?

(О. Лысенков) В файле 17-442.txt содержится последовательность натуральных чисел, не превышающих 10 000. Определите количество четвёрок последовательности, в которых ровно два элемента больше максимального элемента последовательности, оканчивающегося на 37, и ровно один элемент оканчивается на 2 одинаковые цифры. В ответе запишите количество найденных четвёрок, а затем сумму только тех элементов найденных четвёрок, которые оканчиваются на 2 одинаковые цифры. В данной задаче под четвёркой подразумевается четыре идущих подряд элемента последовательности.