Экзамены и диагностики

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Кластеры имеют треугольную форму. Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-44a.txt и 27-44b.txt.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Кластеры имеют форму «рогалика». Аномалиями назовём точки, находящиеся на расстоянии более одной условной единицы от точек кластеров. При расчётах аномалии учитывать не нужно. Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-41a.txt и 27-41b.txt.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Кластеры имеют форму «рогалика». Аномалиями назовём точки, находящиеся на расстоянии более одной условной единицы от точек кластеров. При расчётах аномалии учитывать не нужно. Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-40a.txt и 27-40b.txt.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Кластеры имеют форму «рогалика». Аномалиями назовём точки, находящиеся на расстоянии более одной условной единицы от точек кластеров. При расчётах аномалии учитывать не нужно. Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-38a.txt и 27-38b.txt.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Кластеры имеют форму «рогалика». Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-36a.txt и 27-36b.txt.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Кластеры имеют форму «рогалика». Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-33a.txt и 27-33b.txt.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба... (см. условие задачи из демо-варианта 2025 года). Аномалиями назовём точки, находящиеся на расстоянии более одной условной единицы от точек кластеров. При расчётах аномалии учитывать не нужно.

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 100 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 100 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-29a.txt и 27-29b.txt.

(В. Ланская, Р. Ягафаров) В городе X тестируется проект по оптимизации размещения кранов на складах. Оптимальное местоположение для крана (или центроид) будет таким, при котором сумма расстояний Чебышева от этого места до всех других точек на складе была минимальной. Расстояние Чебышева между двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) вычисляется как максимум модулей разностей их координат: \(d(A, B) = max ( | x2 ‐ x1 |, | y2 ‐ y1 | ).\)

В файле A хранятся данные о двух складских комплексах (кластерах). Каждый комплекс имеет форму прямоугольника. Каждая строка файла содержит координаты одной точки на складе: сначала x, затем y. Количество точек в каждом комплексе не превышает 1000. В файле Б той же структуры хранятся данные о трёх кластерах, каждый из которых имеет вид прямоугольника размером H = 6 и W = 8. Количество точек в каждом комплексе не превышает 10 000.

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px ‐ среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py ‐ среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть абсолютного значения произведения Px × 10 000, затем целую часть абсолютного значения произведения Py × 10 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-25a.txt и 27-25b.txt.

(В. Ланская, Р. Ягафаров) Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба. Кластер звёзд – это набор звёзд (точек) на графике, лежащий внутри прямоугольника высотой H и шириной W. Каждая звезда обязательно принадлежит только одному из кластеров.
Истинный центр кластера, или центроид, – это одна из звёзд на графике, сумма расстояний от которой до всех остальных звёзд кластера минимальна. Под расстоянием понимается расстояние Евклида между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2) на плоскости, которое вычисляется по формуле:  \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

В файле A хранятся координаты точек двух кластеров,. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной точки: сначала координата x, затем координата y. Известно, что количество точек не превышает 1000.
В файле Б хранятся данные о звёздах четырех кластеров. Известно, что количество точек не превышает 10 000. Структура хранения информации в файле Б аналогична файлу А.
Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: Px – среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и Py – среднее арифметическое ординат центров кластеров.

В ответе запишите четыре числа:
в первой строке сначала целую часть произведения Px × 10 000, затем целую часть произведения Py × 10 000 для файла А, во второй строке – аналогичные данные для файла Б.
Значения в каждой строке разделяйте одним пробелом.

Исходные данные находятся в файлах 27-23a.txt и 27-23b.txt.

(В. Шубинкин) При проведении эксперимента заряженные частицы попадают на чувствительный экран размером 12 на 9 условных единиц. При попадании каждой частицы на экран в протоколе фиксируются координаты попадания в условных единицах. При анализе результатов выделяют кластеры ‐ группы точек на экране, в которые попали частицы. Размер каждого кластера ‐ не более W условных единиц в ширину и не более H условных единиц в высоту. Каждая точка принадлежит только одному кластеру. Минимальное (максимальное) расстояние между кластерами ‐ это минимальное (максимальное) расстояние между двумя точками, одна из которых принадлежит одному кластеру, а вторая ‐ другому. Расстояние между двумя точками A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂) вычисляется по формуле \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Аномалиями назовём точки, находящиеся на расстоянии более одной условной единицы от точек кластеров. Аномалии следует исключить при проведении расчётов.

В файле A хранятся данные о точках двух кластеров, где W=4, H=4 для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении одной точки: сначала координата x, затем координата y. Значения даны в условных единицах. Известно, что общее количество точек не превышает 1000.

В файле Б, который имеет ту же структуру, что и файл А, хранятся данные о точках трёх кластеров, где W=3, H=3 для каждого кластера. Известно, что общее количество точек не превышает 10 000.

Для каждого файла определите минимальное d_min и максимальное d_max расстояния между двумя кластерами. В ответ запишите 4 числа: в первой строке целую часть абсолютного значения произведения d_min × 10 000, затем целую часть абсолютного значения произведения d_max × 10 000 для файла А, во второй строке ‐ аналогичные данные для файла Б.

Исходные данные находятся в файлах 27-21a.txt и 27-21b.txt.

(Демо-2025) Во время сессии студенты сдают 4 экзамена, за каждый из которых можно получить отметку от 2 до 5 баллов. Студенты, получившие хотя бы одну «двойку», считаются не сдавшими сессию. Результаты сессии публикуются в виде рейтингового списка, в котором сначала указаны идентификационные номера студентов (ID), сдавших сессию, в порядке убывания среднего балла за сессию, а в случае равенства средних баллов -- в порядке возрастания ID. Затем располагаются ID студентов, не сдавших сессию: сначала -- получивших одну «двойку», затем -- две «двойки», потом ID студентов с тремя «двойками» и, наконец, ID студентов, получивших по 2 балла за каждый из экзаменов. Если студенты имеют одинаковое количество «двоек», то их ID в рейтинге располагаются в порядке возрастания. Повышенную стипендию получают студенты, занявшие в рейтинговом списке первые 25% мест, при условии отсутствия у них «двоек». Гарантируется, что без «двоек» сессию сдали не менее 25% студентов. Найдите ID студента, который занимает последнее место среди студентов с повышенной стипендией, а также ID первого в рейтинговом списке студента, который имеет более двух «двоек».

Входные данные представлены в файле 26-154.txt следующим образом. В первой строке входного файла находится число N, обозначающее количество студентов (целое положительное число, не превышающее 10 000). Каждая из следующих N строк содержит 5 чисел через пробел:

ID студента (целое положительное число, не превышающее 100 000) и четыре оценки, полученные им за сессию. Гарантируется, что общее число студентов N кратно 4 и хотя бы один студент имеет более двух «двоек». Во входном файле все ID различны.

Запишите в ответе два целых положительных числа: сначала ID студента, который занимает последнее место среди студентов с повышенной стипендией, затем ID первого в рейтинговом списке студента, который имеет более двух «двоек».

Пример входного файла:

8
4 4 4 4 4
7 5 5 5 2
10 3 4 4 5
1 4 4 4 3
6 3 5 5 3
2 2 2 2 2
13 2 2 2 3
3 3 3 3 3

При таких исходных данных рейтинговый список ID имеет вид: 4 6 10 1 3 7 13 2. Ответ: 6 13.

(Р. Сорокин) В период, когда действовали ограничения, направленные на предотвращение распространения новой инфекции, при продаже мест в кинотеатрах оставляли по одному свободному месту между зрителями. Места, расположенные рядом, можно было купить только одновременно, т.е. одна семья (или компания друзей) могла сидеть вместе при одновременной покупке билетов.

Известно, что кинозал имеет N рядов по M мест в каждом. Места и ряды нумеруются по порядку, начиная с единицы. Известно, что K мест уже выкуплены (заняты). По приведенным данным о уже занятых местах требуется определить

а) какое наибольшее количество мест сможет продать кинотеатр при условии соблюдения ограничений;

б) в каком ряду количество мест, которое сможет продать кинотеатр, будет наибольшим. Если таких рядов несколько, требуется указать наименьший номер ряда.

Входные данные представлены в файле 26-106.txt следующим образом. В первой строке файла через пробел записаны три натуральных числа: N -- количество рядов в кинотеатре (1 ≤ N ≤ 10 000), M -- количество мест в ряду (1 ≤ M ≤ 10 000), K -- количество занятых мест (1 ≤ K ≤ 10 000). Далее в файле записаны K строк, по два числа в каждой. Первое число в паре означает номер ряда, второе -- номер занятого места в этом ряду.

Пример входного файла:

3 10 4
1 3
1 4
1 7
2 5

Наибольшее количество мест удастся продать, если билеты будут покупать большие компании людей, тогда их можно будет посадить рядом.

---------------------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 1

2

3 ----------------------------------------------------------------------------

Для наглядности на рисунке серым цветом обозначены уже занятые места, желтым цветом -- места, билеты на которые удастся продать в наиболее благоприятном случае. Максимальное количество проданных билетов для приведенного примера будет равно 20. Номер ряда, где удастся продать максимальное количество билетов -- 3. Ответ: 20 3.

На складе требуется разместить N контейнеров различного размера, каждый из которых имеет форму куба. Контейнеры имеют разные цвета, которые обозначаются латинскими буквами. Чтобы сэкономить место, контейнеры вкладывают друг в друга. Один контейнер можно вложить в другой, если а) размер стороны внешнего контейнера превышает размер стороны внутреннего на K и более условных единиц и б) цвета внешнего и внутреннего контейнеров различны. Группу вложенных друг в друга контейнеров называют блоком. Количество контейнеров в блоке может быть любым. Каждый блок, независимо от количества и размера входящих в него контейнеров, а также каждый одиночный контейнер, не входящий в блоки, занимает при хранении одну складскую ячейку. Блоки составляют следующим образом. Сначала выбирают наибольший контейнер. Затем вкладывают в него наибольший подходящий контейнер. Если таких контейнеров несколько, выбирают контейнер с наименьшим кодом цвета. Этот алгоритм повторяется, пока есть подходящие контейнеры. Затем так же составляется следующий блок и т. д.

Определите количество ячеек, которые потребуются для хранения всех контейнеров, и максимальное количество контейнеров в одном блоке.

Входные данные представлены в файле 26-102.txt следующим образом. В первой строке входного файла записано число N -- количество контейнеров (натуральное число, не превышающее 20 000) и число K (1 ≤ K ≤ 1000) -- наименьшая допустимая разница размеров вложенных соседних контейнеров. Каждая из следующих N строк содержит натуральное число, не превышающее 10000 -- длину стороны очередного контейнера, и латинскую букву, обозначающую цвет этого контейнера.

Пример входного файла:

7 5
2 A
18 B
47 A
16 B
38 A
55 A
48 B

Для такого набора контейнеров можно составить два блока, удовлетворяющих условию: (55, 48, 38, 18, 2), (47, 16). Наибольшее количество контейнеров -- в первом блоке -- 5. Ответ: 2 5.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

17⋅125⁴⁵³ + 117⋅5²³¹ − 3⋅5¹³ − 2357

записали в системе счисления с основанием 125. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не превышает 37.

Значение арифметического выражения 4²¹⁰ + 4¹¹⁰ — x, где x — целое положительное число, не превышающее 3000, записали в четверичной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором в четверичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится наибольшее количество нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

3⋅4²³³ + 2⋅8¹⁰ + 321 − x,

где x — натуральное число, записали в системе счисления с основанием 8. Найдите значение x, при котором значение выражения положительно и сумма значений цифр в этой записи наибольшая.

В системе счисления с основанием p выполняется равенство

y07x + wy9z = zxyxy .

Буквами x, y, z и w обозначены некоторые цифры из алфавита системы счисления с основанием p, все эти цифры различные. Определите наименьшее возможное значение p и вычислите xyzw_p; запишите в ответе десятичное значение этого числа.

(К. Багдасарян) Значение арифметического выражения 7⁴⁰⁰ + 7³⁰⁰ — х, где х — натуральное число, не превышающее 7⁴⁰⁰, записали в системе счисления с основанием 7. Определите наибольшее количество нулей, которое может содержать семиричная запись значения данного арифметического выражения.

(Демо-2025) Значение арифметического выражения

3 · 3125⁸ + 2 · 625⁷ — 4 · 625⁶ + 3 · 125⁵ — 5 · 25⁴ — 2025

записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

(ЕГЭ-2024) Значение арифметического выражения 6²⁰³⁰ + 6¹⁰⁰ — х, где х — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 6-ричной системе счисления. Определите наибольшее количество нулей, которое может содержать число, являющееся 6-ричной записью значения данного арифметического выражения.