Статья Автор: Лебедев Дмитрий Алексеевич

КЕГЭ-6 А так даже интереснее!

Рассмотрим задание с Черепашкой, рисующей треугольник. Возможно оно будет иметь следующую формулировку (простой вариант)
Повтори 120 [Вперед 100 Направо 120]
С вопросом:

Определите количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри образованной фигуры

Несложно понять/нарисовать что это фигура равносторонний треугольник. Вроде можно нарисовать сетку/точки и их считать.
Но сторона 100 ?! Сложно не ошибиться/не хочется/ глупо

«Как быть, вот в чём вопрос»

import turtle 
tt = turtle.Pen()
tt.speed(0)
m = 3
for n in range(120):
  tt.forward(100*m); tt.right(120)
turtle.done()

Можно сократить число повторов до трех и занисать значени координат вершин (без умножения)

import turtle 
tt = turtle.Pen()
tt.speed(10)
m, r = 1, 100
A = (0,0)
tt.forward(r*m); tt.right(120)
B = tt.pos()
tt.forward(r*m); tt.right(120)
C = tt.pos()
tt.forward(r*m); tt.right(120)
turtle.done()
print(A, B, C)

В Python есть тип complex (комплексные числа) в котором легко получить полярные координаты, а значит принадлежность точки углу
Вначале преобразуем вершины в тип complex и выведем полярные координаты вершин

import turtle
import cmath as cm
tt = turtle.Pen()
tt.speed(10)
m, r = 10, 10
A = complex(0,0)
tt.forward(r*m); tt.right(120)
B = complex(*tt.pos())
tt.forward(r*m); tt.right(120)
C = complex(*tt.pos())
tt.forward(r*m); tt.right(120)
turtle.done()
ab, ac = cm.polar(B), cm.polar(C) # это b, c относительно A
ba, bc = cm.polar(A-B), cm.polar(C-B) # это a, c относительно B

print(A, B, C)
print(ab, ac)
print(ba, bc)

Зачем это все???
Пусть P - некоторая точка. P принадлежит треугольнику тогда и только тогда, когда она принадлежит углу A и углу B
(треугольник, также как и четырехугольник - это пересечение двух углов/противоположныз)
Значить фаза (полярный угол) точки P относительно А лежит между фазами B и С и аналогично для центра в B

import turtle
import cmath as cm
tt = turtle.Pen()
tt.speed(0)
tt.up()
m, r = 5, 100
A = complex(0,0)
tt.forward(r); tt.right(120)
B = complex(*tt.pos())
tt.forward(r); tt.right(120)
C = complex(*tt.pos())
tt.forward(r); tt.right(120)

tt.down()
for i in range(3) : tt.forward(r*m); tt.right(120)


ab, ac = cm.polar(B), cm.polar(C) # это b, c относительно A
ca, cb = cm.polar(A-C), cm.polar(B-C) # это a, c относительно B
print(A, B, C)
print(ab, ac)
print(ca, cb)
k = 0
xy = set()
for x in range(0, r+1):
  for y in range(-r, 1):
    P = complex(x,y)
    ap = cm.polar(P)
    cp = cm.polar(P-C)
    if (ap[1] - ab[1])*(ap[1] - ac[1]) >= 0 : continue
    if (cp[1] - ca[1])*(cp[1] - cb[1]) >= 0 : continue
    tt.goto(x*m,y*m); tt.dot(1,'red')
    k +=1
    xy.add((x,y))
    #print(k, (x,y), ap, cp)
print(k)
turtle.done()

Печать