Черепашка-ниндзя. Часть 3. Операции с векторами

В 1 части была создана подпрограмма bobik
def bobik(scom, t=None, m = 10 ):
  # Для демонстрации есть упрощенный вызов по умолчанию
  if t == None : 
    t = turtle.Pen()
  for k in scom.split() : # пробег по командам
    if k == 'U' : t.up() #поднятие пера
    elif k == 'D' : t.down() #опускание пера
    elif k == 'L' : t.left(90) #налево стандарт
    elif k == 'R' : t.right(90)#направо стандарт
    elif k[0] == 'F' : t.forward(float(k[1:])*m) #вперед
    elif k[0] == 'L' : t.left(float(k[1:])) #налево на градус
    elif k[0] == 'R' : t.right(float(k[1:])) #направо на градус
  turtle.done() # показ рисунка    
Эта подпрограмма, с использованием f'-строк позволяет упрощать создание рисунков, в том числе на "клетчатой бумаге.
Попробуем добавить команды, позводяющие передвигать/смещать исполнителя на вектор (a, b)
Блок рисования сетки оформим в виде подпрограммы setka с параметрами (<размер клетки>, <ширина>,< высота>, < исполнитель>,)
 

Для решения задач с векторами надо создать ряд подпрограмм, реализующий некоторые операции с векторами/числами.
Какие операции есть с двумерными векторами/числами?

• сложение \((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \) - результат вектор
• умножение на скаляр \(k\cdot(x, y) = (k\cdot x, k\cdot y) \) - результат вектор
• умножение векторов, со скалярным результатом 
  • скалярное произведение \(((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = x_1 \cdot x_2 + y_1\cdot y_2 \) 
  • векторное/косое произведение \([(x_1, y_1), (x_2, y_2)] = x_1 \cdot y_2 - y_1\cdot x_2 \)
• умножение векторов, с векторным результатом 
  • комплексное произведение \((x_1, y_1)\cdot (x_2, y_2) =(x_1 \cdot x_2 - y_1\cdot y_2, x_1 \cdot y_2 + y_1\cdot x_2) \) 
• получение сопряженного вектрора \(\overline{(x,y)} = (x, -y)\)

Эти операции позловяют получать интересные результаты в геометрии. 
Нетрудно проверить, что для сложения и комплексного умножения выполняются все основные свойства чисел и что числа вида \((r, 0)\) обладают все свойствами действительных чисел.
Поэтому числа вида  \((r, 0)\) будем называть вещественными (или вещественным подмножеством), а все числа \((x,y)\) -комплексными, где x - вещественная часть, а y - мнимая часть
Для работы с комплексными числами в Python существует специальный тип complex(), который поддерживает некоторые арифметические операции и операции сравнения равно, не равно.
Также есть модуль cmath позволяющий производить вычисления над комплексными числами.
Мы попробуем хранить точки/вектора в формате комплексного числа, чтобы более просто выполнять рисование и преобразования на плоскости.
 

Пример.
Пусть есть три точки \(A = (4,3), B =(-3,4), С =(0, 5)\) 
Зададим их как комплексные числа, найдем вектора сторон и их длины
 

Модифицируем программу для рисования, чтобы использовать точки/вектора в формате комплексных чисел.
Для этого воспользуемся "извлечением" из числа вещественной части (real) и мнимой части (imag).
Изменения достаточно ввести только для команд G и V. Код программы даже станет проще.

Найдем "решение треугольника", то есть определим основания медиан, биссектрис, высот и точек их пересечения.
Пусть координаты вершин заданы числами \(A, B, C.\) Векотора сторон можно определить как числа \(a = C - B;\ b = A - C;\ c = B- A \) 
1) Нахождение оснований медиан и "центроида" (точки пересечения медиан)