Статья Автор: Лебедев Дмитрий Алексеевич

Построение сечения куба по трем точкам на гранях. Метод следа

Пусть дан куб \(ABCDDA_1B_1C_1D_1\)
\(Постройте\ сечение\ куба\ плоскостью\ EFG, \ где:\\E\in\overline{A_1B}\, |\overline{A_1E}|:|\overline{EB_1}|= 1:3\\ \\F \in\overline{AD_1}\, |\overline{AF}|:|\overline{FD_1}|= 2:3\\ \\G \in\overline{DC_1}\, |\overline{DG}|:|\overline{GC_1}|= 1:1 \)

Построение куба, определение точек EFG

import turtle as tr

tt = tr.Pen()
tt.speed(10)
# заполняем словарь вершин куба, рисуем куб и подписываем вершины
my_kub = kub_zap(200,(-1,-1,-1)) # параметры - масштаб, смещение 
# рисуем куб с помощью подпрограммы обхода
my_lines(['A','A1','D1','D','A'], my_kub,tt,4) # список имен вершин, словарь вершин, черепашка, параметр рисования (ПС)
my_lines(['A1','B1','C1','D1'], my_kub,tt,4) # ПС - четный: сплошная; нечётный: штрих; значение размер финального круга
my_lines(['D','C','C1'], my_kub,tt,4)
my_lines(['A','B','B1'], my_kub,tt,5)
my_lines(['B','C'], my_kub,tt,5)
for dot in my_kub: # подписываем вершины
    tt.up(); tt.goto(my_kub[dot]); tt.write(dot,font=('Arial', 22, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
# рисуем точки условия и диагонали
tt.color('blue') 
my_lines(['B','A1'], my_kub,tt,1)
my_lines(['A','D1'], my_kub,tt,0)
my_lines(['D','C1'], my_kub,tt,0)
E= dot_otnoshenie(my_kub['A1'],my_kub['B'],(1,3)) # получение точки перерез отношение
tt.up(); tt.goto(E);tt.dot(5,'blue'); tt.write('E',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
F= dot_otnoshenie(my_kub['A'],my_kub['D1'],(2,3))
tt.up(); tt.goto(F);tt.dot(5,'blue'); tt.write('F',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
G= dot_otnoshenie(my_kub['D'],my_kub['C1'],(1,1))
tt.up(); tt.goto(G);tt.dot(5,'blue'); tt.write('G',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
tt.hideturtle()      
tr.done()

Решение задание проведем без использования свойст заданных точек, применив "стандартный" метод следа:

пару точек проецируем на плоскость
находим пересечение прямой со "следом" (прямой из проекций)
точка пересечения принадлежит проецируемой плоскости

Точки \(E, F, G \) будем рассматривать как точки на гранях.
Начинаем построение

построим \(E_1 = E +\overrightarrow{A_1A}\ ;\ \ \ \ F_1 =F +\overrightarrow{A_1A};\ \ \ \ G_1 =G +\overrightarrow{A_1A}\)
найдем точки пересечения \(E_2 = \overline{EE_1}\bigotimes \overline{AB}\;\ \ \ F_2 = \overline{FF_1}\bigotimes \overline{AD}\)
рисуем прямые \(EF, E_2F_2, FG, F_2G_2\ до\ пересечений\)
найдем точки пересечения \(P_1 = \overline{EF}\bigotimes \overline{E_2F_2};\ \ \ P_2 = \overline{GF}\bigotimes\overline{F_2G_2}\)
это точки на плоскости \(ABCD\)

Выполняем указанные построения. Оставим (для показа) только нужную часть

# Добавляем E1, F1 рисуем, опреляем точки следа на AB, AD
E1 = (E[0] + my_kub['A'][0] - my_kub['A1'][0],E[1] + my_kub['A'][1] - my_kub['A1'][1])
my_line(E,E1,tt,5)
F1 = (F[0] + my_kub['A'][0] - my_kub['A1'][0],F[1] + my_kub['A'][1] - my_kub['A1'][1])
my_line(F,F1,tt,5)
G1 = (G[0] + my_kub['A'][0] - my_kub['A1'][0],G[1] + my_kub['A'][1] - my_kub['A1'][1])
my_line(G,G1,tt,5)
E2 = xline(E,E1,my_kub['A'],my_kub['B'])
F2 = xline(F,F1,my_kub['A'],my_kub['D'])
G2 = xline(G,G1,my_kub['C'],my_kub['D'])

tt.up(); tt.goto(E2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('E2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
tt.up(); tt.goto(F2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('F2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
tt.up(); tt.goto(G2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('G2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
P1 = xline(E,F,E2,F2)
P2 = xline(F,G,F2,G2)
tt.color('gray')
my_line(E2,P1,tt,5); my_line(E,P1,tt,5)
my_line(G2,P2,tt,5); my_line(G,P2,tt,5)
tt.up(); tt.goto(P1);tt.dot(5,'blue'); tt.write('P1',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
tt.up(); tt.goto(P2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('P2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')



tt.hideturtle() 
tr.done()

Проводим прямую \(P_1P_2 \) и находим точки пересечения с прямыми \(AB, AD, CD\)

my_line(P2,P0,tt,1)
A0 = xline(P2,P1,my_kub['B'],my_kub['A'])
my_line(my_kub['B'],A0,tt,5)
tt.up(); tt.goto(A0);tt.dot(5,'blue'); tt.write('A0',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
D0 = xline(P2,P1,my_kub['A'],my_kub['D'])
my_line(my_kub['A'],D0,tt,5)
tt.up(); tt.goto(D0);tt.dot(5,'blue'); tt.write('D0',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
S1 = xline(A0,E,my_kub['A'],my_kub['A1'])
S2 = xline(A0,E,my_kub['B'],my_kub['B1'])
S4 = xline(D0,F,my_kub['D'],my_kub['D1'])
my_line(A0,S2,tt,5)
my_line(D0,S1,tt,5)
tt.up(); tt.goto(S1);tt.dot(5,'red'); tt.write('S1',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.up(); tt.goto(S2);tt.dot(5,'red'); tt.write('S2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.up(); tt.goto(S4);tt.dot(5,'red'); tt.write('S4',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')









tt.hideturtle() 
tr.done()

import turtle as tr
def xline(A,B,C,D):
    a1,b1 = B[1] - A[1], A[0] - B[0]
    a2,b2 = D[1] - C[1], C[0] - D[0]
    d = a1*b2 - a2*b1
    if d == 0 : return None
    c1 = -(a1*A[0] + b1*A[1])
    c2 = -(a2*C[0] + b2*C[1])
    y = (a2*c1 - a1*c2) / d
    x = (b1*c2 - b2*c1) / d
    return (x,y)
def tran(d): # перевод в изометрию по векторам ex, ey, ez
    ex = (1, 0)
    ey = (0, 1)
    ez = (1/6,1/3)
    x = d[0] * ex[0] + d[1] * ey[0] + d[2] * ez[0]
    y = d[0] * ex[1] + d[1] * ey[1] + d[2] * ez[1]
    return (x,y)
def kub_zap(m,sdwig = (0,0,0)):
    #программа получения и заполнения словаря точек куба в словарь kub, с масштабом m и сдвигом начала координат
    kub = { 'A': (0, 0, 0), 'B' : (0,0,1),'C': (1,0,1),'D' : (1,0,0)}
    kub.update({ 'A1': (0, 1, 0), 'B1' : (0,1,1),'C1': (1,1,1),'D1' : (1,1,0)})
    for dot in kub :
        kub[dot] = tran(((kub[dot][0]+sdwig[0])*m,(kub[dot][1]+sdwig[1])*m,(kub[dot][2]+sdwig[2])*m))
    return kub    
def my_line (A,B,t,r=0): 
  # рисование  отрезка AB черепашкой t, c параметром r 
  # r = размер точки в точке B, r%2 - определяет сплошная или нет
  t.up(); t.goto(A);
  if r% 2 == 0 : 
    t.down(); t.goto(B); t.dot(r); return
  N = int((abs(B[0]-A[0]) + abs(B[1]-A[1])))//16 * 2 + 1
  for i in range(1, N + 1):
    if i % 2 == 1 :  t.down() # опускаем перо
    nm = [i, N-i] # пример отношения
    C = dot_otnoshenie(A, B, nm)
    t.goto(C);
    t.up()
  t.dot(r-1)
  return
def dot_otnoshenie(A,B,K):
    # нахождение точки разбиения отрезка AB в отношении K[0] : K[1], считая от точки A  
    x = (A[0]*K[1]+B[0]*K[0])/(K[0]+K[1])
    y = (A[1]*K[1]+B[1]*K[0])/(K[0]+K[1])
    return (x, y)  
def my_lines(D,k,t,r=0):
    for i in range(1,len(D)) :
      #A, B = tran(k[D[i-1]]), tran(k[D[i]])
      A, B = k[D[i-1]], k[D[i]]
      my_line(A,B,t,r)
  
tt = tr.Pen()
tt.speed(10)
# заполняем словарь вершин куба, рисуем куб и подписываем вершины
my_kub = kub_zap(160,(0.750, 0., 0.))
my_lines(['A','A1','D1','D','A'], my_kub,tt,4)
my_lines(['A1','B1','C1','D1'], my_kub,tt,4)
my_lines(['D','C','C1'], my_kub,tt,4)
my_lines(['A','B','B1'], my_kub,tt,5)
my_lines(['B','C'], my_kub,tt,5)
E= dot_otnoshenie(my_kub['A1'],my_kub['B'],(1,3))
tt.up(); tt.goto(E);tt.dot(5,'blue'); tt.write('E',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
F= dot_otnoshenie(my_kub['A'],my_kub['D1'],(2,3))
tt.up(); tt.goto(F);tt.dot(5,'blue'); tt.write('F',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
G= dot_otnoshenie(my_kub['D'],my_kub['C1'],(1,1))
tt.up(); tt.goto(G);tt.dot(5,'blue'); tt.write('G',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
# Добавляем E1, F1 рисуем, опреляем точки следа на AB, AD
E1 = (E[0] + my_kub['A'][0] - my_kub['A1'][0],E[1] + my_kub['A'][1] - my_kub['A1'][1])
F1 = (F[0] + my_kub['A'][0] - my_kub['A1'][0],F[1] + my_kub['A'][1] - my_kub['A1'][1])
G1 = (G[0] + my_kub['A'][0] - my_kub['A1'][0],G[1] + my_kub['A'][1] - my_kub['A1'][1])
E2 = xline(E,E1,my_kub['A'],my_kub['B'])
F2 = xline(F,F1,my_kub['A'],my_kub['D'])
G2 = xline(G,G1,my_kub['C'],my_kub['D'])
my_line(E,E2,tt,5)
my_line(F,F2,tt,5)
my_line(G,G2,tt,5)
#tt.up(); tt.goto(E2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('E2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
#tt.up(); tt.goto(F2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('F2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
#tt.up(); tt.goto(G2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('G2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
P1 = xline(E,F,E2,F2)
P2 = xline(F,G,F2,G2)
P0 = xline(P2,P1,my_kub['B'],my_kub['C'])
tt.color('gray')
my_line(E2,P1,tt,5); my_line(E,P1,tt,5)
my_line(G2,P2,tt,5); my_line(G,P2,tt,5)
tt.up(); tt.goto(P1);tt.dot(5,'blue'); tt.write('P1',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
tt.up(); tt.goto(P2);tt.dot(5,'blue'); tt.write('P2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
my_line(P2,P0,tt,1)
A0 = xline(P2,P1,my_kub['B'],my_kub['A'])
my_line(my_kub['B'],A0,tt,5)
tt.up(); tt.goto(A0);tt.dot(5,'blue'); tt.write('A0',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
D0 = xline(P2,P1,my_kub['A'],my_kub['D'])
my_line(my_kub['A'],D0,tt,5)
tt.up(); tt.goto(D0);tt.dot(5,'blue'); tt.write('D0',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'blue')
S1 = xline(A0,E,my_kub['A'],my_kub['A1'])
S2 = xline(A0,E,my_kub['B'],my_kub['B1'])
S4 = xline(D0,F,my_kub['D'],my_kub['D1'])
my_line(A0,S2,tt,5)
my_line(D0,S1,tt,5)
tt.up(); tt.goto(S1);tt.dot(5,'red'); tt.write('S1',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.up(); tt.goto(S2);tt.dot(5,'red'); tt.write('S2',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.up(); tt.goto(S4);tt.dot(5,'red'); tt.write('S4',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
S3 = xline(S4,G,my_kub['C'],my_kub['C1'])
my_line(S4,S3,tt,5)
my_line(S3,S2,tt,5)
S5 = xline(S1,S2,my_kub['A1'],my_kub['B1'])
S6 = xline(S2,S3,my_kub['B1'],my_kub['C1'])
tt.up(); tt.goto(S3);tt.dot(5,'red'); tt.write('S3',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.up(); tt.goto(S5);tt.dot(5,'red'); tt.write('S5',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.up(); tt.goto(S6);tt.dot(5,'red'); tt.write('S6',font=('Arial', 12, 'bold'),align='rigth', color = 'red')
tt.color('red'); tt.width(3)
my_line(S1,S5,tt,1)
my_line(S5,S6,tt,0)
my_line(S6,S3,tt,1)
my_line(S3,S4,tt,0)
my_line(S4,S1,tt,0)















tt.hideturtle() 
tr.done()

Печать