Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Конспект _Математические игры. Симметрия


Комби-7 Математические игры. Симметрия. Часть 1. Определения 

Мы будем рассматривать игры, удовлетворяющие следующим условиям:

  • они заканчиваются за конечное количество ходов, то есть не могут длиться бесконечно;
  • в них участвуют два игрока;
  • в них нет ничьих;
  • в них нет никаких случайностей: подбрасываний кубиков, монетки и т. п.; каждый ход определяется правилами и стратегиями игроков.

Задача. На столе лежат две стопки монет, в каждой по две монеты. За один ход разрешается убрать со стола любое натуральное число монет, лежащих в одной стопке. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Комби-7 Математические игры. Симметрия. Часть 2. Примеры

Задача. На столе лежат две стопки монет, в каждой по 40 монет. За один ход разрешается убрать со стола любое натуральное число монет, лежащих в одной стопке. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Задача. Есть прямоугольная шоколадка, разбитая на дольки прямоугольной сеткой 7 долек на 8 долек. Двое по очереди делают прямолинейный разлом по бороздке в одном из получившихся кусков. Проигрывает тот, после чьего хода впервые получился кусок из одной дольки. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача. На доске 7×7 в каждой клетке лежит по шашке. За один ход разрешается выбрать несколько подряд идущих шашек (одну или больше) и удалить с доски. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?

Комби-7 Математические игры. Симметрия. Часть 3. Ещё пример

Задача. Есть прямоугольная шоколадка, разбитая на дольки — 7 долек на 8 долек. Двое по очереди делают разлом по бороздкам в одном из получившихся кусков. Выигрывает тот, после чьего хода впервые получилась единичная долька. Кто выигрывает при правильной игре?

Комби-7 Математические игры. Симметрия. Часть 4. Игры - шутки

Некоторые игры заканчиваются одним и тем же результатом вне зависимости от действий игроков. Такие игры называются играми-шутками.

Задача. Есть куча из 6 камней. За один ход можно одну из куч, в которой есть хотя бы два камня, разделить на две меньших кучи. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?

Задачи для тренировки

1) 7_16_1 Задача про две стопки монет

  
2)  7_16_2 Дана белая клетчатая доска 8×8  
3) 7_16_3 Задача про четыре стопки монет  
4) 7_16_4 Задача про три стопки монет  
5) 7_16_5 На столе лежат две стопки монет  
6) 7_16_6 У ромашки 11 лепестков  
7) 7_16_7 Дана шоколадка 8×8  
8) 7_16_8 Какое наибольшее число ходов   
9) 7_16_9 Есть прямоугольная шоколадка  
10) 7_16_10 На доске написаны числа 13 и 8  

Задачи с разбором

Разбор 1 "Задача про игру с шахматными конями"
Задача 1. Двое по очереди выставляют коней на шахматную доску так, чтобы они не били ранее выставленных. Проигрывает тот, кто не может сходить. Кто выигрывает при правильной игре?  
Разбор 2 "Задача про 20-угольник"
Задача 2. На доске нарисован правильный 20-угольник. Двое по очереди проводят диагонали так, чтобы они не имели общих внутренних точек с уже проведёнными (общие вершины у диагоналей могут быть). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?  
Разбор 3a "Задача про игру с шахматными королями на доске 9*9"
Задача 3а. Двое играют в следующую игру. Они по очереди выставляют на доску 9×9 королей: первый — белых, второй — чёрных. Нельзя ставить короля под бой королей другого цвета. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?  
Разбор 3b "Задача про игру с шахматными королями на доске 8*8"
Задача 3а. Двое играют в следующую игру. Они по очереди выставляют на доску 8×8 королей: первый — белых, второй — чёрных. Нельзя ставить короля под бой королей другого цвета. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?  
Разбор 4 "Задача про игру с раскраской клеток"

Задача 4. Два игрока играют на доске 8×8. Первоначально все клетки доски белые. За один ход игрок может:

  • покрасить белую клетку в чёрный цвет;
  • если в каком-либо столбце или строке белых клеток больше, чем чёрных, то все клетки того столбца или строки можно перекрасить в противоположный цвет.

Игрок, после хода которого вся доска станет чёрной, выигрывает. Кто победит при правильной игре?

  
Разбор 5 "Задача про игру с числом и множителями"
Задача 5. На доске написано число 1010. Двое по очереди стирают одно из написанных на доске чисел и выписывают вместо него два меньших натуральных множителя, дающих в произведении стёртое число. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?  
Разбор 6 "Задача про игру - шутку"

Задача 6. Поймите, почему эта задача, которая была в предыдущем разделе, на самом деле является игрой-шуткой.

На доске написано число 1010. Двое по очереди стирают одно из написанных на доске чисел и выписывают вместо него два меньших натуральных множителя, дающих в произведении стёртое число. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?

  
Разбор 7 "Задача про игру с квадратом в клетку"
Задача 7. Из тетради вырезан клетчатый лист 10×11 клеток. Двое по очереди закрашивают на нём по линиям сетки квадраты произвольного размера (1×1, 2×2 и т. д.), если те ранее не содержали закрашенных клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?  
Разбор 8 "Задача про игру на раскраску квадрата 9*9"

Задача 8. Два игрока играют на доске 9×9. Первоначально все клетки доски белые. За один ход игрок может:

  • покрасить белую клетку в чёрный цвет;
  • если в каком-либо столбце или строке белых клеток больше, чем чёрных, то все клетки того столбца или строки можно перекрасить в противоположный цвет.

Игрок, после хода которого вся доска станет чёрной, выигрывает. Кто победит при правильной игре?

  

Печать