Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Конспект _Разбиение на пары


Комби-7 Разбиение на пары. Часть 1 

Множество с чётным количеством элементов можно разбить на пары; множество с нечётным количеством элементов нельзя разбить на пары.

Задача. В однокруговом волейбольном турнире участвовало 9 команд из 9 различных городов. Каждый матч проходил в одном из этих 9 городов. Могло ли случиться так, что каждая команда сыграла все свои матчи на выезде, причём ни в одном городе она не играла дважды?

Тот же вопрос для 10 команд и городов.

Задача. Внутри квадрата отметили 25 точек так, что их расположение симметрично относительно обеих диагоналей квадрата. Докажите, что одна из точек совпадает с центром квадрата.

Задача. У каких натуральных чисел чётное число натуральных делителей, а у каких — нечётное?

Задачи для тренировки

1) 7_15_1 Иван разбивает числа на пары

  
2) 7_15_2 Сколько трёхзначных чисел имеют  
3) 7_15_3 Выберите все числа, у которых   
4) 7_15_4 Заполните пропуски так <???>  
5) 7_15_5 На игральном кубике общее число точек  
6) 7_15_6 Все натуральные числа от 1 до 1000  
7) 7_15_7 Все натуральные числа от 1 до 1000  
8) 7_15_8  Заполните пропуски так <???>  
9) 7_15_9 У Влада есть 180 карточек   

Задачи с разбором

Разбор 1 "По кругу стоят 111 человек"
Задача 1. По кругу стоят 111111 человек. Среди любых двух стоящих рядом есть хотя бы один любопытный. Докажите, что хотя бы 5656 человек являются любопытными.  
Разбор 2 "В народной дружине 100 человек"
Задача 2. В народной дружине 100 человек, и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый человек был в дежурстве ровно один раз с каждым другим?  
Разбор 3 "Задача про тринадцатиугольник"
Задача 3. Можно ли стороны и диагонали правильного тринадцатиугольника раскрасить в 1212 цветов так, чтобы в каждой вершине сходились отрезки всех цветов?  
Разбор 4 "Задача про отрезок и точки на прямой"
Задача 4. На прямой отмечены отрезок AB и 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не может быть равна сумме расстояний от этих точек до точки B. (Расстояния между точками не обязательно целые.)  
Разбор 5 "Задача про 64 гирьки"
Задача 5. На столе в ряд выложены 64 гирьки, причём масса любых двух соседних гирек отличается ровно на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирек. Всегда ли это удастся?  
Разбор 6 "Задача про квадрат 9*9"
Задача 6. Клетки доски 9×9 раскрашены в девять цветов, причём раскраска симметрична относительно главной диагонали, и в каждом столбце встречаются все цвета. Докажите, что на главной диагонали все клетки раскрашены в разные цвета.  
Разбор 7 "Задача про пленников царя Дадона"
Задача 7. У царя Дадона в одиночных камерах сидели 100 пленников. Поворот ручки отпирает каждую камеру, следующий поворот запирает, ещё один отпирает и т. д. К празднику царь решил освободить часть пленников и накануне послал слугу, который повернул ручки каждой камеры. Все двери оказались отперты. Но тут пришёл второй посыльный и повернул ручку на дверях каждой второй камеры. Следующий посланец повернул ручки 3-й, 6-й, 9-й, 12-й и т. д. камер. Ещё один — в каждой четвёртой камере. То же повторяли следующие посланцы вплоть до сотого, повернувшего ручку сотой камеры. Сколько пленников освободил Дадон?  
Разбор 8 "Набор из 109 чисел таков"
Задача 8. Набор из 109 чисел таков, что если каждое число в наборе одновременно заменить на сумму всех остальных чисел, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.  

Печать