Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Конспект _Принцип крайнего


Комби-7 Принцип крайнего Часть 1 

Иногда для решения задачи удобно рассматривать «крайний» в каком-то смысле объект.

Задача. Можно ли расставить в вершинах куба числа от 1 до 8 так, чтобы разность любых двух соседних по ребру чисел была не больше двух? Не больше трёх?

Задача. Можно ли из натуральных чисел от 1 до 11 выбрать восемь чисел так, чтобы их сумма равнялась сумме остальных?

Задача. Можно ли выписать в строку все натуральные числа от 1 до 99 так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50?

Комби-7 Принцип крайнего Часть 2 Крайнее на шахматной доске

Задача. Может ли шахматный конь, стартовав из некоторой клетки, обойти все клетки доски 4×4 по одному разу и вернуться в исходную клетку?

Задача. На шахматной доске стоят несколько ладей. Обязательно ли найдётся ладья, бьющая не более двух других?

Задачи для тренировки

1) 7_14_1 Сколькими способами можно

  
2) 7_14_2 Имеется набор из 19 гирь  
3) 7_14_3 У ювелира есть шесть шкатулок  
4) 7_14_4 Камни на столе  
5) 7_14_5 Антон задумал четыре числа  
6) 7_14_6 У Васи есть 81 карточка <???>  
7) 7_14_7 Аня записала по кругу  
8) 7_14_8 Денис выписал в строку  
9) 7_14_9 Выберите все верные доказательства  
10) 7_14_10 Юля и шахматная доска  

Задачи с разбором

Разбор 1 "Задача о числах на листке"
Задача 1. На листке записано несколько различных натуральных чисел. Известно, что для любых двух из них на листке найдётся число (возможно, совпадающее с каким-то из них), которое делится на каждое из них. Докажите, что на листке найдётся число, которое делится на все остальные числа.  
Разбор 2 "Задача о 4-х числах"
Задача 2. Существуют ли четыре числа, попарные разности между которыми равны 2, 3, 3, 4, 5, 6?  
Разбор 3 "Задача про семь грибников"
Задача 3. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причём все собрали разное количество грибов. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 50 грибов.  
Разбор 4 "По кругу записаны"
Задача 4. По кругу записаны сто положительных чисел. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке. Найдите эти числа.  
Разбор 5 "Задача о компьютерном классе"
Задача 5. Каждый из учеников класса в течение дня один раз приходил в компьютерный класс, находился там некоторое время, а затем уходил. Известно, что каждый ученик встретился со всеми другими учениками. Докажите, что в некоторый момент времени все ученики были в компьютерном классе.  
Разбор 6 "Задача о 1001 планете"

Задача 6. В некоторой системе 1001 планета, расстояния между планетами попарно различны. На каждой планете сидит астроном и наблюдает за ближайшей планетой.

а) Докажите, что найдутся две планеты, астрономы на которых наблюдают друг за другом.

б) Докажите, что найдётся планета, за которой никто не наблюдает.

  
Разбор 7 "Задача о раскраске шахматных ладей"
Задача 7. На шахматной доске 8×8 стоит несколько ладей. Докажите, что их можно раскрасить в 3 цвета так, чтобы ладьи одного цвета друг друга не били.  
Разбор 8 "Задача про крестики и нолики"
Задача 8. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записан крестик или нолик с выполнением следующего условия: у каждого крестика среди соседей больше крестиков, чем ноликов (соседними для данной клетки считаются 88 клеток, имеющих с ней общую сторону или общий угол). Докажите, что крестиков бесконечно много.  
Разбор 9 "Задача о разбиении на доминошки"
Задача 9. Шахматную доску 8×8 разбили на доминошки (прямоугольники 1×2 или 2×1). Докажите, что какие-то две доминошки образуют квадрат 2×2.  
Разбор 10 "Задача о числах на шахматной доске"
Задача 10. Числа от 1 до 64 записали в клетки шахматной доски. Докажите, что найдутся две клетки с общей стороной, разность чисел в которых не меньше 5.  

Печать